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物理必修 第二册第五章 抛体运动2 运动的合成与分解优质学案
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这是一份物理必修 第二册第五章 抛体运动2 运动的合成与分解优质学案，共12页。
一、一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1．建立坐标系：研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系。
如图所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。
2．蜡块运动的位置：以vx表示玻璃管向右匀速移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管匀速上升的速度，则在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt。
3．蜡块运动的轨迹：在x、y的表达式中消去t，得到y＝eq \f(vy,vx)x，可见此式代表的是一条过原点的直线，即蜡块的运动轨迹是直线。
4．蜡块运动的速度：大小v＝eq \r(vx2＋vy2)，方向与x轴正方向的夹角满足tan θ＝eq \f(vy,vx)。
二、运动的合成与分解
在课本“观察蜡块的运动”实验中，改变玻璃管在水平方向运动的速度，蜡块从底部到顶端的运动时间会变吗？玻璃管水平方向的运动变化会不会影响蜡块在竖直方向的运动？这体现了分运动之间的什么特性？
答案 改变玻璃管在水平方向的运动速度，蜡块在竖直方向的运动时间不变化；水平方向玻璃管的运动不影响蜡块在竖直方向的运动；体现了分运动的独立性。
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动。(均选填“合运动”或“分运动”)
(2)合运动与分运动的四个特性
2.运动的合成与分解
(1)由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。
(2)分解方法：可以根据运动的实际效果分解，也可以正交分解。
(3)运动的合成与分解是指对位移、速度、加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。
(1)合运动一定是实际发生的运动。( √ )
(2)合运动的速度一定比分运动的速度大。( × )
(3)由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小。( × )
(4)分运动的速度、位移、加速度与合运动的速度、位移、加速度间满足平行四边形定则。
( √ )
例1 跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 B
解析 运动员同时参与了两个分运动：竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动。这两个分运动同时发生，相互独立。两分运动的方向相互垂直且着地时竖直方向的速度大小为定值，所以水平风力越大，运动员水平方向速度越大，则着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关，故选B。
例2 如图所示，甲图表示某物体在x轴方向上的分运动的vx－t的图像，乙图表示该物体在y轴方向上的分运动的vy－t图像。求：
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小。
答案 (1)3 m/s (2)5 m/s (3)4eq \r(10) m
解析 由题图可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动。
(1)在t＝0时，物体的速度大小v0＝vx＝3 m/s。
(2)在t＝8 s时，物体沿x轴方向的速度大小为3 m/s，沿y轴方向的速度大小为4 m/s，所以物体的速度大小为v8＝eq \r(vx2＋vy2)＝5 m/s。
(3)在4 s的时间内物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，物体在y轴方向发生的位移为y＝eq \f(1,2)at2＝4 m，所以4 s内物体发生的位移大小为l＝eq \r(x2＋y2)＝4eq \r(10) m。
三、合运动性质的判断
判断互成角度的两直线运动的合运动，完成下列表格。
例3 某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。
(1)同学们测出某时刻R的坐标为(4 cm,6 cm)，此时R的速度大小为________cm/s，R的加速度大小为________cm/s2。
(2)R在上升过程中运动轨迹的示意图是_________。
答案 (1)5 2 (2)D
解析 (1)小圆柱体R沿竖直方向做匀速运动，
有y＝v0t
则有t＝eq \f(y,v0)＝eq \f(6,3) s＝2 s，
小圆柱体R沿水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，
有x＝eq \f(1,2)at2，解得a＝eq \f(2x,t2)＝eq \f(2×4,22) cm/s2＝2 cm/s2，
