必修 第二册2 运动的合成与分解同步达标检测题

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一、小船渡河模型
如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。
(1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
(2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？
(4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？
答案 (1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)。
②船随水漂流的运动。
(2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，tmin＝eq \f(d,v船)，此时船渡河的位移大小x＝eq \f(d,sin θ)，位移方向满足tan θ＝eq \f(v船,v水)。
(3)情况一：v水最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cs θ＝v水，如图所示。渡河所用时间t＝eq \f(d,v船sin θ)。
情况二：v水>v船
如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短位移为x＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v水,v船)d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cs θ′＝eq \f(v船,v水)。
(4)无关。
例1 (2022·商洛市高一期末)某地进行抗洪抢险演练时，把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动，抢险战士发现这一情况时，抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直，木盆到两岸的距离相等，两河岸平行，如图所示。抢险船在静水中的速度为5 m/s，河宽为300 m，河水流速为3 m/s，不计战士的反应时间和船的发动时间，则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为( )
A．30 s B．60 s
C．75 s D．100 s
答案 A
解析 船与木盆在水中都随水一起向下游运动，向下游运动的速度相等，所以若要救援的时间最短，则船头的方向始终指向木盆。所以最短的时间为tmin＝eq \f(\f(d,2),v船)＝eq \f(150,5) s＝30 s，故选A。
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
答案 (1)40 s 正对岸下游120 m处 (2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s (3)船头指向与河岸的上游成60°角
解析 (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,5) s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝eq \r(v船2－v水2)＝4 m/s，经历时间t′＝eq \f(d,v合)＝eq \f(200,4) s＝50 s
又cs θ＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(3,5)＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cs θ′＝eq \f(v船,v水′)＝eq \f(1,2)，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
二、关联速度模型
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
答案 (1)不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2。
(2)不相等，船的速度大于车的速度。
(3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。
(4)由v＝v船cs α得v船＝eq \f(v,cs α)。
1．分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即合速度。
分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。
2．常见的速度分解模型
例3 (2022·绵阳市高一期末)如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则( )
A．重物做匀速运动
B．重物做匀变速运动
C．vM＝vcs θ
D．v＝vMcs θ
答案 C
解析 将汽车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，则有vM＝vcs θ，由于运动过程θ减小，cs θ增大，则重物M的速度vM增大，重物M做加速运动。假设绳子足够长，经过足够长的时间，θ趋近于0°，cs θ趋近于1，vM趋近于v，可知重物并不是做匀加速运动，C正确，A、B、D错误。
例4 (2022·大连市第八中学高一检测)在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是( )
A．v0sin θ B.eq \f(v0,sin θ) C．v0cs θ D.eq \f(v0,cs θ)
答案 D
解析 将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0＝vcs θ，解得v＝eq \f(v0,cs θ)，故D正确，A、B、C错误。
例5 (多选)(2022·邢台市高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图位置，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两球的速度大小之比为eq \r(7)∶3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3eq \r(7)∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度为零
答案 BD
解析 设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cs θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，有cs θ＝eq \f(\r(7),4)，sin θ＝eq \f(3,4)，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为eq \f(v1,v2)＝eq \f(3\r(7),7)，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。
专题强化练
考点一 小船渡河模型
1．(多选)下列选项图中的实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
答案 AB
2．(2023·海南高一期末)南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人员为了营救在对岸落水的儿童，立即驾驶救援艇出发。已知该救援艇在静水中的航行速度大小为12.5 m/s，该段水流速度大小为3.5 m/s，救援人员以最短时间过江用时12 s。则( )
A．河流宽度为150 m
B．河流宽度为192 m
C．船以最短时间过江时，在正对岸靠岸
D．船以最短时间过江时，在正对岸下游50 m处靠岸
答案 A
