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高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 抛体运动的规律第2课时学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 抛体运动的规律第2课时学案，共12页。
一、平抛运动的两个重要推论
1．推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝eq \f(1,2)xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ＝eq \f(yA,xA－xOB)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t－xOB)②
联立①②式解得xOB＝eq \f(1,2)v0t＝eq \f(1,2)xA。
2．推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝eq \f(gt,v0)①
位移偏向角的正切值
tan α＝eq \f(yA,xA)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)②
联立①②式可得tan θ＝2tan α。
例1 (2023·廊坊市高一期末)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
答案 C
解析 根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β，
由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan(φ＋θ)＝2tan θ，
此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。
例2 在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)( )
A.eq \f(9,7)d B．2d C.eq \f(24,7)d D.eq \f(12,7)d
答案 C
解析 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x，
eq \f(x,2tan 37°)－eq \f(x,2tan 53°)＝d，
解得x＝eq \f(24,7)d，故选C。
二、一般的抛体运动
如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。
1．斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？
答案 采用“化曲为直”的思路，利用运动的分解，用两个直线运动进行等效替代。
2．试根据所学知识分析斜上抛运动的特点。
1．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度
水平速度：vx＝v0x＝v0cs θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin_θ－gt。
2．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移
水平位移：x＝v0xt＝v0tcs θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－eq \f(1,2)gt2。
3．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点
(1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。
(2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。
(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
4．由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
1．做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？
答案 做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t＝eq \f(v0y,g)，所以物体落回同一水平面的时间为T＝eq \f(2v0y,g)，则可知T 与竖直分速度有关。
2．做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？
答案 物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy＝0)，可得：hm＝eq \f(v0y2,2g)，则上升的最大高度与竖直分速度有关。
3．做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？
答案 由x＝v0xt总得，做斜上抛运动的物体水平射程为： x＝eq \f(v02sin 2θ,g)，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ＝45°时，sin 2θ＝1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。
例3 (多选)(2022·西安市高一期末)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．飞靶从A到B的飞行时间为2 s
B．飞靶在最高点的速度大小为25 m/s
C．抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大
D．抬高仰角θ，飞靶的飞行距离不断增大
答案 BC