则此时R的速度大小：
v＝eq \r(v02＋at2)＝eq \r(32＋42)cm/s＝5 cm/s。
(2)因合力沿x轴正方向，由合力指向运动轨迹弯曲的凹侧可判断轨迹示意图D正确。
例4 (2022·焦作市开学考)为了提高配送效率，许多快递公司推出了无人机配送快递的方法。某次配送快递的无人机在飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。下列关于无人机运动说法正确的是( )
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．t3～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为eq \r(v02＋v22)
答案 D
解析 0～t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速运动，则合运动为匀加速直线运动，选项A错误；0～t4时间内，无人机竖直方向的速度一直为正，即一直向上运动，则t2时刻，无人机还没有运动到最高点，选项B错误；t3～t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C错误；t2时刻，无人机的水平速度为v0，竖直速度为v2，则合速度大小为eq \r(v02＋v22)，选项D正确。
课时对点练
考点一 运动的合成与分解
1．对于两个分运动及其合运动，下列说法正确的是( )
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度至少比其中一个分运动的速度大
C．合运动的速度方向就是物体实际运动的方向
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 C
解析 合运动的速度(合速度)与分运动的速度(分速度)之间的关系遵循平行四边形定则，其中合速度为平行四边形的对角线，而两个分速度为平行四边形的两个邻边，由几何知识可知，选项A、B错误；合运动指的就是物体的实际运动，选项C正确；合运动和分运动具有等时性，选项D错误。
2.如图所示，跳伞运动员在降落伞打开一段时间以后，在空中做匀速运动。若跳伞运动员在无风时竖直匀速下落，着地速度大小是4.0 m/s。当有正东方向吹来的风，风速大小是3.0 m/s，则跳伞运动员着地时的速度( )
A．大小为5.0 m/s，方向偏西
B．大小为5.0 m/s，方向偏东
C．大小为7.0 m/s，方向偏西
D．大小为7.0 m/s，方向偏东
答案 A
3.如图所示，一架飞机沿与水平方向成37°角的方向斜向上做匀速直线运动(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，速度的大小为v＝200 m/s，下列说法正确的是( )
A．经过t＝4 s，飞机运动的水平位移是800 m
B．飞机在竖直方向的分速度大小是100 m/s
C．经过t＝4 s，飞机在竖直方向上升了480 m
D．在飞机飞行过程中飞行员处于完全失重状态
答案 C
解析 由于飞机做匀速直线运动，经过4 s，飞机运动的水平位移x＝vcs 37°·t＝640 m，A错误；飞机在竖直方向的分速度大小vy＝vsin 37°＝200×0.6 m/s＝120 m/s，B错误；经过t＝4 s，飞机在竖直方向上升的高度h＝vy·t＝120×4 m＝480 m，C正确；由于飞机做匀速直线运动，加速度为零，则竖直方向的加速度也为零，飞行员不处于完全失重状态，D错误。
考点二 合运动性质的判断
4.(2023·徐州市高一统考期末)如图所示，在行驶的列车上，一位小朋友在水平桌上玩玩具火车，小朋友让玩具火车相对于列车以恒定的速率沿直线从A点跑到B点，再以相同的速率从B点跑到A点，AB连线和列车运动方向垂直，玩具火车从A点跑到B点期间列车匀速行驶，从B点跑到A点期间列车匀加速行驶。下列说法正确的是( )
A．玩具火车从B到A相对地面做匀变速曲线运动
B．玩具火车从A到B相对地面做匀变速直线运动
C．玩具火车从A到B的时间小于从B到A的时间
D．玩具火车从A到B的时间大于从B到A的时间
答案 A
解析 以地面为参考系时，玩具火车从B到A运动时，在BA方向上做匀速运动，同时具有沿列车运动方向的匀加速运动，两方向垂直，可得两个分运动的合运动为匀变速曲线运动，A正确；以地面为参考系时，玩具火车从A到B运动时，在AB方向上做匀速运动，此时列车匀速运动，可知两个匀速运动的合运动为匀速直线运动，B错误；玩具火车相对于列车以恒定的速率沿直线从A点运动到B点，再以相同的速率从B点运动到A点，可得二者运动的时间相同，C、D错误。
5.(2022·湖州市高一期末)两端封闭的玻璃管中注满清水，迅速将管转至图示竖直位置，管内一个红蜡块立即以v1＝4 cm/s的速度匀速上浮，此时使玻璃管沿x轴正方向移动，当玻璃管沿x轴( )
A．匀速运动时，红蜡块的轨迹是一条曲线
B．以v2＝3 cm/s速度匀速运动时，红蜡块的速度大小是7 cm/s
C．以v2＝3 cm/s速度匀速运动，2 s内红蜡块的位移大小是10 cm
D．由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的轨迹是一条直线
答案 C
