运动的合成与分解

知识点一　一个平面运动的实例

[观图助学]

一条宽阔的大河上有两个码头A、B隔河正面相对。小明驾着小船从码头A出发，将一批货物运送到对岸的码头B。他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明发现小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移到C位置，这是为什么呢？怎样来研究这种运动呢？

1.观察蜡块的运动　如图所示，蜡块的运动

2.建立坐标系

(1)对于直线运动——沿这条直线建立一维坐标系。

(2)对于平面内的运动——建立平面直角坐标系。

例如，蜡块的运动，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系。

3.蜡块运动的轨迹

坐标x＝vxt，

坐标y＝vyt，

消去t得y＝x。

4.蜡块运动的速度

(1)大小：v＝。

(2)方向：用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它的正切值为tan θ＝。

小船渡河同时参与了两个运动，一是小船沿与河岸垂直的方向运动；二是小船沿河岸顺流而下。

知识点二　运动的合成与分解

1.合运动与分运动

(1)合运动：合运动是指在具体问题中，物体实际所做的运动。

(2)分运动：分运动是指沿某一方向具有某一效果的运动。

2.运动的合成与分解

由分运动求合运动叫作运动的合成；反之，由合运动求分运动叫作运动的分解，即：

3.运动的合成与分解所遵循的法则

位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时遵循平行四边形定则。

　　,

(1)所有分运动的总效果与合运动的效果相同，两者可以相互替代。

(2)同一时间内、同一物体参与的运动才能进行合成。

(3)合速度的大小可能大于、也可能小于、也可能等于分速度的大小。

(1)物体实际运动的位移、速度、加速度分别称为合位移、合速度、合加速度，物体分运动的位移、速度、加速度分别称为分位移、分速度、分加速度。

(2)在运动的合成与分解时所作的平行四边形中，合运动对应平行四边形的对角线。

核心要点一　运动的合成与分解

[问题探究]　

观察图示情景，思考以下问题：

某洲际导弹试射的轨迹

(1)如何区分导弹的合运动与分运动？

(2)合运动的时间等于分运动的时间之和吗？

答案　(1)导弹沿实际轨迹的运动为合运动。导弹在水平方向上和竖直方向上的运动为分运动。

(2)不相等，合运动的时间等于各分运动的时间。

[探究归纳]

合运动与分运动的关系

[试题案例]

[例1] 如图所示，在某次演习中，演习直升机空投物资。直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s①。若飞机停留在离地面100 m高处空投

物资，由于水平风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平向东的速度②。求：(结果可保留根式)

(1)物资在空中运动的时间；分运动与合运动的时间相等

(2)物资落地时速度的大小；

(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离。

【审题指导】

①竖直方向上速度为5 m/s，即vy＝5 m/s

②水平方向上获得1 m/s的速度，即vx＝1 m/s

解析　如图所示，物资的实际运动可以看做是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。

(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等。

所以t＝＝ s＝20 s。

(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，

由平行四边形定则得

v＝＝ m/s＝ m/s

(3)物资水平方向的位移大小为x＝vxt＝1×20 m＝20 m。

答案　(1)20 s　(2) m/s　(3)20 m

方法总结　运动合成与分解问题的解题思路

(1)确定合运动方向(实际运动方向)。

(2)分析合运动的运动效果。

(3)依据合运动的实际效果确定分运动的方向。

(4)利用平行四边形定则、三角形定则或正交分解法作图，将合运动的速度、位移、加速度分别分解到分运动的方向上。

 [针对训练1] 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮。现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图所示。若玻璃管的长度为1.0 m，则可知当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离为(　　)

A.0.1 m/s，1.7 m   B.0.17 m/s，1.0 m

C.0.17 m/s，1.7 m   D.0.1 m/s，1.0 m

解析　蜡块的速度由竖直方向的速度和水平方向的速度合成，水平方向的速度与玻璃管的移动速度相同。

由题意得tan 30°＝

v2＝＝ m/s＝0.17 m/s

蜡块的位移由水平方向的位移和竖直方向的位移合成，而水平方向的位移与玻璃管的水平位移相同。

水平方向x＝v2t

竖直方向y＝v1t

所以x＝y＝×1.0 m＝1.7 m，选项C正确。

答案　C

核心要点二　小船渡河问题

[要点归纳]

1.小船参与的两个分运动

(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。

(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。

2.两类最值问题

(1)渡河时间最短问题

由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。

(2)渡河位移最短问题

[v水＜v船]