解析 飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得飞靶从A到B的飞行时间为tAB＝2t1＝2eq \r(\f(2h,g))＝4 s，故A错误；飞靶在水平方向的速度vx＝eq \f(x,tAB)＝25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度大小为25 m/s，故B正确；根据运动的分解可得vx＝vcs θ，vy＝vsin θ，飞靶飞行的时间t＝eq \f(2vy,g)＝eq \f(2vsin θ,g)，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故C正确；飞行距离x＝vxt＝eq \f(2v2sin θcs θ,g)＝eq \f(v2sin 2θ,g)，可知θ＝45°时，飞行距离有最大值，并不是不断增大，故D错误。
例4 如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的加速度大
B．B的飞行时间比A的飞行时间长
C．B落地时的速度比A落地时的速度大
D．B在最高点的速度与A在最高点的速度相等
答案 C
解析 A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t＝eq \r(\f(2h,g))，知两球下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误；两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平分速度小，最高点只有水平分速度，故最高点A的速度比B的速度小，故D错误；落地时根据vy＝eq \r(2gh)，知A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v＝eq \r(vx2＋vy2)可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确。
课时对点练
考点一 平抛运动的两个重要推论
1.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为eq \f(θ,2)
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案 D
解析 将小球的速度、位移分解如图所示，vy＝gt，v0＝eq \f(vy,tan θ)＝eq \f(gt,tan θ)，故A错误；设位移方向与水平方向夹角为α，由平抛运动的推论知tan θ＝2tan α，α≠eq \f(θ,2)，故B错误；平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；由tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)知，t不变时，v0增大，则θ减小，故D正确。
2.(2022·海林市高级中学高一开学考试)如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
答案 C
解析 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平＝OM＝2QM＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t＝eq \f(x水平,v0)＝3 s，故选C。
考点二 一般的抛体运动
3．(2022·宁波市高一期中)某运动员在大跳台比赛中从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是( )
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
答案 A
解析 相邻位置的时间间隔相同，根据Δv＝gΔt，可知运动员重心的速度变化相同，故A正确； A和D处于同一水平高度，则运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，故B错误；由题图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误；由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。
4.“过水门”是由两辆消防车相对喷水形成类似水门的造型而得名，这项寓意为“接风洗尘”的仪式，是国际民航中最高级别的礼仪。如图所示，若水柱轨迹在两相互平行的竖直面内，甲、乙两喷水口的高度相同，甲喷出的水柱最高点更高，不计空气阻力，则( )
A．甲喷口处的水速度一定更大
B．甲喷出的水射得一定更远
C．甲喷出的水在空中运动时间一定更长
D．甲喷口处的水柱与水平面的夹角一定更大
答案 C
解析 将甲、乙喷出的水运动到最高点的过程逆向看作是平抛运动，甲喷出的水柱最高点更高，根据h＝eq \f(1,2)gt2及vy2＝2gh可知，甲喷出的水在空中运动时间一定更长，甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，故C正确；甲、乙喷出的水柱在水平方向做匀速直线运动，则有x＝vxt，由于无法得出二者水平分速度vx大小关系，所以无法得出二者喷出的水射程大小关系，故B错误；设喷出时水的初速度为v，喷口处的水柱与水平面的夹角为θ，有v＝eq \r(vx2＋vy2)，tan θ＝eq \f(vy,vx)，甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，但vx大小关系无法确定，所以无法得出二者喷出的水初速度大小关系和初速度与水平面夹角大小关系，故A、D错误。
5．(2022·南宁十中高一期末)两消防员在水平地面A、B两处使用相同口径的喷水枪对高楼着火点进行灭火，出水轨迹简化为如图所示，假设均能垂直击中竖直楼面上的同一位置点P。不计空气阻力，则( )
A．A处水枪喷出的水在空中运动的时间较长
B．B处水枪喷出的水在空中运动的时间较长
C．A处水枪喷出的水击中墙面的速度较大