解析 当玻璃管沿x轴匀速运动时，红蜡块的合运动为匀速直线运动，其轨迹是一条直线，故A错误；当玻璃管沿x轴以v2＝3 cm/s的速度匀速运动时，红蜡块的速度大小v＝eq \r(v12＋v22)＝5 cm/s,2 s内红蜡块的位移大小是x＝vt＝10 cm，故B错误，C正确；当玻璃管沿x轴由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的合运动为曲线运动，其轨迹是一条曲线，故D错误。
6.(2022·蒲江县蒲江中学高一期中)某同学回到家跟自己读初一的妹妹玩游戏，让自己的妹妹找来一张白纸、一支铅笔、一把直尺，他跟妹妹说“你用铅笔沿直尺(直尺平行于ab)向右匀速运动，而我会将白纸沿ca方向向上加速运动”，请你判断下列哪张图是该同学妹妹在白纸上留下的痕迹( )
答案 B
解析 由题意可知，笔尖在水平方向向右匀速运动，在竖直方向相对纸向下加速运动，加速度向下，痕迹弯向加速度一侧，故选B。
7．如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图像如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．猴子在0～2 s内的加速度大小为4eq \r(2) m/s2
答案 B
解析 猴子在竖直方向做初速度大小为8 m/s、加速度大小为4 m/s2的匀减速直线运动，水平方向做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动，加速度大小为4 m/s2，选项A、D错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝eq \r(v0x2＋v0y2)＝eq \r(42＋82) m/s＝4eq \r(5) m/s，选项C错误。
8.如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后( )
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
C．10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D．飞机在20 s内水平方向的平均速度大小为50 m/s
答案 B
解析 由题意知，飞机离舰后的合速度与合加速度方向一致，所以飞机的运动轨迹为直线，A错误；飞机在10 s内水平方向的位移x＝v0xt＋eq \f(1,2)axt2＝500 m，竖直方向的位移y＝v0yt＋eq \f(1,2)ayt2＝250 m，B正确；飞机速度方向与水平方向夹角的正切值tan θ＝0.5，则θ不等于30°，C错误；飞机在20 s内水平方向的位移x′＝40×20 m＋eq \f(1,2)×2×202 m＝1 200 m，则平均速度大小为vx＝eq \f(x′,t′)＝60 m/s，D错误。
9．2021年10月29日，华南师大附中校运会开幕式隆重举行，各班进行入场式表演时，无人机从地面开始起飞，在空中进行跟踪拍摄。若无人机在水平和竖直方向运动的速度随时间变化关系图像如图甲、乙所示，则无人机( )
A．在0～t1的时间内，运动轨迹为曲线
B．在t1～t2的时间内，运动轨迹为直线
C．在t1～t2的时间内，速度均匀变化
D．在t3时刻的加速度方向竖直向上
答案 C
解析 v－t图线的斜率表示加速度。在0～t1的时间内，无人机沿水平方向和竖直方向均做初速度为零的匀加速直线运动，其合运动仍是直线运动，故A错误；在t1～t2的时间内，无人机的加速度沿竖直方向向下，但初速度为t1时刻的末速度，方向不是沿竖直方向，初速度和加速度不共线，因此运动轨迹应是曲线，故B错误；在t1～t2的时间内，无人机加速度沿竖直方向向下，且为定值，因此其速度均匀变化，故C正确；在t3时刻，由题图甲、乙分析可知，无人机水平方向上的加速度不为零，其合加速度方向不是竖直向上，故D错误。
10．在救灾过程中，有时需出动军用直升机为被困灾民空投物资。直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开直升机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s。若直升机停留在离地面100 m高处空投物资，由于在水平方向上受风的作用，降落伞和物资获得1 m/s的水平方向的恒定速度。求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中沿水平方向移动的位移大小。
答案 (1)20 s (2)eq \r(26) m/s (3)20 m
解析 如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动。
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等。
所以t＝eq \f(h,vy)＝eq \f(100,5) s＝20 s。
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \r(12＋52) m/s＝eq \r(26) m/s。
(3)物资在下落过程中沿水平方向移动的位移大小为x＝vxt＝1×20 m＝20 m。
11．(2023·合肥一六八中高一期中)为丰富学生的课余生活，增进班级间的友谊，提高同学间的团结协作能力，某校高一学生利用课外活动时间在学校11人制足球场(长105 m，宽68 m)举行了班级友谊联赛。比赛过程中，某同学刚好经过足球场中心位置，此时开始计时，以足球场的中心为坐标原点，平行于长边为x轴，平行于短边为y轴，建立直角坐标系，如图记录了该同学沿两轴方向的运动图像，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则：
