高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 运动的合成与分解导学案

第2节　运动的合成与分解

1．蜡块运动的分析：实验中，蜡块既向上做匀速运动，又由于玻璃管的移动向右做匀速运动，以黑板为背景看到蜡块向右上方运动。

2．蜡块运动的定量研究

(1)建立坐标系

以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系(如图)。

(2)蜡块运动的轨迹

若以vx表示玻璃管向右移动的速度，则蜡块x坐标的值：x＝vxt；以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则蜡块y坐标的值：y＝vyt。

蜡块运动的轨迹方程：y＝x，说明蜡块的运动轨迹是直线。

(3)蜡块运动的速度：v＝，tanθ＝，θ是速度矢量v与x轴正方向的夹角。

3．合运动和分运动

当物体同时参与几个运动时，其实际运动就叫作这几个运动的合运动，这几个运动叫作实际运动的分运动。

4．运动的合成与分解

(1)由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成。

(2)由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。

(3)运动的合成与分解遵从矢量运算法则。

典型考点一　　　合运动与分运动的关系

1．(多选)关于合运动和分运动，下列说法中正确的有(　　)

A．物体同时参与几个运动时的实际运动就是这几个运动的合运动

B．合运动的时间比分运动的时间长

C．合运动与分运动的位移、速度、加速度的关系都一定满足平行四边形定则

D．合速度一定大于分速度

答案　AC

解析　物体同时参与几个运动时，物体的实际运动叫作这几个运动的合运动，A正确；合运动与分运动同时进行，具有等时性，B错误；位移、速度、加速度都是矢量，故合运动与分运动的位移、速度、加速度的关系都满足平行四边形定则，C正确；根据平行四边形定则可知，合矢量可能大于分矢量，也可能小于分矢量，即合速度可能小于分速度，D错误。

典型考点二　　　运动的合成与分解

2．某人骑自行车以10 m/s的速度在大风中向东行驶，他感到风正以10 m/s相对于车的速度从北方吹来，实际上风的速度(　　)

A．大小约为14 m/s，方向为南偏西45°

B．大小约为14 m/s，方向为东偏南45°

C．大小为10 m/s，方向为正北

D．大小为10 m/s，方向为正南

答案　B

解析　如图所示，人感觉到的风速是风相对车的速度，是风的一个分速度v2，大小是10 m/s，方向向南，风还有一个与车速相同的分速度v1，大小为10 m/s，方向向东，这个分速度相对车静止，所以人感觉不到。实际的风速是v1和v2的合速度v，v＝＝ m/s≈14 m/s，其与正东方向夹角的正切值tanθ＝＝1，即方向为东偏南45°，故选B。

3．如图为一架直升机在运送物资。该直升机A用长度足够长的悬索(其重力可忽略)系住一质量m＝50 kg的物资B。直升机A和物资B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将物资放下，在t＝5 s时间内，物资在竖直方向上移动的距离按y＝2t2(单位：m)的规律变化。求：

(1)在t＝5 s时间内物资的位移大小；

(2)在t＝5 s末物资的速度大小；

(3)若直升机A和物资B以v0′＝20 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，其他条件不变，物资在5 s内下落的高度如何变化？物资的位移大小如何变化？

答案　(1)50 m　(2)10 m/s

(3)下落高度不变　位移大小变为50 m

解析　(1)竖直方向：由y＝2t2

可知t＝5 s时，y＝2×52 m＝50 m

水平方向：x＝v0t＝50 m

所以在t＝5 s时间内物资的位移大小s＝＝50 m。

(2)根据匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，

由y＝2t2可知物资在竖直方向上做初速度为0的匀变速直线运动，且加速度ay＝4 m/s2

t＝5 s时，vy＝ayt＝20 m/s

vx＝v0＝10 m/s

所以在t＝5 s末物资的速度大小v＝＝10 m/s。

(3)由于各分运动之间的独立性，物资在5 s内下落的高度仍为y＝50 m，但是水平位移发生变化，x′＝v0′t＝100 m

所以位移大小变为s′＝＝ m＝50 m。

典型考点三　　　运动的合成与分解的应用——小船过河问题

4.如图所示为一条河流，河水流速为v。一只船从A点先后两次过河到对岸，船在静水中行驶的速度为v′。第一次船头向着AB方向行驶，过河时间为t1，船的位移为x1；第二次船头向着AC方向行驶，过河时间为t2，船的位移为x2。若AB、AC与河岸的垂线的夹角相等，则有(　　)

