人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步学案

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第八章|立体几何初步8．1 基本立体图形第一课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征知识点一　空间几何体(一)教材梳理填空1．空间几何体的定义：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．多面体和旋转体：[微思考]　多面体与旋转体的异同点有哪些？提示：相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点．不同点：多面体的表面都是平面多边形，旋转体的表面有的是平面，有的是曲面．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)一个多面体至少有六条棱． (√)(2)封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． (√)2．下列几何体中，多面体是 (　　)答案：B3.(多选)满足如图所示的几何体，以下说法正确的是 (　　)A．该几何体是一个多面体B．该几何体有9条棱，5个顶点C．该几何体有7个面D．该几何体是旋转体答案：AB知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征(一)教材梳理填空1．棱柱的结构特征：2.几种特殊的棱柱：直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体．3．棱锥的结构特征：4．棱台的结构特征：　[微思考]　(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形．(2)棱台的上、下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？提示：根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)棱柱的底面互相平行． (√)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥． (×)(3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体． (×)2．下面多面体中，是棱柱的有 (　　)A．1个　　　　　　　　 B．2个C．3个 D．4个答案：D3．下列说法中正确的是 (　　)A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．仅有一组对面平行的五面体是棱台C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案：A题型一　棱柱的结构特征 【学透用活】[典例1]　(1)下列说法正确的是 (　　)A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形(2)如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．[解析]　(1)选D　选项A、B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确．(2)①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M­CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1­DCND1.[方法技巧]准确认识棱柱的结构特征　　【对点练清】1．下列命题中，正确的是 (　　)A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析：选D　A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图①，构造四棱柱ABCD­A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点．故选D.2．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则该棱柱是______棱柱，每条侧棱长为 ________ cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.答案：五　 12题型二　棱锥、棱台的结构特征 【学透用活】[典例2]　(1)下面是关于棱锥、棱台的四种说法：①棱锥的侧面只能是三角形；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法错误的是 (　　)A．①　　　　　　　　B．②C．③ D．④(2)(多选)如图所示，观察下列几何体，其中判断正确的是 (　　)[解析]　(1)①正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．故选D.(2)A中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以A不是棱台；B不是棱台；C中的几何体是棱锥；D中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以D是棱柱．判断正确的是C、D.[答案]　(1)D　(2)CD[方法技巧]1．判断一个几何体是棱锥、棱台的两个方法(1)定义法：(2)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．2．棱柱、棱台、棱锥关系图　　【对点练清】1．下列说法中，正确的是 (　　)A．四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面B．棱锥的各侧棱长相等C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台解析：选A四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何 一个面作底面 的几何体都是三棱锥，故A正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故B错误；如图，可知C、D错误．2．判断如图所示的几何体，其中不是棱台的是________．解析：因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．所以①②③都不是棱台．答案：①②③题型三　多面体的表面展开图 [探究发现]正方体的表面展开图是怎样的？棱柱、棱台的侧面展开图是什么图形？提示：正方体的表面展开图如图：棱柱的侧面展开图是平行四边形；棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．　　【学透用活】[典例3]　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)．(2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．[解]　(1)平面展开图如图所示：(2)沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：①若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝eq \r(42＋5＋32)＝eq \r(80)＝4eq \r(5).②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝eq \r(32＋5＋42)＝eq \r(90)＝3eq \r(10).③若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝eq \r(4＋32＋52)＝eq \r(74).相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为eq \r(74).[方法技巧]1．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．2．求几何体表面上两点间的距离的方法求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离．常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在同一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．　　 【对点练清】1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品 盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案) (　　)解析：选A　根据题目信息，可得只有相对面的图案相同，展开图同图案不能相邻．