鲁科版 (2019)必修 第二册第1节 运动的合成与分解学案设计

这是一份鲁科版 (2019)必修 第二册第1节 运动的合成与分解学案设计，共20页。




第1节 运动的合成与分解





知识点一 曲线运动的认识


[观图助学]





观察上图中细绳约束下物体的运动轨迹以及太阳系中天体的运动轨迹，它们有什么共同的特点？运动过程中，它们的速度方向是否发生变化？


1.曲线运动：轨迹为曲线的运动称为曲线运动。


2.物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。


3.曲线运动的速度


(1)速度的方向：物体做曲线运动时，在某点的速度方向，就是沿曲线上该点的切线方向。


(2)运动的性质：曲线运动中速度的方向时刻在变化，因此曲线运动一定是变速运动。


[思考判断]


(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。(√)


(2)做曲线运动的物体，速度与合外力不可能在同一条直线上。(√)


(3)做曲线运动的物体，合外力的方向一定是变化的。 (×)








纸飞机的运动就是曲线运动。





合外力方向与速度方向不在一条直线上，物体就做曲线运动，合外力未必变化。





速度是矢量，速度的变化可以是大小的变化，也可以是方向的变化。





知识点二 运动的合成与分解


[观图助学]





观察上面两幅图，受水平风力影响的跳伞运动员和发射的炮弹，在水平和竖直两个方向上是不是都发生了运动？


1.合运动与分运动：如果一个物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是这几个运动的合运动，这几个运动就是物体实际运动的分运动。


2.运动的合成与分解：由分运动的速度、加速度、位移求合运动的速度、加速度、位移的过程叫做运动的合成；由合运动求分运动的过程叫做运动的分解。


3.运算法则：平行四边形定则。


4.相互垂直的两个分运动，位移和速度的合成





s＝eq \r(seq \\al(2,1)＋seq \\al(2,2)) tan θ＝eq \f(s1,s2) v＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2)) tan α＝eq \f(v1,v2)


[思考判断]


(1)合速度就是两分速度的代数和。(×)


(2)合速度不一定大于任一分速度。(√)


(3)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。(√),





左图中，跳伞运动员和发射的炮弹相对于地面的高度和水平位置都发生了变化。








如图，蜡块沿玻璃管上升的同时，玻璃管也水平向右运动，则蜡块斜向上的运动是合运动，随玻璃管向右的运动和沿玻璃管上升的运动是两个分运动。





核心要点 运动的合成与分解


[情景探究]


如图所示，降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速变大，则降落伞下落的时间变长吗？





答案 根据运动的独立性，水平方向的运动不影响竖直方向上的运动，降落伞下落的时间不变。


[探究归纳]


1.合运动与分运动的四个特性


(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。


(2)等时性：各分运动与合运动同时发生、同时结束，时间相同。


(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。


(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。


2.合运动与分运动的判定方法


在一个具体运动中物体实际发生的运动往往是合运动。这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动。


3.合运动与分运动的求解方法


不管是运动的合成还是分解，其实质是对运动的位移s、速度v和加速度a的合成与分解。因为位移、速度、加速度都是矢量，所以求解时遵循的原则是矢量运算的平行四边形定则(或三角形定则)。


4.合运动的性质判断


(1)加速度(或合外力)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(变化：非匀变速运动,不变：匀变速运动))


(2)加速度(或合外力)与速度方向


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))


[经典示例]


[例1] 2016年1月，国际救援组织为被基地组织控制的伊拉克难民投放物资，直升机空投物资时，可以停留在空中不动。设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s。若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于水平风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平向北的速度，求：





(1)物资在空中运动的时间；


(2)物资在落地时速度的大小；


(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离。


审题指导 (1)根据运动的独立性，可由高度和竖直方向的速度求得物资在空中的时间。


(2)物资落地时的速度是竖直速度与水平速度的合速度。


解析 如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。





(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等。


所以t＝eq \f(h,vy)＝eq \f(100,5) s＝20 s。


(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，


由平行四边形定则得


v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(12＋52) m/s＝eq \r(26) m/s。


(3)物资水平方向的位移大小为s＝vxt＝1×20 m＝20 m。


答案 (1)20 s (2)eq \r(26) m/s (3)20 m


方法总结 三步走求解合运动或分运动


(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。


(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。


(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))，合位移的大小s＝eq \r(seq \\al(2,x)＋seq \\al(2,y))。