A．t1>t2　x1<x2   B．t1<t2　x1>x2

C．t1＝t2　x1<x2   D．t1＝t2　x1>x2

答案　D

解析　船两次在垂直河岸方向的分速度大小相同，过河时间由这个分速度大小决定，与沿河岸方向的分速度大小无关，故t1＝t2；船头沿AB方向时，合速度方向与河岸的夹角较小，合位移方向与河岸的夹角较小，故位移较大，x1>x2，D正确。

5．一条小船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过一条宽为30 m的长直河道，河水流速为4 m/s，则(　　)

A．这条船不可能渡过这条河

B．这条船过河时间不可能小于10 s

C．这条船能够过河的最小位移为30 m

D．这条船可以渡过这条河，而且过河时的合速度可以为8 m/s

答案　B

解析　这条船可以渡过这条河，船头方向垂直于河岸过河时时间最短，tmin＝＝10 s，B正确，A错误；由于船速小于水速，船不能以垂直河岸的速度到达河岸对面，故过河的位移不可能为30 m，C错误；通过矢量合成，可以渡过这条河的合速度满足1 m/s<v<7 m/s，D错误。

6．已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行。试分析：

(1)欲使船以最短时间渡过河去，航向应是什么？最短时间是多少？到达对岸的位置是什么？船发生的位移是多大？

(2)欲使船过河过程中的航行距离最短，船的航向又应是什么？过河所用时间是多少？

答案　(1)船头始终垂直河岸　过河时间最短为25 s　在船开始过河时正对岸的下游75 m处　125 m

(2)与河岸上游的夹角为arccos　 s

解析　(1)如图甲所示，当船头始终垂直河岸时，过河时间最短，最短时间为：

t＝＝25 s

船沿着水流方向的位移大小为：

s＝v2t＝3×25 m＝75 m，即到达对岸时的位置在开始过河时正对岸的下游75 m处。

船发生的位移为：x＝＝125 m。

(2)欲使船航行距离最短，须使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，此时船的实际速度(合速度)也与河岸垂直，如图乙所示，则船的合速度为：

v合＝＝ m/s，

设此时船头与河岸上游的夹角为θ，则有：

cosθ＝＝，则θ＝arccos

过河所用时间为：

t′＝＝ s＝ s。

典型考点四　　　运动的合成与分解的应用——关联速度问题

7.如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1<m2。若将质量为m2的物体从位置A由静止释放，当落到位置B时，质量为m2的物体的速度为v2，且绳子与竖直方向的夹角为θ，则这时质量为m1的物体的速度大小v1等于(　　)

A．v2sinθ  B.  C．v2cosθ  D.

答案　C

解析　把速度v2沿绳子方向和垂直绳子方向分解，则质量为m1的物体的速度大小v1等于v2沿着绳子方向的分速度v2cosθ，C正确。

8．如图所示，已知mA＝3mB，C为内壁光滑、半径为R的半圆形轨道，D为定滑轮，开始时A、B均处于静止状态，释放后，A沿圆弧轨道下滑，若已知A球下滑到最低点时的速度为v，则此时B的速度为(　　)

A．v  B.v  C.v  D．2v

答案　C

解析　A滑到最低点时速度方向水平向左，它的两个分速度v1、v2如图所示，B球的速度与v1大小相等，由几何关系知vB＝v1＝v，故C正确。

9.如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，下列关于物体A的情况的说法，正确的是(　　)