(1)通过计算说明t＝8 s时，该同学是否出界；
(2)求t＝2 s时该同学的速度。
答案 (1)出界 (2)5 m/s，方向与x轴正方向的夹角为37°
解析 (1)0～8 s内，由v－t图像与时间轴所围面积表示位移，可得该同学沿y轴位移为
y＝eq \f(6,2)×4 m＋6×4 m＝36 m>eq \f(68,2) m＝34 m
所以，该同学已出界。
(2)由图像可知，0～4 s内，该同学沿x轴正方向做匀速直线运动，由x－t图像的斜率表示速度可得
vx＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(16,4) m/s＝4 m/s
该同学沿y轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，由v－t图像的斜率表示加速度可得
ay＝eq \f(Δvy,Δt)＝eq \f(6,4) m/s2＝1.5 m/s2
则有vy＝ayt＝1.5×2 m/s＝3 m/s
t＝2 s时该同学的速度大小为
v＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \r(42＋32) m/s＝5 m/s
设速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(3,4)＝0.75
解得θ＝37°
即t＝2 s时该同学速度大小为5 m/s，方向与x轴正方向的夹角为37°。
12．(2022·咸阳市月考)如图所示，中学生在雨中打伞行走，从物理学可知当雨滴垂直落在伞面上时人淋雨最少，若雨滴在空中以2 m/s的速度竖直下落，而学生打着伞以1.5 m/s的速度向西走，则该学生少淋雨的打伞(伞柄指向)方向为(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)( )
答案 A
解析 在水平方向上，雨滴相对于人的速度为1.5 m/s，方向向东，在竖直方向上，雨滴的速度为2 m/s，方向竖直向下，设雨滴相对于人的速度方向与竖直方向的夹角为α，则根据矢量合成法则可知，tan α＝eq \f(v水平,v竖直)＝eq \f(3,4)，解得α＝37°，可见伞柄应向前倾斜，与竖直方向成37°角，故选A。等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
分运动
矢量图
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动
匀变速直线运动
匀变速曲线运动
一、一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1．建立坐标系：研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系。
如图所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。
2．蜡块运动的位置：以vx表示玻璃管向右匀速移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管匀速上升的速度，则在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt。
3．蜡块运动的轨迹：在x、y的表达式中消去t，得到y＝eq \f(vy,vx)x，可见此式代表的是一条过原点的直线，即蜡块的运动轨迹是直线。
4．蜡块运动的速度：大小v＝eq \r(vx2＋vy2)，方向与x轴正方向的夹角满足tan θ＝eq \f(vy,vx)。
二、运动的合成与分解
在课本“观察蜡块的运动”实验中，改变玻璃管在水平方向运动的速度，蜡块从底部到顶端的运动时间会变吗？玻璃管水平方向的运动变化会不会影响蜡块在竖直方向的运动？这体现了分运动之间的什么特性？
答案 改变玻璃管在水平方向的运动速度，蜡块在竖直方向的运动时间不变化；水平方向玻璃管的运动不影响蜡块在竖直方向的运动；体现了分运动的独立性。
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动。(均选填“合运动”或“分运动”)
(2)合运动与分运动的四个特性
2.运动的合成与分解
(1)由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。
(2)分解方法：可以根据运动的实际效果分解，也可以正交分解。
(3)运动的合成与分解是指对位移、速度、加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。
(1)合运动一定是实际发生的运动。( √ )
(2)合运动的速度一定比分运动的速度大。( × )
(3)由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小。( × )
(4)分运动的速度、位移、加速度与合运动的速度、位移、加速度间满足平行四边形定则。
( √ )
例1 跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 B
