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人教版 (2019)必修 第二册第五章 抛体运动2 运动的合成与分解学案
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册第五章 抛体运动2 运动的合成与分解学案，共13页。学案主要包含了学习素养·明目标等内容，欢迎下载使用。
【学习素养·明目标】 物理观念：1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法.2.经历蜡块运动的探究过程，体会研究曲线运动的方法——运动的合成与分解．
科学思维：1.通过对合运动和分运动的分析，体会等效替代的思想在物理学中的应用.2.能运用合成和分解的思想分析两类典型的运动模型——“小船渡河”模型和“关联速度”模型．
一、一个平面运动的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt.
2．蜡块运动的速度：大小v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，方向满足tan θ＝eq \f(vy,vx).
3．蜡块运动的轨迹：y＝eq \f(vy,vx)x，是一条过原点的直线．
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解．
3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量运算法则．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等．(√)
(2)合运动一定是实际发生的运动．(√)
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大．(×)
(4)两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动．(√)
2．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( )
①风速越大，雨滴下落时间越长 ②风速越大，雨滴着地时速度越大 ③雨滴下落时间与风速无关 ④雨滴着地速度与风速无关
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
B [将雨滴的运动在水平方向和竖直方向分解，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确．风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误，故选B.]
3．如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的( )
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．三条轨迹都有可能
B [红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这两个分运动，实际运动的轨迹即是合运动的轨迹．由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之间有一定夹角，故轨迹是曲线．又因为物体做曲线运动的轨迹总向加速度方向偏折(或加速度方向总指向曲线的凹侧)，故选项B正确．]
[观察探究]
如图所示，跳伞运动员打开降落伞后正在从高空下落．
(1)跳伞员在无风时竖直匀速下落，有风时运动员的实际运动轨迹还竖直向下吗？竖直方向的运动是跳伞员的合运动还是分运动？
(2)已知跳伞员的两个分运动速度，怎样求跳伞员的合速度？
提示：(1)有风时不沿竖直向下运动．无风时跳伞员竖直匀速下落，有风时，一方面竖直匀速下落，一方面在风力作用下水平运动．因此，竖直匀速下落的运动是跳伞员的分运动．
(2)应用矢量运算法则求合速度．
[探究归纳]
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的四个特性
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解．
(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则．
【例1】 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮．在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图所示．若玻璃管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，下列关于玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离计算结果正确的是( )
A．0.1 m/s,1.73 m B．0.173 m/s,1.0 m
C．0.173 m/s,1.73 m D．0.1 m/s,1.0 m
C [由题图知竖直位移与水平位移之间的关系为tan 30°＝eq \f(y,x)
由分运动具有独立性和等时性得：y＝vyt、x＝vxt
联立解得：x＝1.73 m，vx＝0.173 m/s.故C项正确．]
上例中，若将玻璃管水平向右匀速运动改为从静止开始匀加速运动；将蜡块实际运动方向与水平方向成30°角改为蜡块最终位移方向与水平方向成45°角，其他条件不变，则玻璃管水平方向的加速度多大？
提示：由tan 45°＝eq \f(y,x)，则x＝1.0 m，由x＝eq \f(1,2)at2，y＝vyt得t＝10 s，a＝0.02 m/s2.
“三步走”求解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动．
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形．
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角函数、三角形相似等数学知识．
1．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹( )
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1,v2)，那么轨迹一定是直线
D [本题考查两直线运动合运动性质的确定，解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上．如果eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1,v2)，那么，合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，所以D正确．]
[观察探究]
小船渡河问题中，小船渡河参与了哪两个运动？怎样过河时间最短？怎样过河位移最短？
提示：小船渡河参与了相对于静水的运动和随河水漂流的运动；船头垂直河岸渡河时时间最短，合位移垂直河岸时位移最短．
[探究归纳]
1．模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同．
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝eq \f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq \f(d,sin θ)，位移方向满足tan θ＝eq \f(v船,v水).
(2)渡河位移最短问题
甲
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq \f(d,v船sin θ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水，如图甲所示．
情况二：v水＞v船
如图乙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短航程为x＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cs θ′＝eq \f(v船,v水).
乙
【例2】 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s.船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示，
甲
合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v2＝5 m/s.
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m.
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与河岸成某一角度β.
如图乙所示，由v2sin α＝v1得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短．
乙
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v′⊥)＝eq \f(d,v2cs 30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s.
