初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形导学案

这是一份初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形导学案，共6页。学案主要包含了全等形，全等三角形，对应顶点，对应边，对应角，全等三角形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的证明思路，全等三角形证明方法，三角形的稳定性等内容，欢迎下载使用。

一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等形．
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．两个全等形的周长相等，面积相等．
二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．
三、对应顶点，对应边，对应角
1．对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角．如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．
2．找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等．
四、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等．
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等．全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具．
五、全等三角形的判定
六、全等三角形的证明思路
七、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点．运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．可以适当总结证明方法．
1．证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等．
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等．
(3) 等式性质．
2．证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明．
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等．
(3) 利用角平分线的判定进行证明．
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等．
(5) 对顶角相等．
3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明．
4．辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形．
5． 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件．
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件．
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质．
八、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性．
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
九、用尺规作三角形
一、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．
图4－4－16
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；
图4－4－17
(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；
图4－4－18
(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；
图4－4－19
图4－4－20
(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
二、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形
已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．
图4－4－21
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．
作法：(1)作∠DAF＝∠α；
图4－4－22
图4－4－23
(2)在射线AF上截取线段AB＝c；
图4－4－24
(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C．△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
三、已知三角形的三条边，求作这个三角形
已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．
图4－4－25
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a．
作法：(1)作一条线段BC＝a；
图4－4－26
(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；
图4－4－27
(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－28
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等