解析 运动员同时参与了两个分运动：竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动。这两个分运动同时发生，相互独立。两分运动的方向相互垂直且着地时竖直方向的速度大小为定值，所以水平风力越大，运动员水平方向速度越大，则着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关，故选B。
例2 如图所示，甲图表示某物体在x轴方向上的分运动的vx－t的图像，乙图表示该物体在y轴方向上的分运动的vy－t图像。求：
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小。
答案 (1)3 m/s (2)5 m/s (3)4eq \r(10) m
解析 由题图可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动。
(1)在t＝0时，物体的速度大小v0＝vx＝3 m/s。
(2)在t＝8 s时，物体沿x轴方向的速度大小为3 m/s，沿y轴方向的速度大小为4 m/s，所以物体的速度大小为v8＝eq \r(vx2＋vy2)＝5 m/s。
(3)在4 s的时间内物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，物体在y轴方向发生的位移为y＝eq \f(1,2)at2＝4 m，所以4 s内物体发生的位移大小为l＝eq \r(x2＋y2)＝4eq \r(10) m。
三、合运动性质的判断
判断互成角度的两直线运动的合运动，完成下列表格。
例3 某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。
(1)同学们测出某时刻R的坐标为(4 cm,6 cm)，此时R的速度大小为________cm/s，R的加速度大小为________cm/s2。
(2)R在上升过程中运动轨迹的示意图是_________。
答案 (1)5 2 (2)D
解析 (1)小圆柱体R沿竖直方向做匀速运动，
有y＝v0t
则有t＝eq \f(y,v0)＝eq \f(6,3) s＝2 s，
小圆柱体R沿水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，
有x＝eq \f(1,2)at2，解得a＝eq \f(2x,t2)＝eq \f(2×4,22) cm/s2＝2 cm/s2，
则此时R的速度大小：
v＝eq \r(v02＋at2)＝eq \r(32＋42)cm/s＝5 cm/s。
(2)因合力沿x轴正方向，由合力指向运动轨迹弯曲的凹侧可判断轨迹示意图D正确。
例4 (2022·焦作市开学考)为了提高配送效率，许多快递公司推出了无人机配送快递的方法。某次配送快递的无人机在飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。下列关于无人机运动说法正确的是( )
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．t3～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为eq \r(v02＋v22)
答案 D
解析 0～t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速运动，则合运动为匀加速直线运动，选项A错误；0～t4时间内，无人机竖直方向的速度一直为正，即一直向上运动，则t2时刻，无人机还没有运动到最高点，选项B错误；t3～t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C错误；t2时刻，无人机的水平速度为v0，竖直速度为v2，则合速度大小为eq \r(v02＋v22)，选项D正确。
课时对点练
考点一 运动的合成与分解
1．对于两个分运动及其合运动，下列说法正确的是( )
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度至少比其中一个分运动的速度大
C．合运动的速度方向就是物体实际运动的方向
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 C
解析 合运动的速度(合速度)与分运动的速度(分速度)之间的关系遵循平行四边形定则，其中合速度为平行四边形的对角线，而两个分速度为平行四边形的两个邻边，由几何知识可知，选项A、B错误；合运动指的就是物体的实际运动，选项C正确；合运动和分运动具有等时性，选项D错误。
2.如图所示，跳伞运动员在降落伞打开一段时间以后，在空中做匀速运动。若跳伞运动员在无风时竖直匀速下落，着地速度大小是4.0 m/s。当有正东方向吹来的风，风速大小是3.0 m/s，则跳伞运动员着地时的速度( )
A．大小为5.0 m/s，方向偏西
B．大小为5.0 m/s，方向偏东
C．大小为7.0 m/s，方向偏西
D．大小为7.0 m/s，方向偏东
答案 A
3.如图所示，一架飞机沿与水平方向成37°角的方向斜向上做匀速直线运动(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，速度的大小为v＝200 m/s，下列说法正确的是( )
A．经过t＝4 s，飞机运动的水平位移是800 m