D．B处水枪喷出的水击中墙面的速度较大
答案 C
解析 将喷出的水看作小球，利用逆向思维，两小球从抛出点抛出到垂直击中P的过程可以看成小球从P点做平抛运动，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知落地时间只与高度有关，则从抛出到击中墙壁的时间相等，即A、B两处水枪喷出的水在空中运动时间相同，故A、B错误；根据x＝v0t可知，两球的水平方向位移不同，则在P点的速度为vAP＝eq \f(xA,t)，vBP＝eq \f(xB,t)，则击中墙面的速率v ∝x，所以A处水枪喷出的水击中墙面的速度较大，C正确，D错误。
6．(多选)(2022·长春市第五中学期末)草坪洒水器工作的画面如图所示，若水流离开洒水器喷口时与水平面夹角θ不变，速率均为v0，在不计空气的阻力和洒水器喷口离地面的高度的情况下，重力加速度为g，可以判断( )
A．水落地前瞬间的速率为v1＝v0sin θ
B．水到达最高点时的速率为v2＝0
C．水在空中飞行时间为t＝eq \f(2v0sin θ,g)
D．水的水平射程为x＝eq \f(v02sin 2θ,g)
答案 CD
解析 由对称性知水落地前瞬间的速率仍为v0，A错误；将水的运动分解到水平方向和竖直方向，由于水平方向做匀速直线运动，在最高点时竖直方向速度为零，可知水到达最高点时的速率为v2＝v0cs θ，B错误；水离开洒水器喷口时的竖直分速度vy＝v0sin θ，因此水在空中飞行时间为t＝eq \f(2vy,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)，C正确；水的水平射程为x＝v2t＝v0cs θ·eq \f(2v0sin θ,g)＝eq \f(v02sin 2θ,g)，D正确。
7.如图所示，某同学分别在同一直线上的A、B、C三个位置投掷篮球，结果都击中篮筐，击中篮筐时篮球的速度方向均沿水平方向，大小分别为v1、v2、v3，若篮球出手时高度相同，速度的方向与水平方向的夹角分别是θ1、θ2、θ3，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．v1v2>v3
C．θ1>θ2>θ3 D．θ1＝θ2＝θ3
答案 B
解析 三个篮球都垂直击中篮筐，其逆过程是平抛运动，设某一篮球击中篮筐的速度为v，上升的高度为h，水平位移为x，则有：x＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，可得：v＝xeq \r(\f(g,2h))，h相同，则v∝x，可得v1>v2>v3，故B正确，A错误；根据速度的分解有：tan θ＝eq \f(gt,v)，t相同，v1>v2>v3，则θ1<θ2<θ3，故C、D错误。
8.如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则( )
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球击出的初速度竖直分量不相等
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
答案 A
解析 竖直方向运动的高度相等，则运动时间相等，三个高尔夫球击出的初速度竖直分量相等，选项B、C错误；由于运动时间相等，甲击出的高尔夫球的水平位移最大，故甲击出的初速度水平分量最大，据运动的对称性和速度的合成可知甲击出的高尔夫球落地的速率最大，选项A正确，D错误。
9.(2023·南京市中华中学校考)在某战役中，我方部队在山顶用小型迫击炮对敌方阵地进行打击，刚好命中目标。如图所示，发射位置与目标的水平距离L＝12 km，已知炮弹出射速度大小为300 m/s，方向与水平面的夹角为θ＝37°，忽略炮弹飞行过程中受到的阻力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．炮弹在空中飞行的时间为40 s
B．炮弹发射处与击中目标间的高度差为3 500 m
C．炮弹出射速度与击中目标时的速度之比为16∶9
D．炮弹飞行过程中，单位时间内速度变化量的方向不断改变
答案 B
解析 炮弹在空中飞行的时间为t＝eq \f(L,v0cs 37°)＝eq \f(12 000,300×0.8) s＝50 s，故A错误；炮弹发射处与击中目标间的高度差为H＝|v0sin 37°·t－eq \f(1,2)gt2|，解得H＝3 500 m，故B正确；击中目标时水平速度不变，为vx＝vt·sin θ＝v0·cs θ，因此发射速度和击中目标时速度之比为v0∶vt＝3∶4，故C错误；速度变化量的方向和加速度的方向相同，始终竖直向下，故D错误。
10.(多选)(2022·定远育才学校高一期中)如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知抛出的初速度为20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
A．QM的长度为20 m
B．OP与水平方向的夹角为22.5°
C．质点在P点的速度大小为40 m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
答案 AD
解析 根据平拋运动在竖直方向上是自由落体运动有MP＝eq \f(1,2)gt2，可得t＝2 s，质点在水平方向的位移为OM＝v0t＝40 m，根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM＝20 m，故A正确；tan θ＝eq \f(MP,QM)＝1，θ＝45°，因为OP与水平方向的夹角满足tan α＝eq \f(MP,OM)＝eq \f(1,2)，可见tan θ＝2tan α，但是α不是θ的一半，故α不为22.5°，故B错误；质点在P点的竖直速度vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，所以在P点的速度为v＝eq \r(v02＋vy2)＝eq \r(202＋202) m/s＝20eq \r(2) m/s，故C错误；因为eq \f(vy,v0)＝tan θ＝1，所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确。