故选A.2．将本例(2)中的“长方体”改为“正方体ABCD­A1B1C1D1，棱长为3”，其他条件不变，则蚂蚁爬行的路线长为________．解析：由于正方体的各面都是全等的正方形，所以例(2)中的各种剪法都是一样，即长为6宽为3的长方形，可求得AC1＝eq \r(32＋62)＝eq \r(45)＝3eq \r(5).所以蚂蚁爬行的路线长为3eq \r(5).答案：3eq \r(5)【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1.如图所示，在单位正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得 AP＋D1P取得最小值，则此最小值为 (　　)A．2　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2)＋\r(6),2)C．2＋eq \r(2) D.eq \r(2＋\r(2))解析：选D　如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D′1，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD′1，则AD′1＝eq \r(AA\o\al(2,1)＋A1D′\o\al(2,1)－2AA1·A1D′1cos∠AA1D′1)＝eq \r(1＋1－2×1×1×cos 135°)＝eq \r(2＋\r(2))为所求的最小值．故选D.二、应用性——强调学以致用2.(多选)如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．其中，正确的说法是(　　)A．①② B．①C．①②③ D．③解析：选BD　显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE-DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以①③正确．三、创新性——强调创新意识和创新思维3．一个正棱锥侧棱与底面边长相等，此正棱锥可能是几棱锥？(请写出所有可能)解析：设正棱锥侧棱的棱长为a，底面边长为b，底面边数为n，底面的中心到底面的顶点距离为c，则正棱锥的侧棱在底面内的射影为c.当n＝3,4,5时，都有b>c，此时b＝a都有可能成立，即正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥；当n＝6时，有b＝c，此时只有b6时，都有b3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形解析：选C　斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确；根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确；根据棱锥的分类，可得有一个面是n边形的棱锥一定是n棱锥，所以C正确；平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D不正确．4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是A1B1，A1C1的中点，连接BE，EF，FC，试判断几何体A1EF­ABC是什么几何体，并指出它的底面与侧面．解：∵E，F分别是A1B1，A1C1的中点，且A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，∴eq \f(A1E,AB)＝eq \f(A1F,AC)＝eq \f(EF,BC)＝eq \f(1,2).∴△A1EF∽△ABC，且AA1，BE，CF延长后交于一点．又面A1B1C1与面ABC平行，∴几何体A1EF­ABC是三棱台．其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面BCFE和面ACFA1是侧面．5.如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝3，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝3，∴AA1＝3eq \r(2).∴△AEF周长的最小值为3eq \r(2).层级(三)　素养培优练1.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是eq \r(13) cm.若 以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是eq \r(17) cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是eq \r(13) cm.答案：eq \r(13)2．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底 面为正三角形的三棱锥．如图②所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的eq \f(1,4)，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征知识点一　圆柱、圆锥、圆台(一)教材梳理填空1．圆柱的结构特征：[微思考]　圆柱有多少条母线？它们有什么关系？提示：圆柱有无数条母线，它们平行且相等．2．圆锥的结构特征：3.圆台的结构特征：[微思考]　连接圆柱(圆台)上、下底面圆周上各一点构成的线段，是否一定为母线？提示：不一定．连接圆柱(圆台)上、下底面圆周上两点的线段不一定在侧面上，因此不一定是母线．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱． (×)(2)圆锥有无数条母线，它们的公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (√)(3)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点． (×)2．下列图形中是圆柱的是 (　　)答案：B3．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是 (　　)A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形答案：B知识点二　球的结构特征(一)教材梳理填空　[微思考]　球和球面有何区别？提示：球与球面是两个完全不同的概念，球不仅包括球的表面，同时还包括球面所围的空间，它是一个“实心”的几何体，而球面仅指球的表面．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)球的直径必过球心． (√)(2)球能由圆面旋转而成． (√)(3)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆． (×)2．给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面．其中正确说法的序号是________．答案：①③知识点三　简单组合体的结构特征(一)教材梳理填空1．简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式：(1)由简单几何体拼接而成；(2)由简单几何体截去或挖去一部分而成．(二)基本知能小试1．如图，日常生活中常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是 (　　)A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱答案：B2．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的 (　　)答案：A题型一　旋转体的结构特征 【学透用活】准确认识旋转体的结构特征[典例1]　下列说法正确的是 (　　)A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D．球面上四个不同的点一定不在同一平面内[解析]　A是圆锥的性质，故正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点都在球面上，故D错误．[答案]　A[方法技巧]1．判断旋转体形状的步骤(1)明确旋转轴l.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系．(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状．2．