2024春高中数学第七章复数章末检测（人教A版必修第二册）

这是一份2024春高中数学第七章复数章末检测（人教A版必修第二册），共6页。
第七章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝3－5i，则1－2i－z等于(　　)A．z－1 B．z＋1C．2－3i D．－2＋3i【答案】D【解析】1－2i－z＝1－2i－(3－5i)＝－2＋3i．2．(2023年永州三模)若复数z满足 eq \x\to(z)－3i＝z，则复数z的虚部为(　　)A． eq \f(3,2) B．－ eq \f(3,2)C． eq \f(3,2)i D．－ eq \f(3,2)i【答案】B【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 eq \x\to(z)＝a－bi．∵ eq \x\to(z)－3i＝z，∴a－bi－3i＝a＋bi，即－b－3＝b，解得b＝－ eq \f(3,2)．故选B．3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i．若(a＋bi)2＝2i，则a＝b＝－1或a＝b＝1．故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．故选A．4．(2023年陇南一模)已知a，b∈R，a＋i与3＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)A．10－6i B．10＋6iC．8－6i D．8＋6i【答案】C【解析】a＋i与3＋bi互为共轭复数，则a＝3，b＝－1，故(a＋bi)2＝(3－i)2＝8－6i．故选C．5．(2023年安徽三模)已知复数z满足iz＝ eq \f(1＋\r(2)i,|1＋i|)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵iz＝ eq \f(1＋\r(2)i,|1＋i|)＝ eq \f(1＋\r(2)i,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)＋i，∴－i2z＝1－ eq \f(\r(2),2)i，即z＝1－ eq \f(\r(2),2)i．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2)))，所在的象限为第四象限．故选D．6．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－1) B．(－1，2)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A【解析】∵复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1＜0，,2－m＞0，))解得m＜－1．∴实数m的取值范围是(－∞，－1)．故选A．7．z＝ eq \f(5i,1－2i)(i是虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)A．2－i B．2＋iC．－2－i D．－2＋i【答案】C【解析】∵z＝ eq \f(5i,1－2i)＝ eq \f(5i(1＋2i),(1－2i)(1＋2i))＝ eq \f(5i(1＋2i),5)＝－2＋i，∴ eq \x\to(z)＝－2－i．故选C．8．复数 eq \f(i2 022＋i2 023＋i2 024,1－i)＝(　　)A．－ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)i B．－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)iC． eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)i D． eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)i【答案】C【解析】因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以由周期性可知 eq \f(i2 022＋i2 023＋i2 024,1－i)＝ eq \f(i2＋i3＋i4,1－i)＝ eq \f(－i,1－i)＝ eq \f(－i(1＋i),2)＝ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)i．故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为(　　)A．(－2，0) B．(3，1)C．(0，4) D．(－1，－5)【答案】BCD【解析】易知选项A，B，C，D中的点对应的复数分别为－2，3＋i，4i，－1－5i，因此B，C，D中的点对应的复数为虚数．10．已知复数z＝2＋i，则下列命题中正确的有(　　)A．|z|＝ eq \r(5) B． eq \x\to(z)＝2－iC．z的虚部为i D． eq \x\to(z)在复平面上的对应点在第二象限【答案】AB【解析】复数z＝2＋i，则|z|＝ eq \r(5)，故A正确； eq \x\to(z)＝2－i，故B正确；z的虚部为1，故C错误； eq \x\to(z)在复平面上对应点的坐标为(2，－1)，在第四象限，故D错误．故选AB．11．(2023年杞县期中)下列关于复数z＝ eq \f(2,1－i)的四个命题，其中为真命题的有(　　)A．|z|＝ eq \r(2) B．z2＝2iC．z的共轭复数为－1＋i D．z是关于x的方程x2－2x＋2＝0的一个根【答案】ABD【解析】因为z＝ eq \f(2,1－i)＝ eq \f(2(1＋i),1－i2)＝1＋i，所以|z|＝ eq \r(2)，故A正确；因为z2＝(1＋i)2＝2i，故B正确；因为z的共轭复数为1－i，故C错误；因为方程x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＝0，所以方程x2－2x＋2＝0的根为1±i，故D正确．故选ABD．12．(2023年青岛模拟)已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2＜b＜2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的有(　　)A． eq \x\to(z1)＝z2 B． eq \f(z1,z2)∈RC．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，则z eq \o\al(3,1) ＝z eq \o\al(3,2) ＝1【答案】ACD【解析】Δ＝b2－4＜0，∴x＝ eq \f(－b±\r(4－b2)i,2)，不妨设z1＝－ eq \f(b,2)＋ eq \f(\r(4－b2),2)i，z2＝－ eq \f(b,2)－ eq \f(\r(4－b2),2)i，∴ eq \x\to(z1)＝z2，故A正确；|z1|＝|z2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(4－b2),2)))\s\up12(2))＝1，故C正确；z1z2＝1，∴ eq \f(z1,z2)＝ eq \f(z eq \o\al(2,1) ,z1z2)＝z eq \o\al(2,1) ＝ eq \f(b2－2,2)－ eq \f(b\r(4－b2),2)i，当b≠0时， eq \f(z1,z2)∉R，故B错误；b＝1时，z1＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i，z2＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i，∴z eq \o\al(2,1) ＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i＝z2＝ eq \x\to(z1)，z eq \o\al(2,2) ＝z1＝ eq \x\to(z2)，z eq \o\al(3,1) ＝z1z2＝1，同理z eq \o\al(3,2) ＝1，故D正确．故选ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z＝ eq \f(3＋2i,2－3i)，i为虚数单位，则z的共轭复数 eq \x\to(z)＝__________．