11．从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；
(2)石子的水平位移大小；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；
(4)抛出点离地面的高度。
答案 (1)1.2 s (2)eq \f(18\r(3),5) m (3)0.45 m (4)3.6 m
解析 (1)如图所示，石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则eq \f(vy,vx)＝tan 60°＝eq \r(3)
即vy＝eq \r(3)vx＝eq \r(3)v0cs 30°＝eq \r(3)×6×eq \f(\r(3),2) m/s＝9 m/s
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则－vy＝v0sin 30°－gt，解得t＝1.2 s。
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动：
x＝v0tcs 30°＝6×1.2×eq \f(\r(3),2) m＝eq \f(18\r(3),5) m。
(3)当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，设最大高度为h，
由于v0y＝v0sin 30°＝6×eq \f(1,2) m/s＝3 m/s，
由v0y2＝2gh得h＝eq \f(v0y2,2g)＝eq \f(32,2×10) m＝0.45 m。
(4)抛出点离地面的高度h1＝|v0sin 30°×t－eq \f(1,2)gt2|＝|6×eq \f(1,2)×1.2 m－eq \f(1,2)×10×1.22 m|＝3.6 m。
12．(多选)(2022·潍坊市高一期中)在某次滑雪大跳台比赛中，将运动员视为质点，图甲是从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则运动员( )
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为3 s
答案 BD
解析 在空中相同时间内的平均速度不等，则位移不相等，选项A错误；根据Δv＝gΔt可知，在空中相同时间内的速度变化量相等，选项B正确；因1.4 s末上升到最高点，根据vy＝gt1可知，冲出跳台的竖直方向分速度大小为vy＝14 m/s，则冲出跳台的速度大于14 m/s，选项C错误；上升的高度为h＝eq \f(vy,2)t1＝9.8 m，则下降的时间t2＝eq \r(\f(2h＋h0,g))＝eq \r(\f(2×9.8＋3,10)) s＝1.6 s，在空中运动的时间为t总＝t1＋t2＝3 s，选项D正确。初速度
受力情况
加速度
运动情况
水平方向
v0x＝v0cs θ
不受力
ax＝0
匀速直线运动
竖直方向
v0y＝v0sin θ
重力
ay＝g
竖直上抛运动
一、平抛运动的两个重要推论
1．推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝eq \f(1,2)xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ＝eq \f(yA,xA－xOB)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t－xOB)②
联立①②式解得xOB＝eq \f(1,2)v0t＝eq \f(1,2)xA。
2．推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝eq \f(gt,v0)①
位移偏向角的正切值
tan α＝eq \f(yA,xA)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)②
联立①②式可得tan θ＝2tan α。
例1 (2023·廊坊市高一期末)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
答案 C
解析 根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β，
由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan(φ＋θ)＝2tan θ，
此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。
例2 在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)( )
A.eq \f(9,7)d B．2d C.eq \f(24,7)d D.eq \f(12,7)d
答案 C
解析 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x，
eq \f(x,2tan 37°)－eq \f(x,2tan 53°)＝d，
解得x＝eq \f(24,7)d，故选C。
二、一般的抛体运动
如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。
1．斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？
答案 采用“化曲为直”的思路，利用运动的分解，用两个直线运动进行等效替代。
2．试根据所学知识分析斜上抛运动的特点。
1．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度
水平速度：vx＝v0x＝v0cs θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin_θ－gt。