[针对训练1] 物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )





A.物体在0～3 s做直线运动


B.物体在3～4 s做直线运动


C.物体在3～4 s做曲线运动


D.物体在0～3 s做变加速运动


解析 物体在0～3 s内，x方向做vx＝4 m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0，加速度ay＝1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝vx＝4 m/s，合加速度a＝ay＝1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A、D错误；





物体在3～4 s内，x方向做初速度vx＝4 m/s，加速度ax＝－4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度vy＝3 m/s，ay＝－3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5 m/s，合加速度大小a＝－5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，B正确，C错误。


答案 B


核心要点 小船过河问题分析


[要点归纳]


1.小船参与的两个分运动


(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。


(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。


2.两类最值问题





(1)渡河时间最短问题


由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由上图可知，t短＝eq \f(d,v船)，此时船渡河的位移s＝eq \f(d,sin θ)，位移方向满足tan θ＝eq \f(v船,v水)。


(2)渡河位移最短问题


情况一：v水＜v船


最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq \f(d,v船sin θ)，船头与上游河岸夹角θ满足


v船cs θ＝v水，如下图所示。





情况二：v水＞v船


如下图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短航程为s＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v水,v船)d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cs θ′＝eq \f(v船,v水)。





[经典示例]


[例2] 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：


(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？


(2)要使小船航程最短，应如何航行？


解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,4) s＝50 s。





(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河对岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有


cs α＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(1,2)，解得α＝60°。


答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s


(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m


方法总结 小船渡河问题


(1)小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关。


(2)小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类渡河问题的解题关键：


①船头与河岸垂直时渡河时间最短；


②船随水向下游运动速度与水速相同；


③船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸。


[针对训练2] 在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为v，摩托艇在静水中航速为u，探险者离岸最近点O的距离为d。如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O的距离为多少？


解析 如果探险者想在最短的时间内靠岸，摩托艇的前端应垂直于河岸，即u垂直于河岸，如图所示，则探险者运动的时间为t＝eq \f(d,u)，那么摩托艇登陆的地点离O的距离为


x＝vt＝eq \f(v,u)d。





答案 eq \f(v,u)d





1.(对曲线运动条件的理解)一个物体做曲线运动，在某时刻物体的速度v和合外力F的方向可能正确的是( )





解析 物体做曲线运动时，速度沿该点的切线方向，合外力与速度不共线，且指向轨迹弯曲方向的凹侧，故选项A正确。


答案 A


2.(对分运动与合运动的理解)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( )


A.物体的两个分运动是直线运动，则他们的合运动一定是直线运动


B.若不在一条直线上的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动


C.合运动与分运动具有等时性


D.速度、加速度和位移的合成都遵从平行四边形定则


解析 物体的两个分运动是直线运动，它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。若合初速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动。


答案 BCD


3.(运动的独立性，运动的合成)某著名极限运动员在美国新墨西哥州上空，从距地面高度约3.9万米的氦气球携带的太空舱上跳下，在最后几千英尺打开降落伞，并成功着陆。假设降落伞在最后的匀速竖直下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )


A.下落的时间越短 B.下落的时间越长


C.落地时速度越小 D.落地时速度越大


解析 降落伞在最后的匀速竖直下降过程中遇到水平方向吹来的风，竖直方向上仍然做匀速直线运动，根据分运动与合运动具有等时性，则下落的时间不变，故A、B错误；风速越大，降落伞在水平方向上的分速度越大，根据平行四边形定则，知落地的速度越大，故C错误，D正确。


答案 D


4.(小船过河问题)船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2，为了使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( )





解析 为了使船行驶到正对岸，v1、v2的合速度应指向正对岸，C正确。


答案 C


5.(运动的合成与分解)飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，那么：


(1)飞机应朝哪个方向飞行？


(2)如果所测地区长达80eq \r(3) km，所需时间是多少？


解析 (1)如图所示，飞机飞行速度方向与正西方向夹角θ的正弦值为(v1为风速，v2是飞机速度)





sin θ＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(40,80)＝eq \f(1,2)，得θ＝30°。


(2)飞机的合速度


v＝v2cs 30°＝40eq \r(3) km/h


据x＝vt得t＝eq \f(x,v)＝eq \f(80\r(3),40\r(3)) h＝2 h。


答案 (1)与正西成夹角30°偏南 (2)2 h











基础过关


1.(多选)关于曲线运动的性质，以下说法中正确的是( )