解析 河流宽度为d＝v船tmin＝12.5×12 m＝150 m，选项A正确，B错误； 船以最短时间过江时，沿水流方向的位移为x＝v水tmin＝3.5×12 m＝42 m，即在正对岸下游42 m处靠岸，选项C、D错误。
3．(多选)(2022·张家口市高一期末)在一次渡河的实战演练中，指挥部要求红、蓝两个队按不同的要求渡过一条宽为200 m的河道，假设河中水流是均匀的，水的流动速度为3 m/s，战士用的船在静水中的速度为5 m/s，现要求红队以最短时间到达对岸，蓝队到达正对岸，忽略船启动及减速的时间，下列说法中正确的是( )
A．蓝队要到达正对岸应使船头方向朝着正对岸划船
B．红队要以最短时间到达对岸应使船头朝着正对岸划船
C．蓝队完成任务到达对岸用时40 s
D．红队完成任务到达对岸的最短时间为40 s
答案 BD
解析 蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上游方向划船，选项A错误；红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使船头朝着正对岸划船，选项B正确；蓝队完成任务到达对岸用时t1＝eq \f(d,v合)＝eq \f(d,\r(v船2－v水2))＝eq \f(200,\r(52－32)) s＝50 s，选项C错误；红队完成任务到达对岸的最短时间为t2＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,5) s＝40 s，选项D正确。
考点二 关联速度模型
4.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度( )
A．不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
答案 B
解析 小船的速度v船＝eq \f(v,cs θ)，θ为绳与水平面的夹角，随着θ增大，cs θ减小，故小船的速度逐渐增大，B对。
5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是( )
A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B．若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等
C．vA＝vBtan θ
D．vA＝vBsin θ
答案 C
解析 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcs θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，故C正确，D错误。当θ＝45°时，vA＝vB，故A、B错误。
6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为( )
A．5 m/s B.eq \f(5\r(3),3) m/s
C．20 m/s D.eq \f(20\r(3),3) m/s
答案 D
解析 物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcs 30°，由于绳不可伸长，有vB∥＝vA，故vA＝vBcs 30°，所以vB＝eq \f(vA,cs 30°)＝eq \f(20\r(3),3) m/s，故选D。
7．(2023·武强中学高一期中)如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时(如图乙所示)，小球B的速度是v，则此时A的速度为( )
A．v B．2v C.eq \r(2)v D.eq \f(\r(2),2)v
答案 C
解析 将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v，则由速度的分解可得vAcs 45°＝v，解得vA＝eq \r(2)v，故选C。
8．(2022·三明市高一期末)下列选项图中，若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。设木船相对静水的速度大小恒定。以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹可能是( )
答案 D
解析 以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。
9．如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，那么( )
A．5 s时绳与水面的夹角为60°
B．5 s时小船前进了15 m
C．5 s时小船的速率为5 m/s
D．5 s时小船到岸边距离为10 m
答案 C
解析 5 s内人前进的距离s＝vt＝3×5 m＝15 m,5 s时定滑轮到船的距离l′＝eq \f(h,sin 30°)－15 m＝25 m，设5 s时拉船的绳与水平方向夹角为θ，则sin θ＝eq \f(20,25)＝eq \f(4,5)，由此可知，θ＝53°，cs θ＝eq \f(v,v船)，解得v船＝5 m/s，小船到岸边的距离s′＝eq \f(20 m,tan θ)＝15 m，则5 s时小船前进的距离为s1＝eq \f(h,tan 30°)－s′＝(20eq \r(3)－15) m，故A、B、D错误，C正确。
10．(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
(2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
答案 (1)①船头应朝垂直河岸方向 36 s 90eq \r(5) m ②船头与上游河岸成60°角 24eq \r(3) s 180 m
(2)船头应朝上游与河岸成53°角方向 150 s 300 m
解析 (1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示
tmin＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v12＋v22)＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x1＝v合tmin＝90eq \r(5) m
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短
x2＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v合′)＝eq \f(d,v2cs 30°)＝24eq \r(3) s
(2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3＝eq \f(d,sin θ)
欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，
即v合″⊥v2′
sin θ＝eq \f(v2′,v1)＝eq \f(3,5)
得θ＝37°
所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向
t′＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2′cs 37°)＝150 s
x3＝eq \f(d,sin 37°)＝300 m。
11.一个半径为R的半圆形柱体以速度v0水平向右做匀速运动。在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度大小。
答案 v0tan θ
解析 由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示
将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示。二者在OP方向上的分速度相等，有v2＝v3，即vcs θ＝v0sin θ，解得v＝v0tan θ。情景图示
定量结论
v＝v∥＝v物cs θ
v物′＝v∥＝v物cs θ
v∥＝v∥′
即v物cs θ＝v物′cs α
v∥＝v∥′
即v物cs α＝v物′cs β