2．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移
水平位移：x＝v0xt＝v0tcs θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－eq \f(1,2)gt2。
3．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点
(1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。
(2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。
(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
4．由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
1．做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？
答案 做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t＝eq \f(v0y,g)，所以物体落回同一水平面的时间为T＝eq \f(2v0y,g)，则可知T 与竖直分速度有关。
2．做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？
答案 物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy＝0)，可得：hm＝eq \f(v0y2,2g)，则上升的最大高度与竖直分速度有关。
3．做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？
答案 由x＝v0xt总得，做斜上抛运动的物体水平射程为： x＝eq \f(v02sin 2θ,g)，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ＝45°时，sin 2θ＝1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。
例3 (多选)(2022·西安市高一期末)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．飞靶从A到B的飞行时间为2 s
B．飞靶在最高点的速度大小为25 m/s
C．抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大
D．抬高仰角θ，飞靶的飞行距离不断增大
答案 BC
解析 飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得飞靶从A到B的飞行时间为tAB＝2t1＝2eq \r(\f(2h,g))＝4 s，故A错误；飞靶在水平方向的速度vx＝eq \f(x,tAB)＝25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度大小为25 m/s，故B正确；根据运动的分解可得vx＝vcs θ，vy＝vsin θ，飞靶飞行的时间t＝eq \f(2vy,g)＝eq \f(2vsin θ,g)，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故C正确；飞行距离x＝vxt＝eq \f(2v2sin θcs θ,g)＝eq \f(v2sin 2θ,g)，可知θ＝45°时，飞行距离有最大值，并不是不断增大，故D错误。
例4 如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的加速度大
B．B的飞行时间比A的飞行时间长
C．B落地时的速度比A落地时的速度大
D．B在最高点的速度与A在最高点的速度相等
答案 C
解析 A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t＝eq \r(\f(2h,g))，知两球下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误；两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平分速度小，最高点只有水平分速度，故最高点A的速度比B的速度小，故D错误；落地时根据vy＝eq \r(2gh)，知A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v＝eq \r(vx2＋vy2)可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确。
课时对点练
考点一 平抛运动的两个重要推论
1.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为eq \f(θ,2)
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案 D
解析 将小球的速度、位移分解如图所示，vy＝gt，v0＝eq \f(vy,tan θ)＝eq \f(gt,tan θ)，故A错误；设位移方向与水平方向夹角为α，由平抛运动的推论知tan θ＝2tan α，α≠eq \f(θ,2)，故B错误；平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；由tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)知，t不变时，v0增大，则θ减小，故D正确。
2.(2022·海林市高级中学高一开学考试)如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
答案 C
解析 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平＝OM＝2QM＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t＝eq \f(x水平,v0)＝3 s，故选C。