[答案] (1)36 s 90eq \r(5) m
(2)偏向上游与河岸成60°角 24eq \r(3) s
小船渡河问题要注意三点
(1)eq \x(研究小船渡河时间时)→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解．
(2)eq \x(分析小船速度时)→可画出小船的速度分解图进行分析．
(3)eq \x(研究小船渡河位移时)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图．
2．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( )
A．船渡河时间为eq \f(d,v2)
B．船渡河时间为eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))
C．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(v2,v1)·d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))·d
C [船正对河岸运动，渡河时间最短t＝eq \f(d,v1)，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝eq \f(v2,v1)·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．]
[观察探究]
绳联物体问题中，如何判断合速度和分速度？速度怎样分解？
提示：物体的实际运动是合运动；将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．
[探究归纳]
1．“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)，要注意以下两点：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直于绳方向．
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等．
2．常见的速度分解模型
【例3】 如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( )
A．v
B.eq \f(v,sin θ)
C．vcs θ
D．vsin θ
D [将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝vsin θ，故D正确．
]
上例中，若物体B以速度v向左匀速运动，则物体A做什么运动？
提示：vA′＝eq \f(v,sin θ)
由于θ变小，故vA′变大，故物体A向上做加速运动．
3.如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
C [可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cs θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确．]
1.关于合运动与分运动的关系，下列说法正确的是( )
A．合运动速度一定不小于分运动速度
B．合运动加速度不可能与分运动加速度相同
C．合运动的速度与分运动的速度没有关系，但合运动与分运动的时间相等
D．合位移可能等于两分位移的代数和
D [根据平行四边形定则，作出以两个互成角度的分速度为邻边的平行四边形，过两邻边夹角的对角线表示合速度，对角线的长度可能等于邻边长度，也可能小于邻边长度，也可能大于邻边长度，选项A错误；合运动的加速度可能大于、等于或小于分运动的加速度，选项B错误；合运动与分运动具有等效性、同体性、等时性等关系，选项C错误；如果两个分运动在同一直线上，且方向相同，其合位移就等于两分位移的代数和，选项D正确．]
2．(多选)已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是( )
A B
C D
CD [小船的路径应沿合速度方向，不可能与船头指向相同，故A、B错误，C、D正确．]
3．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为( )
A．v B．vcs θ
C.eq \f(v,cs θ) D．vcs2 θ
B [如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得vP＝vcs θ，故B正确，A、C、D错误．]
4．飞机在航行时，它的航线方向要严格地从东到西，如果飞机的速度是160 km/h，风从南面吹来，风的速度为80 km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80eq \r(3) km，飞机飞过所测地区所需时间是多少？
[解析] (1)根据平行四边形定则可确定飞机的航向，如图所示，
有sin θ＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(80,160)＝eq \f(1,2)，θ＝30°即西偏南30°.
(2)飞机的合速度
v＝v2cs 30°＝80eq \r(3) km/h
所需时间t＝eq \f(x,v)＝1 h.
[答案] (1)西偏南30° (2)1 h
运动的合成与分解
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
小船渡河问题
“绳联物体”的速度分解问题
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.物体实际发生的运动是合运动，参与的几个运动是分运动，合运动与分运动遵循平行四边形定则．
2．小船渡河问题中，船头垂直河岸渡河时间最短，合速度垂直河岸位移最小．
3．“绳联物体”问题中，将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量.
【学习素养·明目标】 物理观念：1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法.2.经历蜡块运动的探究过程，体会研究曲线运动的方法——运动的合成与分解．
科学思维：1.通过对合运动和分运动的分析，体会等效替代的思想在物理学中的应用.2.能运用合成和分解的思想分析两类典型的运动模型——“小船渡河”模型和“关联速度”模型．
一、一个平面运动的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt.
2．蜡块运动的速度：大小v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，方向满足tan θ＝eq \f(vy,vx).
3．蜡块运动的轨迹：y＝eq \f(vy,vx)x，是一条过原点的直线．
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解．
3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量运算法则．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等．(√)
(2)合运动一定是实际发生的运动．(√)
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大．(×)
(4)两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动．(√)
2．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( )
①风速越大，雨滴下落时间越长 ②风速越大，雨滴着地时速度越大 ③雨滴下落时间与风速无关 ④雨滴着地速度与风速无关
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
B [将雨滴的运动在水平方向和竖直方向分解，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确．风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误，故选B.]
3．如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的( )
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．三条轨迹都有可能
B [红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这两个分运动，实际运动的轨迹即是合运动的轨迹．由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之间有一定夹角，故轨迹是曲线．又因为物体做曲线运动的轨迹总向加速度方向偏折(或加速度方向总指向曲线的凹侧)，故选项B正确．]
[观察探究]
如图所示，跳伞运动员打开降落伞后正在从高空下落．
(1)跳伞员在无风时竖直匀速下落，有风时运动员的实际运动轨迹还竖直向下吗？竖直方向的运动是跳伞员的合运动还是分运动？
(2)已知跳伞员的两个分运动速度，怎样求跳伞员的合速度？
提示：(1)有风时不沿竖直向下运动．无风时跳伞员竖直匀速下落，有风时，一方面竖直匀速下落，一方面在风力作用下水平运动．因此，竖直匀速下落的运动是跳伞员的分运动．
(2)应用矢量运算法则求合速度．
[探究归纳]
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的四个特性
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解．
(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则．
【例1】 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮．在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图所示．若玻璃管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，下列关于玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离计算结果正确的是( )
A．0.1 m/s,1.73 m B．0.173 m/s,1.0 m
C．0.173 m/s,1.73 m D．0.1 m/s,1.0 m
C [由题图知竖直位移与水平位移之间的关系为tan 30°＝eq \f(y,x)
由分运动具有独立性和等时性得：y＝vyt、x＝vxt
联立解得：x＝1.73 m，vx＝0.173 m/s.故C项正确．]
上例中，若将玻璃管水平向右匀速运动改为从静止开始匀加速运动；将蜡块实际运动方向与水平方向成30°角改为蜡块最终位移方向与水平方向成45°角，其他条件不变，则玻璃管水平方向的加速度多大？
提示：由tan 45°＝eq \f(y,x)，则x＝1.0 m，由x＝eq \f(1,2)at2，y＝vyt得t＝10 s，a＝0.02 m/s2.