A.曲线运动一定是变速运动


B.变速运动不一定是曲线运动


C.曲线运动一定是加速度变化的运动


D.运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动


解析 做曲线运动的物体其速度方向一定是时刻改变的，而速度是矢量，速度方向变了，物体的运动就一定是变速运动，若速度的方向不变，而大小变化了，物体做的是变速直线运动，A、B正确；物体做曲线运动时，若所受合力为恒力，则物体的加速度就为恒加速度，是不变的，C错误；当物体的速度方向和合力方向垂直时，物体的速度、加速度大小均不变，物体做曲线运动，D错误。


答案 AB


2.(多选)下列关于运动状态与受力关系的说法中，正确的是( )


A.物体的运动状态发生变化，物体的受力情况一定变化


B.物体在恒力作用下，一定做匀变速直线运动


C.物体的运动状态保持不变，说明物体所受的合力为零


D.物体做曲线运动时，受到的合力可以是恒力


解析 根据牛顿第二定律，当物体所受合外力不等于零时，其运动状态就要发生变化。若合外力的方向跟物体的速度方向成一定角度，合外力产生的加速度方向跟速度方向也成一定角度，那么物体的速度不仅方向一定发生变化，而且大小也可能发生变化，即物体应做曲线运动。所受合外力可以是恒力，也可以是变力。


答案 CD


3.对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是( )


A.合运动的速度大小等于两分运动速度大小之和


B.合运动的速度一定大于某一个分运动的速度


C.合运动的方向就是物体实际运动的方向


D.由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小


解析 根据平行四边形定则，邻边表示两个分运动，合运动的大小和方向可由对角线表示，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A、B、D错误，C正确。


答案 C


4.游泳运动员以相对于水流恒定的速率垂直河岸过河，当水速突然增大时，则过河( )


A.路程增加、时间增加 B.路程增加、时间不变


C.路程增加、时间缩短 D.路程、时间都不变


解析 当水速突然增大时，在垂直河岸方向上的运动时间不变，所以横渡的时间不变。水速增大后在沿河岸方向上的位移增大，所以路程增加。故B正确，A、C、D错误。


答案 B


5.在学习运动的合成与分解时我们做过如图所示的实验。在长80～100 cm，一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个用红蜡做成的小圆柱体(小圆柱体恰能在管中匀速上浮)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将玻璃管竖直倒置，在红蜡块匀速上浮的同时使玻璃管紧贴黑板面在水平方向上匀加速移动，你正对黑板面将看到红蜡块相对于黑板面的移动轨迹可能是下列选项中的( )








解析 由于红蜡块匀速上浮，物体在竖直方向做匀速直线运动，而在红蜡块匀速上浮的同时，玻璃管紧贴黑板面在水平方向上匀加速移动，则红蜡块在水平方向上速度越来越大，合速度方向应逐渐向右偏，红蜡块相对于黑板面的移动轨迹可能是选项C。


答案 C


6.如图所示，一条小船过河，河水流速v1＝3 m/s，船在静水中速度v2＝4 m/s，船头方向与河岸垂直，关于小船的运动，以下说法正确的是( )





A.小船相对于岸的速度大小是7 m/s


B.小船相对于岸的速度大小是5 m/s


C.小船相对于岸的速度大小是1 m/s


D.小船的实际运动轨迹与河岸垂直


解析 小船相对于岸的速度大小v＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2))＝eq \r(32＋42) m/s＝5 m/s，故B正确，A、C错误；船的实际运动是船在水流方向的运动与垂直河岸方向的运动的合运动，小船的实际运动轨迹偏向河的下游，不可能与河岸垂直，D错误。


答案 B


7.(多选)两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动轨迹( )


A.如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线


B.如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线


C.如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线


D.如果eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1,v2)，那么轨迹一定是直线


解析 判断合运动是直线还是曲线，看合初速度与合加速度是否共线。


答案 AD


8.(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的s－t图像如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是( )





A.猴子的运动轨迹为直线


B.猴子在2 s内做匀变速曲线运动


C.t＝0时猴子的速度大小为8 m/s


D.猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2


解析 猴子在竖直方向做初速度为8 m/s、加速度大小为4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度为4 m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动，A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝eq \r(82＋42) m/s＝4eq \r(5) m/s，C错误；猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2，D正确。