考点二 一般的抛体运动
3．(2022·宁波市高一期中)某运动员在大跳台比赛中从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是( )
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
答案 A
解析 相邻位置的时间间隔相同，根据Δv＝gΔt，可知运动员重心的速度变化相同，故A正确； A和D处于同一水平高度，则运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，故B错误；由题图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误；由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。
4.“过水门”是由两辆消防车相对喷水形成类似水门的造型而得名，这项寓意为“接风洗尘”的仪式，是国际民航中最高级别的礼仪。如图所示，若水柱轨迹在两相互平行的竖直面内，甲、乙两喷水口的高度相同，甲喷出的水柱最高点更高，不计空气阻力，则( )
A．甲喷口处的水速度一定更大
B．甲喷出的水射得一定更远
C．甲喷出的水在空中运动时间一定更长
D．甲喷口处的水柱与水平面的夹角一定更大
答案 C
解析 将甲、乙喷出的水运动到最高点的过程逆向看作是平抛运动，甲喷出的水柱最高点更高，根据h＝eq \f(1,2)gt2及vy2＝2gh可知，甲喷出的水在空中运动时间一定更长，甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，故C正确；甲、乙喷出的水柱在水平方向做匀速直线运动，则有x＝vxt，由于无法得出二者水平分速度vx大小关系，所以无法得出二者喷出的水射程大小关系，故B错误；设喷出时水的初速度为v，喷口处的水柱与水平面的夹角为θ，有v＝eq \r(vx2＋vy2)，tan θ＝eq \f(vy,vx)，甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，但vx大小关系无法确定，所以无法得出二者喷出的水初速度大小关系和初速度与水平面夹角大小关系，故A、D错误。
5．(2022·南宁十中高一期末)两消防员在水平地面A、B两处使用相同口径的喷水枪对高楼着火点进行灭火，出水轨迹简化为如图所示，假设均能垂直击中竖直楼面上的同一位置点P。不计空气阻力，则( )
A．A处水枪喷出的水在空中运动的时间较长
B．B处水枪喷出的水在空中运动的时间较长
C．A处水枪喷出的水击中墙面的速度较大
D．B处水枪喷出的水击中墙面的速度较大
答案 C
解析 将喷出的水看作小球，利用逆向思维，两小球从抛出点抛出到垂直击中P的过程可以看成小球从P点做平抛运动，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知落地时间只与高度有关，则从抛出到击中墙壁的时间相等，即A、B两处水枪喷出的水在空中运动时间相同，故A、B错误；根据x＝v0t可知，两球的水平方向位移不同，则在P点的速度为vAP＝eq \f(xA,t)，vBP＝eq \f(xB,t)，则击中墙面的速率v ∝x，所以A处水枪喷出的水击中墙面的速度较大，C正确，D错误。
6．(多选)(2022·长春市第五中学期末)草坪洒水器工作的画面如图所示，若水流离开洒水器喷口时与水平面夹角θ不变，速率均为v0，在不计空气的阻力和洒水器喷口离地面的高度的情况下，重力加速度为g，可以判断( )
A．水落地前瞬间的速率为v1＝v0sin θ
B．水到达最高点时的速率为v2＝0
C．水在空中飞行时间为t＝eq \f(2v0sin θ,g)
D．水的水平射程为x＝eq \f(v02sin 2θ,g)
答案 CD
解析 由对称性知水落地前瞬间的速率仍为v0，A错误；将水的运动分解到水平方向和竖直方向，由于水平方向做匀速直线运动，在最高点时竖直方向速度为零，可知水到达最高点时的速率为v2＝v0cs θ，B错误；水离开洒水器喷口时的竖直分速度vy＝v0sin θ，因此水在空中飞行时间为t＝eq \f(2vy,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)，C正确；水的水平射程为x＝v2t＝v0cs θ·eq \f(2v0sin θ,g)＝eq \f(v02sin 2θ,g)，D正确。
7.如图所示，某同学分别在同一直线上的A、B、C三个位置投掷篮球，结果都击中篮筐，击中篮筐时篮球的速度方向均沿水平方向，大小分别为v1、v2、v3，若篮球出手时高度相同，速度的方向与水平方向的夹角分别是θ1、θ2、θ3，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．v1
C．θ1>θ2>θ3 D．θ1＝θ2＝θ3
答案 B
解析 三个篮球都垂直击中篮筐，其逆过程是平抛运动，设某一篮球击中篮筐的速度为v，上升的高度为h，水平位移为x，则有：x＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，可得：v＝xeq \r(\f(g,2h))，h相同，则v∝x，可得v1>v2>v3，故B正确，A错误；根据速度的分解有：tan θ＝eq \f(gt,v)，t相同，v1>v2>v3，则θ1<θ2<θ3，故C、D错误。
8.如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则( )
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球击出的初速度竖直分量不相等
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
答案 A
