高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算复习练习题，共4页。试卷主要包含了故选D，写出一个满足下列两个条件的复数等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．(2023年常州期中)若复数z满足z(1＋i)＝i2 023＋2i2，其中i为虚数单位，则z的实部为( )
A． eq \f(1,2)B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(3,2)D．－ eq \f(3,2)
【答案】D
【解析】由题意，z(1＋i)＝i2 023＋2i2＝－i－2，即z＝ eq \f(－i－2,1＋i)＝ eq \f((－i－2)(1－i),(1＋i)(1－i))＝ eq \f(－3＋i,2)，则z的实部为－ eq \f(3,2)．故选D．
2．(2023年聊城二模)若复数z满足(1＋z)·(1－i)＝2，则复数z的虚部为( )
A．iB．－i
C．1D．－1
【答案】C
【解析】由(1＋z)(1－i)＝2，得z＝ eq \f(2,1－i)－1＝ eq \f(2(1＋i),(1－i)(1＋i))－1＝1＋i－1＝i，故复数z的虚部为1．故选C．
3．若复数z满足 eq \f(\x\t(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－iB．1＋i
C．－1－iD．－1＋i
【答案】A
【解析】由题意 eq \x\t(z)＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i．故选A．
4．(2023年襄城模拟)复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，则 eq \f(\x\t(z),1＋i)＝( )
A． eq \f(1＋3i,2)B． eq \f(－1＋3i,2)
C． eq \f(1－3i,2)D． eq \f(－1－3i,2)
【答案】D
【解析】∵复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，∴z＝1＋2i，则 eq \x\t(z)＝1－2i， eq \f(\x\t(z),1＋i)＝ eq \f(1－2i,1＋i)＝ eq \f((1－2i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝ eq \f(－1－3i,2)．故选D．
5．已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋ eq \x\t(z)＝4，则复数z的共轭复数 eq \x\t(z)＝( )
A．2＋iB．2－i
C．－2＋iD．－2－i
【答案】B
【解析】∵z＝a＋i，∴z＋ eq \x\t(z)＝2a＝4，得a＝2．∴复数z的共轭复数 eq \x\t(z)＝2－i．故选B．
6．设z＝ eq \f(3－4i,4＋3i)，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)＝( )
A．iB．－i
C．－1＋iD．1＋i
【答案】A
【解析】∵z＝ eq \f(3－4i,4＋3i)＝ eq \f((3－4i)(4－3i),(4＋3i)(4－3i))＝ eq \f(－25i,25)＝－i，∴f(z)＝(－i)2－(－i)＋1＝i．故选A．
7．(多选)下面是关于复数z＝ eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝2B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1
【答案】BD
【解析】∵z＝ eq \f(2,－1＋i)＝ eq \f(2(－1－i),(－1＋i)(－1－i))＝－1－i，∴|z|＝ eq \r(2)，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确．故选BD．
8．已知i为虚数单位，若复数z＝ eq \f(1＋2i,2－i)，z的共轭复数为 eq \x\t(z)，则z· eq \x\t(z)＝__________．
【答案】1
【解析】依题意，得z＝ eq \f((1＋2i)(2＋i),(2－i)(2＋i))＝i，所以 eq \x\t(z)＝－i．所以z· eq \x\t(z)＝i·(－i)＝1．
9．(2023年江西模拟)写出一个满足下列两个条件的复数：z＝__________．
①z2的实部为5；②z的虚部不为0．
【答案】3＋2i(答案不唯一)
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由①可知，z2的实部为5，则a2－b2＝5，不妨取a＝3，b＝2，故z＝3＋2i．
10．计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(2－i)(3＋i)；
(2) eq \f((\r(2)＋\r(2)i)2(4＋5i),(5－4i)(1－i))．
解：(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(2－i)(3＋i)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(7－i)＝ eq \f(\r(3)－7,2)＋ eq \f(7\r(3)＋1,2)i．
(2) eq \f((\r(2)＋\r(2)i)2(4＋5i),(5－4i)(1－i))＝ eq \f(4i(4＋5i),5－4－9i)＝ eq \f(－20＋16i,1－9i)＝ eq \f(－4(5－4i)(1＋9i),82)＝ eq \f(－4(41＋41i),82)＝－2－2i．
B级——能力提升练
11．(2023年西安期中)若4－3i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个复数根，则|a＋(b－10)i|＝( )
A．15B．17
C．19D．21
【答案】B
【解析】4－3i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个复数根，则4＋3i也是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个复数根，故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋3i＋4－3i＝－a，,(4＋3i)(4－3i)＝b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－8，,b＝25，))所以|a＋(b－10)i|＝|－8＋15i|＝ eq \r(64＋225)＝17．故选B．
12．(多选)设z是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜0
【答案】ABD
【解析】设z＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a2－b2＋2abi．
对于A，z2≥0，则b＝0，所以z是实数，是真命题；
对于B，z2＜0，则a＝0且b≠0⇒z是虚数，是真命题；
对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题；
对于D，z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2＜0是真命题．故选ABD．
13．设复数z＝ eq \f(5,2－i)(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为__________，模为__________．
【答案】2 eq \r(5)
【解析】由z＝ eq \f(5,2－i)＝ eq \f(5(2＋i),(2－i)(2＋i))＝2＋i，得复数z的实部为2，|z|＝ eq \r(22＋12)＝ eq \r(5)．
14．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝__________．
【答案】1
【解析】因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝ eq \f(4＋3i,3－4i)＝ eq \f((4＋3i)(3＋4i),(3－4i)(3＋4i))＝ eq \f(25i,25)＝i，则|z|＝1．
15．(2023年苏州期中)设z1是虚数，z2＝z1＋ eq \f(1,z1)是实数且－ eq \f(1,2)≤z2≤ eq \f(1,2)．
(1)求|z1|的值以及z1实部的取值范围；
(2)若ω＝ eq \f(1－\x\t(z1),1＋\x\t(z1))，求证：ω为纯虚数．
(1)解：设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z2＝z1＋ eq \f(1,z1)＝a＋bi＋ eq \f(1,a＋bi)＝a＋bi＋ eq \f(a－bi,(a＋bi)(a－bi))＝a＋ eq \f(a,a2＋b2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(b,a2＋b2)))i，
由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－\f(b,a2＋b2)＝0，,－\f(1,2)≤a＋\f(a,a2＋b2)≤\f(1,2)，))解得a2＋b2＝1且－ eq \f(1,4)≤a≤ eq \f(1,4)．
即|z1|＝1，z1实部的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,4)))．
(2)证明：ω＝ eq \f(1－\x\t(z1),1＋\x\t(z1))＝ eq \f(1－a＋bi,1＋a－bi)＝ eq \f((1－a＋bi)(1＋a＋bi),(1＋a－bi)(1＋a＋bi))＝ eq \f(1－a2－b2＋2bi,(1＋a)2＋b2)＝ eq \f(2b,(1＋a)2＋b2)i，为纯虚数．