【答案】－i【解析】(方法一)z＝ eq \f(3＋2i,2－3i)＝ eq \f(i(2－3i),2－3i)＝i，所以z的共轭复数为－i．(方法二)z＝ eq \f(3＋2i,2－3i)＝ eq \f((3＋2i)(2＋3i),(2－3i)(2＋3i))＝ eq \f(13i,13)＝i，所以z的共轭复数为－i．14．(2023年天津二模)已知i是虚数单位，若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为__________．【答案】 eq \f(4,5)【解析】(3－4i)z＝|4＋3i|＝ eq \r(42＋32)＝5，则z＝ eq \f(5,3－4i)＝ eq \f(5(3＋4i),(3－4i)(3＋4i))＝ eq \f(3,5)＋ eq \f(4,5)i，其虚部为 eq \f(4,5)．15．(2023年武汉月考)在复平面内，把与复数3－ eq \r(3)i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为________(用代数形式表示)．【答案】－2 eq \r(3)i【解析】复数3－ eq \r(3)i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为(3－ eq \r(3)i)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))))＝(3－ eq \r(3)i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝－2 eq \r(3)i．16．设z的共轭复数是  eq \x\to(z)，若z＋ eq \x\to(z)＝4，z· eq \x\to(z)＝8，则|z|＝__________， eq \f(\x\to(z),z)＝__________．【答案】2 eq \r(2)　±i【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则  eq \x\to(z)＝x－yi．由z＋ eq \x\to(z)＝4，z· eq \x\to(z)＝8，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋yi＋x－yi＝4，,(x＋yi)(x－yi)＝8，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,x2＋y2＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±2.))∴|z|＝2 eq \r(2)．∴ eq \f(\x\to(z),z)＝ eq \f(x－yi,x＋yi)＝ eq \f(x2－y2－2xyi,x2＋y2)＝±i．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2023年广州天河区期中)已知复数z＝(1＋ai)(1＋i)＋2＋4i(a∈R)．(1)若z在复平面中所对应的点在直线x－y＝0上，求a的值；(2)求|z＋2|的取值范围．解：(1)z＝(1＋ai)(1＋i)＋2＋4i＝(3－a)＋(a＋5)i，所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3－a，a＋5)．因为z在复平面中所对应的点在直线x－y＝0上，所以3－a－(a＋5)＝0，解得a＝－1．(2)|z＋2|＝|(5－a)＋(a＋5)i|＝ eq \r((5－a)2＋(a＋5)2)＝ eq \r(2a2＋50)≥5 eq \r(2)，故|z＋2|的取值范围是[5 eq \r(2)，＋∞)．18．(12分)(2023年温州期中)已知复数z＝(1－i)2＋ eq \f(6i,1＋i)，其中i为虚数单位．(1)求z及|z|；(2)若z2＋a eq \x\to(z)＋b＝6＋7i，求实数a，b的值．解：(1)∵复数z＝(1－i)2＋ eq \f(6i,1＋i)＝－2i＋ eq \f(6i(1－i),2)＝3＋i，∴|z|＝ eq \r(9＋1)＝ eq \r(10)．(2)∵z2＋a eq \x\to(z)＋b＝6＋7i，即8＋6i＋a(3－i)＋b＝6＋7i，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8＋3a＋b＝6，,6－a＝7，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))19．(12分)实数m取什么数值时，复数z＝ eq \f(m2＋m－2,m＋1)＋(m2－1)i分别是下列数？(1)实数；(2)纯虚数．解：(1)由m2－1＝0且m＋1≠0，得m＝1，∴当m＝1时，z是实数．(2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m2＋m－2,m＋1)＝0，,m2－1≠0，))解得m＝－2．∴当m＝－2时，z是纯虚数．20．(12分)已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－i．(1)求复数z；(2)求|(3＋i)z|．解：(1)由(z－2)(1＋i)＝1－i，得z＝ eq \f(1－i,1＋i)＋2＝ eq \f((1－i)2,(1＋i)(1－i))＋2＝2－i．(2)由z＝2－i，得|(3＋i)z|＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝ eq \r(72＋(－1)2)＝5 eq \r(2)．21．(12分)已知复数z满足(1＋2i) eq \x\to(z)＝4＋3i．(1)求复数z；(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：(1)∵(1＋2i) eq \x\to(z)＝4＋3i，∴ eq \x\to(z)＝ eq \f(4＋3i,1＋2i)＝ eq \f((4＋3i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝ eq \f(10－5i,5)＝2－i．∴z＝2＋i．(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i．∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－(a＋1)2＞0，,4(a＋1)＞0，))解得－1＜a＜1．∴实数a的取值范围为(－1，1)．22．(12分)(2023年合肥月考)已知θ为三角形的一个内角，复数z＝cos θ＋isin θ，且满足|z＋1|＝1．(1)求1＋z＋z2；(2)设z，－2 eq \x\to(z)，1＋z＋z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解：(1)∵z＋1＝(cos θ＋1)＋isin θ，且|z＋1|＝1，∴(cos θ＋1)2＋sin2θ＝2＋2cosθ＝1．∴cos θ＝－ eq \f(1,2)，且θ∈(0，π)．∴sin θ＝ eq \f(\r(3),2)，z＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i，z2＝ eq \f(1,4)－ eq \f(3,4)－ eq \f(\r(3),2)i＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i．∴1＋z＋z2＝1－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i－ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i＝0．(2)z＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i，－2 eq \x\to(z)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝1＋ eq \r(3)i，1＋z＋z2＝0，在复平面上对应的点分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1， eq \r(3))，C(0，0)，∴CA＝1，CB＝2，AB＝ eq \r(3)．∴CA2＋AB2＝CB2，即△ABC为直角三角形且∠A＝ eq \f(π,2)．∴S△ABC＝ eq \f(1,2)·AB·CA＝ eq \f(\r(3),2)．