新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课后提能训练新人教A版必修第二册

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第六章　6.1　A级——基础过关练1．下列说法中，正确的个数是(　　)①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．A．1 B．2C．3 D．42．(多选)下列说法中，正确的有(　　)A．向量 eq \o(AB,\s\up6(→))的长度与向量 eq \o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同3．下面几个命题正确的是(　　)A．若a＝b，则|a|＝|b|B．若|a|＝0，则a＝0C．若|a|＝|b|，则a＝bD．若向量a，b满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b，))则a＝b4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)A．单位圆 B．一段弧C．线段 D．直线5．设O是△ABC的外心，则 eq \o(AO,\s\up6(→))， eq \o(BO,\s\up6(→))， eq \o(CO,\s\up6(→))是(　　)A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量6．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　　)A． eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→)) B． eq \o(AB,\s\up6(→))∥ eq \o(DE,\s\up6(→))C．| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BE,\s\up6(→))| D． eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(FC,\s\up6(→))7．如图，在四边形ABCD中，若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，则图中相等的向量是(　　)A． eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(CB,\s\up6(→)) B． eq \o(OB,\s\up6(→))与 eq \o(OD,\s\up6(→))C． eq \o(AC,\s\up6(→))与 eq \o(BD,\s\up6(→)) D． eq \o(AO,\s\up6(→))与 eq \o(OC,\s\up6(→))8．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是__________(填序号)．9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝__________．10．如图，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与 eq \o(AB,\s\up6(→))相等的向量有哪些？(2)与 eq \o(AB,\s\up6(→))共线的向量有哪些？(3)若| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝1.5，求| eq \o(CE,\s\up6(→))|．B级——能力提升练11．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(　　)A． eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→)) B． eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(BD,\s\up6(→))C． eq \o(PE,\s\up6(→))＝ eq \o(PF,\s\up6(→)) D． eq \o(EP,\s\up6(→))＝ eq \o(PF,\s\up6(→))12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的有(　　)A．与 eq \o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含 eq \o(AB,\s\up6(→)))B．与 eq \o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含 eq \o(AB,\s\up6(→)))C． eq \o(BD,\s\up6(→))的模恰为 eq \o(DA,\s\up6(→))的模的 eq \r(3)倍D． eq \o(CB,\s\up6(→))与 eq \o(DA,\s\up6(→))不共线13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量 eq \o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与 eq \o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝__________．14．如果在一个边长为5的等边三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为 eq \o(AD,\s\up6(→))(其中D在边BC上运动)，那么向量 eq \o(AD,\s\up6(→))长度的最小值为__________．15．如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别写出与 eq \o(AO,\s\up6(→))， eq \o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出与 eq \o(AO,\s\up6(→))共线的向量；(3)写出与 eq \o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；(4)向量 eq \o(AO,\s\up6(→))与 eq \o(CO,\s\up6(→))是否相等？答案1【答案】B【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2【答案】ABC【解析】很明显选项A，B，C正确．共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．3【答案】A【解析】A正确．B错误，|a|＝0，则a＝0．C错误，a与b的方向不一定相同．D错误，a与b的方向有可能相反．4【答案】A【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．5【答案】B【解析】因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以 eq \o(AO,\s\up6(→))， eq \o(BO,\s\up6(→))， eq \o(CO,\s\up6(→))是模相等的向量．6【答案】D【解析】由题图可知，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(FC,\s\up6(→))|，但 eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(FC,\s\up6(→))的方向不同，故 eq \o(AD,\s\up6(→))≠ eq \o(FC,\s\up6(→))．故选D．7【答案】D【解析】∵ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即| eq \o(AO,\s\up6(→))|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|．又∵ eq \o(AO,\s\up6(→))与 eq \o(OC,\s\up6(→))同向，∴ eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→))．8【答案】①③④【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．9【答案】 eq \r(2)【解析】因为正方形的对角线长为2 eq \r(2)，所以| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝ eq \r(2)．10解：(1)与 eq \o(AB,\s\up6(→))相等的向量有 eq \o(ED,\s\up6(→))， eq \o(DC,\s\up6(→))．(2)与 eq \o(AB,\s\up6(→))共线的向量有 eq \o(BA,\s\up6(→))， eq \o(ED,\s\up6(→))， eq \o(DC,\s\up6(→))， eq \o(EC,\s\up6(→))， eq \o(DE,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))， eq \o(CE,\s\up6(→))．(3)若| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝1.5，则| eq \o(CE,\s\up6(→))|＝| eq \o(EC,\s\up6(→))|＝| eq \o(ED,\s\up6(→))|＋| eq \o(DC,\s\up6(→))|＝2| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝3．11【答案】D【解析】由平面几何知识知， eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))方向不同，故 eq \o(AD,\s\up6(→))≠ eq \o(BC,\s\up6(→))； eq \o(AC,\s\up6(→))与 eq \o(BD,\s\up6(→))方向不同，故 eq \o(AC,\s\up6(→))≠ eq \o(BD,\s\up6(→))； eq \o(PE,\s\up6(→))与 eq \o(PF,\s\up6(→))的模相等而方向相反，故 eq \o(PE,\s\up6(→))≠ eq \o(PF,\s\up6(→))； eq \o(EP,\s\up6(→))与 eq \o(PF,\s\up6(→))的模相等且方向相同，所以 eq \o(EP,\s\up6(→))＝ eq \o(PF,\s\up6(→))．12【答案】ABC【解析】由于 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，因此与 eq \o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有 eq \o(DC,\s\up6(→))，而与 eq \o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有 eq \o(DA,\s\up6(→))， eq \o(DC,\s\up6(→))， eq \o(AC,\s\up6(→))， eq \o(CB,\s\up6(→))， eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))， eq \o(CA,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(BA,\s\up6(→))，因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴| eq \o(DO,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)| eq \o(DA,\s\up6(→))|，故| eq \o(DB,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)| eq \o(DA,\s\up6(→))|，因此选项C正确；由于 eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \o(DA,\s\up6(→))，因此 eq \o(CB,\s\up6(→))与 eq \o(DA,\s\up6(→))是共线的，故选项D错误．13【答案】0【解析】因为A，B，C不共线，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))不共线．又因为m与 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))都共线，所以m＝0．14【答案】 eq \f(5\r(3),2)【解析】根据题意，在等边三角形ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为等边三角形ABC的高，为 eq \f(5\r(3),2)．15解：(1) eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \o(BF,\s\up6(→))， eq \o(BO,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→))＝ eq \o(AE,\s\up6(→))．(2)与 eq \o(AO,\s\up6(→))共线的向量： eq \o(AC,\s\up6(→))， eq \o(OC,\s\up6(→))， eq \o(DE,\s\up6(→))， eq \o(BF,\s\up6(→))．(3)与 eq \o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AO,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BO,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OD,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BF,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CF,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AE,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))))．(4)向量 eq \o(AO,\s\up6(→))与 eq \o(CO,\s\up6(→))长度相等，但方向相反，因此向量 eq \o(AO,\s\up6(→))与 eq \o(CO,\s\up6(→))不相等．