A．A的速度大于小车的速度

B．A的速度等于小车的速度

C．拉力先大于重力，后变为小于重力

D．绳的拉力大于A的重力

答案　D

解析　小车沿绳子方向的分速度等于A的速度，如图所示，设绳子与水平方向的夹角为θ，根据平行四边形定则，物体A的速度vA＝vcosθ，A的速度小于小车的速度，故A、B错误；小车匀速向右运动时，θ减小，则A的速度增大，所以A加速上升，加速度方向向上，根据牛顿第二定律有：T－GA＝mAa，可知拉力大于A的重力，故C错误，D正确。

10．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个直角形光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为vA，求此时B球的速度vB的大小。

答案　

解析　如图所示，A球沿斜槽下滑的速度为vA时，vA可分解为沿杆方向的分速度vA1和垂直杆方向的分速度vA2。而B球沿斜槽上滑的速度vB可分解为沿杆方向的分速度vB1和垂直杆方向的分速度vB2。由图可知vB1＝vA1，即vBsinα＝vAcosα，故vB＝。

1．关于合运动的位移和分运动的位移，下列说法正确的是(　　)

A．合运动的位移可能小于分运动位移中最小的一个分位移

B．合运动的位移不可能小于分运动位移中最小的一个分位移

C．合运动的位移一定小于任何一个分位移

D．合运动的位移一定大于其中一个分位移

答案　A

解析　根据平行四边形定则，可知合位移可能比分位移都大，可能比分位移都小，可能与分位移相等，故A正确，B、C、D错误。

2．关于运动的合成，下列说法中正确的是(　　)

A．合运动的速度一定比分运动的速度大

B．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动

C．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动

D．合运动的两个分运动的时间不一定相等

答案　C

解析　根据速度合成的平行四边形定则可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大，故A错误；两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动，故B错误；两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在同一直线上，如果在同一直线上，合运动是匀变速直线运动，反之，是匀变速曲线运动，故C正确；根据运动的等时性，合运动的两个分运动的时间一定相等，故D错误。

3.跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图，当运动员从直升机上由静止跳下，在下落过程中不免会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)

A．风力越大，运动员下落时间越长

B．风力越大，运动员着地速度越大

C．运动员下落时间与风力有关

D．运动员着地速度与风力无关

答案　B

解析　运动员在该过程中同时参与了两个分运动，竖直方向上的下落和水平方向上沿着风力方向的运动，两个分运动同时发生，相互独立，因而下落时间与风力无关，但水平风力越大，着地时的水平分速度越大，故着地的合速度越大，A、C、D错误，B正确。

4．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，使铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)

A．大小和方向均不变   B．大小不变，方向改变

C．大小改变，方向不变   D．大小和方向均改变

答案　A

解析　橡皮在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，其合运动仍是匀速直线运动，其速度大小和方向均不变，A正确。

5．(多选)如图所示，吊车以v1的速度沿水平直线向右匀速行驶，同时以v2的速度匀速收拢绳索提升物体，下列表述正确的是(　　)

A．物体的实际运动速度为v1＋v2

B．物体的实际运动速度为

C．物体相对地面做曲线运动

D．绳索保持竖直状态

答案　BD

解析　物体参与了水平方向上的匀速直线运动，速度为v1，又参与了竖直方向上的匀速直线运动，速度为v2，合运动为匀速直线运动，合速度即实际运动速度为v＝，A、C错误，B正确；由于物体做匀速直线运动，所受合外力为零，所以绳索的拉力应竖直向上，与重力平衡，绳索保持竖直状态，D正确。

6．如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸夹角为θ的速度(在静水中的速度)从A处过河，经过时间t，正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取的方法是(　　)