与简单旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面．(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示　【对点练清】下列命题正确的是 (　　)A．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形D．用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台解析：选C　由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴，A错；直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，B错，如图所示；C正确；D不一定．只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台．故选C.题型二　简单组合体的结构特征 【学透用活】[典例2]　如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 (　　)[解析]　该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成．故选A.[答案]　A[方法技巧]识别简单组合体的结构特征的策略(1)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．(2)用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)，进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体．　　 【对点练清】1．若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．2．描述下列几何体的结构特征．解：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．题型三　旋转体的有关计算 【学透用活】[典例3]　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是4 cm，求圆台O′O的母线长．[解]　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm，过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝4 cm.所以eq \f(SA′,SA)＝eq \f(O′A′,OA)，所以eq \f(4,4＋l)＝eq \f(r,4r) ，即eq \f(4,4＋l)＝eq \f(1,4)，解得l＝12(cm)，即圆台的母线长为12 cm.[方法技巧]解决旋转体中计算问题的方法策略(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．　【对点练清】1．若将本例中的条件变为“已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm,2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm”，则圆台的母线长为________．解析：如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由△A′O′S∽△AOS，得eq \f(A′O′,AO)＝eq \f(SA′,SA)，得SA′＝eq \f(A′O′,AO)·SA＝eq \f(1,2)×12＝6(cm)．所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm)．所以圆台的母线长为6 cm.答案：6 cm2.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝eq \r(A′B′2＋AA′2)＝eq \r(4＋2π2)＝2eq \r(1＋π2)，即蚂蚁爬行的最短距离为2eq \r(1＋π2).【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面(常称为“球冠”)所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值)的比值为eq \f(4,3)，则sin∠BAC＝(　　)A.eq \f(3,25) B.eq \f(9,25)C.eq \f(16,25) D.eq \f(24,25)解析：选D　设优弧所在圆的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图所示．易知“水滴”的“竖直高度”为OA＋R，“水平宽度”为2R，由题意知eq \f(OA＋R,2R)＝eq \f(4,3)，解得OA＝eq \f(5,3)R.因为AB与圆弧相切于点B，所以OB⊥AB.在Rt△ABO中，sin∠BAO＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(R,\f(5,3)R)＝eq \f(3,5).又∠BAO∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos∠BAO＝eq \r(1－sin2∠BAO)＝eq \f(4,5).由对称性知，∠BAO＝∠CAO，则∠BAC＝2∠BAO，所以sin∠BAC＝2sin∠BAO·cos∠BAO＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25).2.如图，已知圆柱的高为h，底面半径为R，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA＝a，在母线BB1上取一点Q，使B1Q＝b，则圆柱侧面上P，Q两点的最短距离为________．解析：如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个长为πR，宽为h的矩形，B1Q＝b，PA＝a，过P作PE⊥BB1，E为垂足，所以QE＝h－a－b，即可把PQ放在一个直角边为πR和h－a－b的直角三角形PQE中．根据勾股定理可得PQ＝eq \r(PE2＋QE2)＝eq \r(πR2＋h－a－b2).答案：eq \r(πR2＋h－a－b2)二、应用性——强调学以致用3.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形 ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)[析题建模]　求这只小猫经过的最短距离问题首先应转化为圆锥的侧面展开图问题，利用弧长求解圆心角，进而求解．解：因为△ABC为等边三角形，所以BC＝6，所以l＝2π×3＝6π.根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：6α＝6π.故α＝π，则∠B′AC＝eq \f(π,2)，所以B′P＝eq \r(36＋9)＝3eq \r(5)(m)，所以小猫所经过的最短路程是3eq \r(5) m.三、创新性——强调创新意识和创新思维4．(多选)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2eq \r(7)，4eq \r(3)，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则 (　　)A．弦AB，CD可能相交于点MB．弦AB，CD可能相交于点NC．MN的最大值为5D．MN的最小值为1解析：选ACD　球心到弦AB，CD的距离分别为3,2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.故选A、C、D.课时跟踪检测层级(一)　“四基”落实练1．如图所示的图形中有 (　　)A．圆柱、圆锥、圆台和球　 B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B　根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故选B.2．用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是 (　　)A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆台解析：选C　由球的定义知选C.3.如图所示的组合体的结构特征是 (　　)A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台解析：选C　如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．故选C.4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为 (　　)A．