答案 BD


能力提升


9.如图所示，物体A和B的质量均为m，且分别与跨过定滑轮的轻绳连接(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，则( )





A.物体A也做匀速直线运动


B.绳子拉力始终等于物体A所受重力


C.绳子对A物体的拉力逐渐增大


D.绳子对A物体的拉力逐渐减小


解析 将B物体的速度vB进行分解如图所示，则vA＝vBcs α，α减小，vB不变，则vA逐渐增大，说明A物体在竖直方向上做加速运动，选项A错误；对A由牛顿第二定律T－mg＝ma，可知绳子对A的拉力T＞mg，选项B错误；运用外推法：若绳子无限长，B物体距滑轮足够远，即当α→0时，有vA→vB，这表明，物体A在上升的过程中，加速度必定逐渐减小，绳子对A物体的拉力逐渐减小，故C错误，D正确。





答案 D


10.(多选)一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动，下列说法正确的是( )





A.物体做曲线运动


B.物体做直线运动


C.物体运动的初速度大小为50 m/s


D.物体运动的初速度大小为10 m/s


解析 由v－t图像可以看出，物体在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，选项A正确，B错误；物体的初速度大小为v0＝eq \r(302＋402) m/s＝50 m/s，选项C正确，D错误。


答案 AC


11.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )





A.大小和方向均不变 B.大小不变，方向改变


C.大小改变，方向不变 D.大小和方向均改变


解析 橡皮在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，其合运动仍是匀速直线运动，其速度大小和方向均不变，故选项A正确。


答案 A


12.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河，小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )


A.eq \f(kv,\r(k2－1)) B.eq \f(v,\r(1－k2))


C.eq \f(kv,\r(1－k2)) D.eq \f(v,\r(k2－1))


解析 设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝eq \f(d,v0)，回程渡河所用时间t2＝eq \f(d,\r(veq \\al(2,0)－v2))。由题知eq \f(t1,t2)＝k，联立以上各式得v0＝eq \f(v,\r(1－k2))。选项B正确，A、C、D错误。


答案 B


13.质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示。求：





(1)物体受到的合外力和初速度；


(2)t＝8 s时物体的速度；


(3)t＝4 s时物体的位移；


(4)物体的运动轨迹方程。


解析 (1)物体在x轴方向有ax＝0，y轴方向有ay＝eq \f(1,2) m/s2，由牛顿第二定律得F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向；由图知v0x＝3 m/s，v0y＝0，所以物体的初速度


v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向。


(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，


所以vt＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝5 m/s，


设速度与x轴的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(4,3)，θ＝53°。


(3)当t＝4 s时，x＝v0xt＝12 m，y＝eq \f(1,2)ayt2＝4 m，


物体的位移s＝eq \r(x2＋y2)＝4eq \r(10) m，


设位移与x轴的夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(1,3)。


(4)由x＝v0xt＝3t，y＝eq \f(1,2)ayt2＝eq \f(1,4)t2，消去t得y＝eq \f(x2,36)。


答案 见解析


14.如图甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动，假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm。图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点。





(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的轨迹；


(2)求出玻璃管向右平移的加速度；


(3)求t＝2 s时蜡块速度v的大小及方向。


解析 (1)如图





(2)Δx＝at2，a＝eq \f(Δx,t2)＝5×10－2 m/s2。


(3)vy＝eq \f(y,t)＝0.1 m/s，vx＝at＝0.1 m/s


v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \f(\r(2),10) m/s。


设v与水平方向成θ角，则tan θ＝eq \f(vy,vx)＝1，θ＝45°。


即2 s末蜡块的速度v与水平方向成45°角斜向上。


答案 (1)见解析 (2)5×10－2 m/s2


(3)eq \f(\r(2),10) m/s 与水平方向成45°角斜向上


核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
1.知道曲线运动是变速运动，会判定曲线运动的速度方向，并会把速度进行正交分解。


2.知道物体做曲线运动的条件，会判断曲线运动的轨迹与力方向关系。


3.知道什么是合运动和分运动，并理解运动的独立性。


4.能用平行四边形定则分析运动的合成与分解。
物体做曲线运动的条件，曲线运动的轨迹与力方向关系。
利用运动的合成与分解处理小船过河问题。