A．只增大v1大小，不改变夹角θ

B．只增大夹角θ，不改变v1大小

C．在增大v1的同时，适当增大夹角θ

D．在增大v1的同时，适当减小夹角θ

答案　C

解析　若只增大v1大小，不改变夹角θ，则船在水流反方向的分速度增大，因此船不可能垂直到达正对岸，故A错误；若只增大夹角θ，不改变v1大小，则船在水流反方向的分速度减小，船不可能垂直到达正对岸，故B错误；若在增大v1的同时，适当增大夹角θ，可以使船在水流反方向的分速度不变，而在垂直河岸方向的分速度增大，则船还能垂直到达正对岸，且时间更短，故C正确；若在增大v1的同时，适当减小夹角θ，则船在水流反方向的分速度增大，船不能垂直到达正对岸，故D错误。

7.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速度vA＝20 m/s匀速向右运动，在绳子与轨道成α＝30°角时，物体B的速度大小vB为(　　)

A．10 m/s   B. m/s

C．40 m/s   D．10 m/s

答案　B

解析　将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有v2＝vA，v2＝vBcos30°，解得vB＝＝ m/s，故选B。

8.如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着匀速向上运动。则下列关于拉力F及拉力作用点的移动速度v的说法，正确的是(　　)

A．F不变、v不变  B．F增大、v不变

C．F增大、v增大  D．F增大、v减小

答案　D

解析　设与A相连的绳子与竖直方向的夹角为θ，因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，有Fcosθ＝mg，因为θ增大，则F增大，拉力作用点的移动速度等于物块A沿绳子方向上的分速度，v＝v物cosθ，因为θ增大，则v减小，故D正确。

9．飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，那么：

(1)飞机应朝哪个方向飞行？

(2)如果所测地区长达80 km，所需时间是多少？

答案　(1)西偏南30°　(2)2 h

解析　(1)设风速为v1，飞机的速度为v2，飞机的合速度为v，如图所示，飞机飞行的速度方向与正西方向夹角θ的正弦值为sinθ＝＝＝，得θ＝30°，即飞机应朝西偏南30°的方向飞行。

(2)飞机的合速度v＝v2cos30°＝40 km/h

根据x＝vt得t＝＝ h＝2 h。

10．质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示，求：

(1)物体所受的合力大小；

(2)物体的初速度大小；

(3)t1＝4 s时物体的位移大小；

(4)t2＝8 s时物体的速度大小；

(5)物体运动的轨迹方程。

答案　(1)1 N　(2)3 m/s　(3)4 m　(4)5 m/s　(5)y＝

解析　(1)物体在x方向的加速度ax＝0，

在y方向的加速度ay＝＝0.5 m/s2，

故合加速度为a＝＝0.5 m/s2

根据牛顿第二定律得F合＝ma＝1 N。

(2)由题图可知vx0＝3 m/s，vy0＝0，

所以物体的初速度大小为v0＝＝3 m/s。

(3)t1＝4 s时，x1＝vx0t1＝12 m，y1＝ayt＝4 m

所以此时物体的位移大小s1＝＝4 m。

(4)t2＝8 s时，vx2＝vx0＝3 m/s，vy2＝ayt2＝4 m/s，

所以物体的速度大小为v2＝＝5 m/s。

(5)由x＝vxt＝3t，y＝ayt2＝t2，

联立消去t得y＝。

11．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处，若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，求：

(1)水流的速度大小；

(2)船头与河岸间的夹角α；

(3)船在静水中的速度大小；

(4)河的宽度。

答案　(1)0.2 m/s　(2)53°　(3) m/s　(4)200 m

解析　(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。

因为x＝v2t1，

所以水的流速

v2＝＝＝0.2 m/s。

(2)由题知d＝v1t1①

船头保持与河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，

v1cosα＝v2②

d＝v合t2＝v1sinα·t2③

由①③式得：sinα＝＝＝0.8，

所以α＝53°。

(3)由②式得：v1＝＝＝ m/s。

(4)由①式得：d＝v1t1＝×600 m＝200 m。