“三步走”求解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动．
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形．
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角函数、三角形相似等数学知识．
1．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹( )
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1,v2)，那么轨迹一定是直线
D [本题考查两直线运动合运动性质的确定，解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上．如果eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1,v2)，那么，合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，所以D正确．]
[观察探究]
小船渡河问题中，小船渡河参与了哪两个运动？怎样过河时间最短？怎样过河位移最短？
提示：小船渡河参与了相对于静水的运动和随河水漂流的运动；船头垂直河岸渡河时时间最短，合位移垂直河岸时位移最短．
[探究归纳]
1．模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同．
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝eq \f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq \f(d,sin θ)，位移方向满足tan θ＝eq \f(v船,v水).
(2)渡河位移最短问题
甲
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq \f(d,v船sin θ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水，如图甲所示．
情况二：v水＞v船
如图乙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短航程为x＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cs θ′＝eq \f(v船,v水).
乙
【例2】 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s.船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示，
甲
合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v2＝5 m/s.
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m.
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与河岸成某一角度β.
如图乙所示，由v2sin α＝v1得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短．
乙
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v′⊥)＝eq \f(d,v2cs 30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s.
[答案] (1)36 s 90eq \r(5) m
(2)偏向上游与河岸成60°角 24eq \r(3) s
小船渡河问题要注意三点
(1)eq \x(研究小船渡河时间时)→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解．
(2)eq \x(分析小船速度时)→可画出小船的速度分解图进行分析．
(3)eq \x(研究小船渡河位移时)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图．
2．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( )
A．船渡河时间为eq \f(d,v2)
B．船渡河时间为eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))
C．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(v2,v1)·d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))·d
C [船正对河岸运动，渡河时间最短t＝eq \f(d,v1)，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝eq \f(v2,v1)·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．]
[观察探究]
绳联物体问题中，如何判断合速度和分速度？速度怎样分解？
提示：物体的实际运动是合运动；将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．
[探究归纳]
1．“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)，要注意以下两点：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直于绳方向．
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等．
2．常见的速度分解模型
【例3】 如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( )
A．v
B.eq \f(v,sin θ)
C．vcs θ
D．vsin θ
D [将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝vsin θ，故D正确．
]
上例中，若物体B以速度v向左匀速运动，则物体A做什么运动？
提示：vA′＝eq \f(v,sin θ)
由于θ变小，故vA′变大，故物体A向上做加速运动．
3.如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
C [可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cs θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确．]
1.关于合运动与分运动的关系，下列说法正确的是( )
A．合运动速度一定不小于分运动速度
B．合运动加速度不可能与分运动加速度相同
C．合运动的速度与分运动的速度没有关系，但合运动与分运动的时间相等
D．合位移可能等于两分位移的代数和
D [根据平行四边形定则，作出以两个互成角度的分速度为邻边的平行四边形，过两邻边夹角的对角线表示合速度，对角线的长度可能等于邻边长度，也可能小于邻边长度，也可能大于邻边长度，选项A错误；合运动的加速度可能大于、等于或小于分运动的加速度，选项B错误；合运动与分运动具有等效性、同体性、等时性等关系，选项C错误；如果两个分运动在同一直线上，且方向相同，其合位移就等于两分位移的代数和，选项D正确．]
2．(多选)已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是( )
A B
C D
CD [小船的路径应沿合速度方向，不可能与船头指向相同，故A、B错误，C、D正确．]
3．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为( )
A．v B．vcs θ
C.eq \f(v,cs θ) D．vcs2 θ
B [如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得vP＝vcs θ，故B正确，A、C、D错误．]
4．飞机在航行时，它的航线方向要严格地从东到西，如果飞机的速度是160 km/h，风从南面吹来，风的速度为80 km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80eq \r(3) km，飞机飞过所测地区所需时间是多少？
[解析] (1)根据平行四边形定则可确定飞机的航向，如图所示，
有sin θ＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(80,160)＝eq \f(1,2)，θ＝30°即西偏南30°.
(2)飞机的合速度
v＝v2cs 30°＝80eq \r(3) km/h
所需时间t＝eq \f(x,v)＝1 h.
[答案] (1)西偏南30° (2)1 h
运动的合成与分解
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
小船渡河问题
“绳联物体”的速度分解问题
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.物体实际发生的运动是合运动，参与的几个运动是分运动，合运动与分运动遵循平行四边形定则．
2．小船渡河问题中，船头垂直河岸渡河时间最短，合速度垂直河岸位移最小．
3．“绳联物体”问题中，将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量.
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