4 B．3eq \r(2) C．2eq \r(3) D．2eq \r(6)解析：选D　圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2eq \r(6)，即两底面之间的距离为2eq \r(6).故选D.5．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体是(　　)A．一个球　　　　　　　 B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体解析：选B　半圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱．6．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________．(填序号)解析：根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥．答案：①7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm，该圆台的轴截面的面积为________cm2.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝ 12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq \r(122＋52)＝13(cm)．又圆台的轴截面为等腰梯形，S等腰梯形＝eq \f(1,2)×(6＋16)×12＝132(cm2)．答案：13　1328．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．层级(二)　能力提升练1．(多选)下列说法正确的是 (　　)A．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体B．一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面C．旋转体的截面图形都是圆D．圆锥的侧面展开图是一个扇形解析：选ABD　A、B为定义，均正确；C错误，因为轴截面截圆柱、圆锥、圆台所得截图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；D沿母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确．故选A、B、D.2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，则该小圆的半径r＝6 cm，其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝eq \f(6,cos 30°)＝4eq \r(3) cm.答案：4eq \r(3)3．若一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．解析：由题意知球心到截面的距离为1，设截面圆的半径为r，则πr2＝π，所以r＝1.设球的半径为R，则R＝eq \r(12＋r2)＝eq \r(2)，故球的直径为2eq \r(2).答案：2eq \r(2)4．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．解：作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝eq \r(2)x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴eq \f(h,h－x)＝eq \f(2r,\r(2)x)，∴x＝eq \f(\r(2)rh,h＋\r(2)r)，即此正方体的棱长为eq \f(\r(2)rh,h＋\r(2)r).5．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.(1)由勾股定理得h＝eq \r(122－5－22)＝3eq \r(15) (cm)．故圆台的高为3eq \r(15) cm.(2)由三角形相似得：eq \f(x－12,x)＝eq \f(2,5)，解得x＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.层级(三)　素养培优练1．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．解析：由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包含棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝eq \r(2)×4，所以r＝2eq \r(2)；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2eq \r(3).所以球O的半径的取值范围是[2eq \r(2)，2eq \r(3)]．答案：[2eq \r(2)，2eq \r(3)]2．一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？解：(1)如图所示，设内接圆柱的底面半径为r，由已知得eq \f(5－x,5)＝eq \f(r,3)，所以r＝eq \f(15－3x,5).所以S＝2·eq \f(15－3x,5)·x＝－eq \f(6,5)x2＋6x，其中0＜x＜5.(2)由(1)可知，S＝－eq \f(6,5)x2＋6x(0＜x＜5)，所以当x＝－eq \f(6,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5))))＝eq \f(5,2)时，S最大．8.2　立体图形的直观图知识点　立体图形的直观图及其画法(一)教材梳理填空1．直观图：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：3．空间几何体直观图的画法：画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．[微思考]　空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行． (√)(3)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点． (√)(4)几何中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中长度为原来的一半． (×)2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的 (　　)答案：C3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为 (　　)A．90°，90°　　　　　　　 B．45°，90°C．135°，90° D．45°或135°，90°答案：D题型一　水平放置的平面图形的直观图的画法 【学透用活】(1)斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半．(2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．(3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．[典例1]　画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图．[解]　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①.画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②.(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq \f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.画平面图形直观图的关键(1)在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定：另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定．　　[方法技巧]【对点练清】　用斜二测画法画(如图所示)边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解：(1)如图①，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝eq \f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，如图②.