B．飞机在竖直方向的分速度大小是100 m/s
C．经过t＝4 s，飞机在竖直方向上升了480 m
D．在飞机飞行过程中飞行员处于完全失重状态
答案 C
解析 由于飞机做匀速直线运动，经过4 s，飞机运动的水平位移x＝vcs 37°·t＝640 m，A错误；飞机在竖直方向的分速度大小vy＝vsin 37°＝200×0.6 m/s＝120 m/s，B错误；经过t＝4 s，飞机在竖直方向上升的高度h＝vy·t＝120×4 m＝480 m，C正确；由于飞机做匀速直线运动，加速度为零，则竖直方向的加速度也为零，飞行员不处于完全失重状态，D错误。
考点二 合运动性质的判断
4.(2023·徐州市高一统考期末)如图所示，在行驶的列车上，一位小朋友在水平桌上玩玩具火车，小朋友让玩具火车相对于列车以恒定的速率沿直线从A点跑到B点，再以相同的速率从B点跑到A点，AB连线和列车运动方向垂直，玩具火车从A点跑到B点期间列车匀速行驶，从B点跑到A点期间列车匀加速行驶。下列说法正确的是( )
A．玩具火车从B到A相对地面做匀变速曲线运动
B．玩具火车从A到B相对地面做匀变速直线运动
C．玩具火车从A到B的时间小于从B到A的时间
D．玩具火车从A到B的时间大于从B到A的时间
答案 A
解析 以地面为参考系时，玩具火车从B到A运动时，在BA方向上做匀速运动，同时具有沿列车运动方向的匀加速运动，两方向垂直，可得两个分运动的合运动为匀变速曲线运动，A正确；以地面为参考系时，玩具火车从A到B运动时，在AB方向上做匀速运动，此时列车匀速运动，可知两个匀速运动的合运动为匀速直线运动，B错误；玩具火车相对于列车以恒定的速率沿直线从A点运动到B点，再以相同的速率从B点运动到A点，可得二者运动的时间相同，C、D错误。
5.(2022·湖州市高一期末)两端封闭的玻璃管中注满清水，迅速将管转至图示竖直位置，管内一个红蜡块立即以v1＝4 cm/s的速度匀速上浮，此时使玻璃管沿x轴正方向移动，当玻璃管沿x轴( )
A．匀速运动时，红蜡块的轨迹是一条曲线
B．以v2＝3 cm/s速度匀速运动时，红蜡块的速度大小是7 cm/s
C．以v2＝3 cm/s速度匀速运动，2 s内红蜡块的位移大小是10 cm
D．由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的轨迹是一条直线
答案 C
解析 当玻璃管沿x轴匀速运动时，红蜡块的合运动为匀速直线运动，其轨迹是一条直线，故A错误；当玻璃管沿x轴以v2＝3 cm/s的速度匀速运动时，红蜡块的速度大小v＝eq \r(v12＋v22)＝5 cm/s,2 s内红蜡块的位移大小是x＝vt＝10 cm，故B错误，C正确；当玻璃管沿x轴由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的合运动为曲线运动，其轨迹是一条曲线，故D错误。
6.(2022·蒲江县蒲江中学高一期中)某同学回到家跟自己读初一的妹妹玩游戏，让自己的妹妹找来一张白纸、一支铅笔、一把直尺，他跟妹妹说“你用铅笔沿直尺(直尺平行于ab)向右匀速运动，而我会将白纸沿ca方向向上加速运动”，请你判断下列哪张图是该同学妹妹在白纸上留下的痕迹( )
答案 B
解析 由题意可知，笔尖在水平方向向右匀速运动，在竖直方向相对纸向下加速运动，加速度向下，痕迹弯向加速度一侧，故选B。
7．如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图像如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．猴子在0～2 s内的加速度大小为4eq \r(2) m/s2
答案 B
解析 猴子在竖直方向做初速度大小为8 m/s、加速度大小为4 m/s2的匀减速直线运动，水平方向做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动，加速度大小为4 m/s2，选项A、D错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝eq \r(v0x2＋v0y2)＝eq \r(42＋82) m/s＝4eq \r(5) m/s，选项C错误。
8.如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后( )
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
C．10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D．飞机在20 s内水平方向的平均速度大小为50 m/s
答案 B
解析 由题意知，飞机离舰后的合速度与合加速度方向一致，所以飞机的运动轨迹为直线，A错误；飞机在10 s内水平方向的位移x＝v0xt＋eq \f(1,2)axt2＝500 m，竖直方向的位移y＝v0yt＋eq \f(1,2)ayt2＝250 m，B正确；飞机速度方向与水平方向夹角的正切值tan θ＝0.5，则θ不等于30°，C错误；飞机在20 s内水平方向的位移x′＝40×20 m＋eq \f(1,2)×2×202 m＝1 200 m，则平均速度大小为vx＝eq \f(x′,t′)＝60 m/s，D错误。
9．2021年10月29日，华南师大附中校运会开幕式隆重举行，各班进行入场式表演时，无人机从地面开始起飞，在空中进行跟踪拍摄。若无人机在水平和竖直方向运动的速度随时间变化关系图像如图甲、乙所示，则无人机( )