最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足

v船cos θ＝v水，如图所示。

[试题案例]

[例2]某条河宽度为700 m，河水均匀流动，流速为2 m/s。若小船在静水中的运动速度为4 m/s，则小船的船头向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？ 

合速度的方向与河岸垂直

渡河时间约为多少？)

解析　如图所示，小船实际的运动是垂直于河流方向的运动，可以将小船实际的运动看作小船斜向上游方向和沿水流方向两个分运动的合运动。

由图可见sin α＝＝＝0.5

α＝30°

即小船应朝向上游行驶，船头指向与河岸成60°夹角。由图还可以得到合速度的大小为v＝＝ m/s≈3.5 m/s，渡河时间为t＝＝ s＝200 s

答案　船头朝上游与河岸成60°　200 s

[拓展] 在[例2]中若行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸(如图所示)，则渡河的时间是多少？小船到达对岸时向下游偏移了多少？

解析　若行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡河的时间为

t′＝＝ s＝175 s。

小船到达对岸时向下游偏移了x′＝v2t′＝2×175 m＝350 m。

答案　175 s　350 m

方法总结　

1.研究小船渡河问题的思路

(1)→应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关。

(2)→可画出小船的速度分解图进行分析。

(3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。

2.区别三个速度：水流速度v水、船在静水中的速度v船、船的实际速度(即船的合速度)v合。

[针对训练2] 小船要渡过200 m宽的河面，水流速度是4 m/s，船在静水中的速度是5 m/s，则下列判断正确的是(　　)

A.要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50 s

B.要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸

C.小船过河所需的最短时间是40 s

D.如果水流速度增大为6 m/s，小船过河所需的最短时间将增大

解析　要使小船过河的位移最短，小船的船头应斜向上游，使小船实际运动与河岸垂直，这时合速度v合＝＝3 m/s，船过河所需的时间t＝＝ s，A、B错误；若使船以最短时间渡河，船头必须垂直河岸过河，过河时间tmin＝＝ s＝40 s，C正确；小船过河所需的最短时间与水流速度的大小无关，D错误。

答案　C

1.(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是(　　)

A.合运动的位移是分运动位移的矢量和

B.合运动的速度一定会比其中任何一个分速度大

C.合运动的时间与分运动的时间相等

D.若合运动是曲线运动，则分运动中至少有一个是曲线运动

解析　位移是矢量，合位移是分位移的矢量和，选项A正确；速度也是矢量，满足平行四边形定则，根据平行四边形的特点，合速度可以比分速度小，选项B错误；根据合运动与分运动的等时性，选项C正确；两个直线运动的合运动也可以是曲线运动，例如，互成夹角的匀速直线运动与匀加速直线运动合成时，合运动是曲线运动，选项D错误。

答案　AC

2.(多选)雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是(　　)

A.风速越大，雨滴下落时间越长

B.风速越大，雨滴着地时速度越大

C.雨滴下落时间与风速无关

D.雨滴着地速度与风速无关

解析　将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，A错误，C正确；风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，B正确，D错误。

答案　BC

3.如图所示，甲、乙两运动员从水速恒定的河两岸A、B处同时下水游泳，A在B的下游位置，甲游得比乙快，为了在河中尽快相遇，两人游泳的方向应为(　　)

A.甲、乙都沿A、B连线方向

B.甲、乙都沿A、B连线偏向下游方向

C.甲、乙都沿A、B连线偏向上游方向

D.甲沿A、B连线偏向上游方向，乙沿A、B连线偏向下游方向

解析　一旦甲、乙进入河中，他们就是同一个参考系了，就不需要考虑水速了。无论他们谁快谁慢，方向应该是AB连线，故A正确，B、C、D错误。

答案　A

4.一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸。假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的(　　)

解析　水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误。

答案　C

5.(多选)质量为1 kg的质点在xOy直角坐标平面上做曲线运动，在x方向的速度图像与y方向的位移图像如图所示。下列说法正确的是(　　)

A.质点的初速度为5 m/s

B.质点所受的合外力为3 N

C.质点做曲线运动

D.2 s末质点的速度大小为6 m/s

解析　由图像可知，质点沿x轴做初速度为0、加速度a＝3 m/s2的匀加速直线运动，沿y轴方向以速度v＝4 m/s做匀速运动，根据速度合成可知，质点的初速度v0＝v＝4 m/s，A错误；由牛顿第二定律可知，质点所受合外力F＝ma＝3 N，B正确；质点的初速度与加速度a垂直，即合外力方向与速度方向不在同一直线上，质点做曲线运动，C正确；质点2 s末沿x轴方向的分速度vx＝at＝6 m/s，另外还有沿y轴的分速度，D错误。