(3)三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．题型二　空间几何体的直观图 【学透用活】(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．(2)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线的长度比．(3)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上．(4)要先画出底面的直观图，再画出其余各面．[典例2]　画正六棱柱的直观图．(底面边长为2 cm，侧棱长为5 cm)[解]　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．根据x′轴、y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF，使CF长为4 cm.(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长5 cm.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．[方法技巧]画空间几何体的直观图的策略(1)画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，并成图．[提醒]　在直观图中注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．(2)画空间几何体的步骤可简单总结为eq \x(画轴)→eq \x(画底面)→eq \x(画侧棱)→eq \x(成图)　【对点练清】画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．解：画法：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.题型三　直观图的还原与计算 【学透用活】[典例3]　(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　　)A.eq \f(1,2)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2),2)C.eq \r(2) D．2eq \r(2)(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________(填四边形的形状)，该原图形的面积为_________cm2.[解析]　(1)由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝1，∴A′B′＝1，O′A′＝eq \r(2).∴在原△OAB中，OB＝1，OA＝2eq \r(2)，∴S△ABO＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2).故选C.(2)如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6 cm，OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2) cm，CD＝C′D′＝2 cm.在Rt△OCD中，∴OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC.又OA∥BC，OA＝BC，故四边形OABC是菱形．∴S菱形ABCO＝OA·OD＝6×4eq \r(2)＝24eq \r(2)(cm2)．∴菱形OABC的面积为24eq \r(2) cm2.[答案]　(1)C　(2)菱形　 24eq \r(2)[方法技巧]1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．　【对点练清】1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？解：由本例(1)中直观图可得S△O′A′B′＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，原图形面积为S△OAB＝eq \r(2).所以eq \f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4).2.如图所示，直角梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中， ∠ABC＝45°，AB＝AD＝2，DC⊥BC，求原图形的面积．解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝2，∠ABE＝45°，所以BE＝eq \r(2).而四边形AECD为矩形，AD＝2，所以EC＝AD＝2.所以BC＝BE＋EC＝eq \r(2)＋2.由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．在原图形中，A′D′＝2，A′B′＝4，B′C′＝eq \r(2)＋2，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原图形的面积为S＝eq \f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq \f(1,2)×(2＋eq \r(2)＋ 2)×4＝2eq \r(2)＋8.【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．已知正方形ABCD的边长为a，按照斜二测画法作出它的直观图A′B′C′D′，直观图面积为eq \r(2)，则a的值为(　　)A．6eq \r(3) B.eq \f(\r(2),2) C．2 D.eq \r(3)解析：选C　利用斜二测画法得到直观图A′B′C′D′，则A′B′＝AB＝a，A′D′＝eq \f(1,2)a，∠D′A′B′＝45°，过点D′作D′E⊥x轴于点E，则D′E＝A′D′cos 45°＝eq \f(\r(2),4)a.所以平行四边形A′B′C′D′的面积为a·eq \f(\r(2),4)a＝eq \r(2)，解得a＝2.2．(多选)已知一个矩形ABCD，用斜二测画法得到其直观图A′B′C′D′的周长为2，设AB＝x，BC＝y，下列说法正确的是(　　)A．xy的最大值为1 B.eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)的最小值为eq \f(9,4)C.eq \r(2x)＋eq \r(y)的最大值为2 D．xy＋x＋y的最大值为eq \f(17,8)解析：选BCD　由斜二测画法知，AB＝A′B′＝x，B′C′＝eq \f(y,2).又四边形A′B′C′D′的周长为2，所以A′B′＋B′C′＝1，即x＋eq \f(y,2)＝1.因为x>0，y>0，所以x＋eq \f(y,2)＝1≥2eq \r(x·\f(y,2))，即xy≤eq \f(1,2)，当且仅当x＝eq \f(1,2)，y＝1时等号成立，所以A错误；eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,2y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))＝1＋eq \f(y,2x)＋eq \f(x,2y)＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)＋eq \f(y,2x)＋eq \f(x,2y)≥eq \f(5,4)＋2eq \r(\f(y,2x)·\f(x,2y))＝eq \f(9,4)，当且仅当eq \f(y,2x)＝eq \f(x,2y)，即x＝y＝eq \f(2,3)时等号成立，故B正确；由eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2可知，eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2x)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(y)))2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2x)＋\r(y),2)))2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2x)＋\r(y),2)))2≤eq \f(2x＋y,2)＝1，所以eq \f(\r(2x)＋\r(y),2)≤1，即eq \r(2x)＋eq \r(y)≤2，当且仅当eq \r(2x)＝eq \r(y)，即x＝eq \f(1,2)，y＝1时等号成立，故C正确；xy＋x＋y＝(1－eq \f(y,2))y＋1－eq \f(y,2)＋y＝－eq \f(y2,2)＋eq \f(3,2)y＋1，其中2x＝2－y>0，y＝2－2x>0，解得0