A．在0～t1的时间内，运动轨迹为曲线
B．在t1～t2的时间内，运动轨迹为直线
C．在t1～t2的时间内，速度均匀变化
D．在t3时刻的加速度方向竖直向上
答案 C
解析 v－t图线的斜率表示加速度。在0～t1的时间内，无人机沿水平方向和竖直方向均做初速度为零的匀加速直线运动，其合运动仍是直线运动，故A错误；在t1～t2的时间内，无人机的加速度沿竖直方向向下，但初速度为t1时刻的末速度，方向不是沿竖直方向，初速度和加速度不共线，因此运动轨迹应是曲线，故B错误；在t1～t2的时间内，无人机加速度沿竖直方向向下，且为定值，因此其速度均匀变化，故C正确；在t3时刻，由题图甲、乙分析可知，无人机水平方向上的加速度不为零，其合加速度方向不是竖直向上，故D错误。
10．在救灾过程中，有时需出动军用直升机为被困灾民空投物资。直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开直升机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s。若直升机停留在离地面100 m高处空投物资，由于在水平方向上受风的作用，降落伞和物资获得1 m/s的水平方向的恒定速度。求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中沿水平方向移动的位移大小。
答案 (1)20 s (2)eq \r(26) m/s (3)20 m
解析 如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动。
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等。
所以t＝eq \f(h,vy)＝eq \f(100,5) s＝20 s。
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \r(12＋52) m/s＝eq \r(26) m/s。
(3)物资在下落过程中沿水平方向移动的位移大小为x＝vxt＝1×20 m＝20 m。
11．(2023·合肥一六八中高一期中)为丰富学生的课余生活，增进班级间的友谊，提高同学间的团结协作能力，某校高一学生利用课外活动时间在学校11人制足球场(长105 m，宽68 m)举行了班级友谊联赛。比赛过程中，某同学刚好经过足球场中心位置，此时开始计时，以足球场的中心为坐标原点，平行于长边为x轴，平行于短边为y轴，建立直角坐标系，如图记录了该同学沿两轴方向的运动图像，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则：
(1)通过计算说明t＝8 s时，该同学是否出界；
(2)求t＝2 s时该同学的速度。
答案 (1)出界 (2)5 m/s，方向与x轴正方向的夹角为37°
解析 (1)0～8 s内，由v－t图像与时间轴所围面积表示位移，可得该同学沿y轴位移为
y＝eq \f(6,2)×4 m＋6×4 m＝36 m>eq \f(68,2) m＝34 m
所以，该同学已出界。
(2)由图像可知，0～4 s内，该同学沿x轴正方向做匀速直线运动，由x－t图像的斜率表示速度可得
vx＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(16,4) m/s＝4 m/s
该同学沿y轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，由v－t图像的斜率表示加速度可得
ay＝eq \f(Δvy,Δt)＝eq \f(6,4) m/s2＝1.5 m/s2
则有vy＝ayt＝1.5×2 m/s＝3 m/s
t＝2 s时该同学的速度大小为
v＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \r(42＋32) m/s＝5 m/s
设速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(3,4)＝0.75
解得θ＝37°
即t＝2 s时该同学速度大小为5 m/s，方向与x轴正方向的夹角为37°。
12．(2022·咸阳市月考)如图所示，中学生在雨中打伞行走，从物理学可知当雨滴垂直落在伞面上时人淋雨最少，若雨滴在空中以2 m/s的速度竖直下落，而学生打着伞以1.5 m/s的速度向西走，则该学生少淋雨的打伞(伞柄指向)方向为(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)( )
答案 A
解析 在水平方向上，雨滴相对于人的速度为1.5 m/s，方向向东，在竖直方向上，雨滴的速度为2 m/s，方向竖直向下，设雨滴相对于人的速度方向与竖直方向的夹角为α，则根据矢量合成法则可知，tan α＝eq \f(v水平,v竖直)＝eq \f(3,4)，解得α＝37°，可见伞柄应向前倾斜，与竖直方向成37°角，故选A。等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
分运动
矢量图
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动
匀变速直线运动
匀变速曲线运动
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