答案　BC

基础过关

1.甲、乙、丙三船在同一河流中渡河，船头和水流方向如图，已知三船在静水中的速度均大于水流的速度v0，则(　　)

A.甲船可能垂直到达对岸

B.乙船可能垂直到达对岸

C.丙船可能垂直到达对岸

D.都不可能垂直到达对岸

解析　甲船在静水中的速度与水流速度合成，合速度可能垂直于河岸，可能垂直到对岸，故A正确；乙船、丙船在静水中的速度与水流速度合成，合速度不可能垂直于河岸，即不可能垂直到对岸，故B、C、D错误。

答案　A

2.(多选)一物体在xOy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度随时间t变化的图像分别如图甲、乙所示，则物体0～t0时间内(　　)

A.做匀变速运动

B.做非匀变速运动

C.运动的轨迹可能如图丙所示

D.运动的轨迹可能如图丁所示

解析　0～t0时间内物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向上做匀减速直线运动，所受合力沿y轴负方向且大小保持不变，物体做向y轴负方向弯曲的匀变速曲线运动，故选项A、C正确。

答案　AC

3.一物体的运动规律是x＝8t2 m，y＝10t m，则下列说法中正确的是(　　)

A.物体在x和y方向上都是匀速运动

B.物体在x和y方向上都是做初速度为零的匀加速运动

C.物体的合运动是初速度为10 m/s、加速度为16 m/s2的曲线运动

D.物体的合运动是初速度为10 m/s、加速度为16 m/s2的匀加速直线运动

解析　根据匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2可知，物体在x方向做初速度为零、加速度为16 m/s2的匀加速直线运动，y方向做速度为10 m/s的匀速直线运动，故A、 B错误；由运动的合成原则可知，物体的合运动为初速度为10 m/s、加速度为16 m/s2的匀变速曲线运动，故D错误，C正确。

答案　C

4.小华同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向如图水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。则(　　)

A.

B.

C.

D.

解析　A中小船的合速度的方向正好垂直于河岸，过河的位移最小，过河时间不是最短，故A错误；B中小船相对于静水的速度方向垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，故B正确；C中由于存在水流速度，因此不可能出现此现象，故C错误；根据D中船头的指向可知小船合速度的方向不可能是图示方向，而且船的轨迹应该是直线，故D错误。

答案　B

5.(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示。则(　　)

A.快艇的运动轨迹一定为直线

B.快艇的运动轨迹一定为曲线

C.快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s

D.快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m

解析　两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合初速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确；当快艇相对于静水的速度方向垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2，由d＝at2，得t＝20 s，而位移大于100 m，选项C正确，D错误。

答案　BC

能力提升

6.(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴

子的运动情况，下列说法中正确的是(　　)

A.相对地面的运动轨迹为直线

B.相对地面做匀变速曲线运动

C.t时刻猴子相对地面的速度大小为v0＋at

D.t时间内猴子相对地面的位移大小为

解析　猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，所以猴子的实际运动轨迹为曲线，A错误；因为猴子加速度恒定，所以相对地面做的是匀变速曲线运动，B正确；t时刻猴子对地的速度大小为vt＝，C错误；t时间内猴子对地的位移大小为l＝，D正确。

答案　BD

7.(多选)一质量为2 kg的质点在如图甲所示xOy平面内运动，在x方向的速度—时间图像与y方向的位移—时间图像分别如图乙、丙所示，由此可知(　　)

A.t＝0时，质点的速度大小为12 m/s

B.质点做加速度恒定的曲线运动

C.前两秒，质点所受的合力大小为10 N

D.t＝1 s时，质点的速度大小为7 m/s

解析　由vx－t图可知，质点在x方向上初速度为12 m/s，而在y方向上，质点做速度为vy＝＝ m/s＝－5 m/s的匀速运动，故在前2 s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平分速度和竖直分速度的合速度，则初速度大小v0＝ m/s＝13 m/s，故选项A错误，B正确；由vx－t图可知，前2秒，质点的加速度为a＝ m/s2＝－5 m/s2，根据牛顿第二定律，前2 s质点所受合外力大小F＝ma＝2×5 N＝10 N，故C正确；t＝1 s时，x方向的速度大小为7 m/s，而y方向速度大小为5 m/s，因此质点的速度大小为 m/s＝ m/s，故D错误。

答案　BC