解析 竖直方向运动的高度相等，则运动时间相等，三个高尔夫球击出的初速度竖直分量相等，选项B、C错误；由于运动时间相等，甲击出的高尔夫球的水平位移最大，故甲击出的初速度水平分量最大，据运动的对称性和速度的合成可知甲击出的高尔夫球落地的速率最大，选项A正确，D错误。
9.(2023·南京市中华中学校考)在某战役中，我方部队在山顶用小型迫击炮对敌方阵地进行打击，刚好命中目标。如图所示，发射位置与目标的水平距离L＝12 km，已知炮弹出射速度大小为300 m/s，方向与水平面的夹角为θ＝37°，忽略炮弹飞行过程中受到的阻力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．炮弹在空中飞行的时间为40 s
B．炮弹发射处与击中目标间的高度差为3 500 m
C．炮弹出射速度与击中目标时的速度之比为16∶9
D．炮弹飞行过程中，单位时间内速度变化量的方向不断改变
答案 B
解析 炮弹在空中飞行的时间为t＝eq \f(L,v0cs 37°)＝eq \f(12 000,300×0.8) s＝50 s，故A错误；炮弹发射处与击中目标间的高度差为H＝|v0sin 37°·t－eq \f(1,2)gt2|，解得H＝3 500 m，故B正确；击中目标时水平速度不变，为vx＝vt·sin θ＝v0·cs θ，因此发射速度和击中目标时速度之比为v0∶vt＝3∶4，故C错误；速度变化量的方向和加速度的方向相同，始终竖直向下，故D错误。
10.(多选)(2022·定远育才学校高一期中)如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知抛出的初速度为20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
A．QM的长度为20 m
B．OP与水平方向的夹角为22.5°
C．质点在P点的速度大小为40 m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
答案 AD
解析 根据平拋运动在竖直方向上是自由落体运动有MP＝eq \f(1,2)gt2，可得t＝2 s，质点在水平方向的位移为OM＝v0t＝40 m，根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM＝20 m，故A正确；tan θ＝eq \f(MP,QM)＝1，θ＝45°，因为OP与水平方向的夹角满足tan α＝eq \f(MP,OM)＝eq \f(1,2)，可见tan θ＝2tan α，但是α不是θ的一半，故α不为22.5°，故B错误；质点在P点的竖直速度vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，所以在P点的速度为v＝eq \r(v02＋vy2)＝eq \r(202＋202) m/s＝20eq \r(2) m/s，故C错误；因为eq \f(vy,v0)＝tan θ＝1，所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确。
11．从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；
(2)石子的水平位移大小；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；
(4)抛出点离地面的高度。
答案 (1)1.2 s (2)eq \f(18\r(3),5) m (3)0.45 m (4)3.6 m
解析 (1)如图所示，石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则eq \f(vy,vx)＝tan 60°＝eq \r(3)
即vy＝eq \r(3)vx＝eq \r(3)v0cs 30°＝eq \r(3)×6×eq \f(\r(3),2) m/s＝9 m/s
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则－vy＝v0sin 30°－gt，解得t＝1.2 s。
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动：
x＝v0tcs 30°＝6×1.2×eq \f(\r(3),2) m＝eq \f(18\r(3),5) m。
(3)当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，设最大高度为h，
由于v0y＝v0sin 30°＝6×eq \f(1,2) m/s＝3 m/s，
由v0y2＝2gh得h＝eq \f(v0y2,2g)＝eq \f(32,2×10) m＝0.45 m。
(4)抛出点离地面的高度h1＝|v0sin 30°×t－eq \f(1,2)gt2|＝|6×eq \f(1,2)×1.2 m－eq \f(1,2)×10×1.22 m|＝3.6 m。
12．(多选)(2022·潍坊市高一期中)在某次滑雪大跳台比赛中，将运动员视为质点，图甲是从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则运动员( )
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为3 s
答案 BD
解析 在空中相同时间内的平均速度不等，则位移不相等，选项A错误；根据Δv＝gΔt可知，在空中相同时间内的速度变化量相等，选项B正确；因1.4 s末上升到最高点，根据vy＝gt1可知，冲出跳台的竖直方向分速度大小为vy＝14 m/s，则冲出跳台的速度大于14 m/s，选项C错误；上升的高度为h＝eq \f(vy,2)t1＝9.8 m，则下降的时间t2＝eq \r(\f(2h＋h0,g))＝eq \r(\f(2×9.8＋3,10)) s＝1.6 s，在空中运动的时间为t总＝t1＋t2＝3 s，选项D正确。初速度
受力情况
加速度
运动情况
水平方向
v0x＝v0cs θ
不受力
ax＝0
匀速直线运动
竖直方向
v0y＝v0sin θ
重力
ay＝g
竖直上抛运动
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