数学必修 第二册7.2 复数的四则运算优质学案及答案

7.2　复数的四则运算

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

知识点1　复数的加、减运算

1．复数加法、减法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有：

z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．

2．复数加法的运算律

设z1，z2，z3∈C，则有：

交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则． (　　)

(2)复数与复数相加减后结果为复数． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√

2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)

A．8i　　　B．6　　　C．6＋8i　　　D．6－8i

B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]

3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i    B．1－i    C．i    D．－i

A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故选A．]

知识点2　复数加减法的几何意义

如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．

类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？

[提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．

4．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．

1－i　[＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．]

类型1　复数代数形式的加、减运算

【例1】　(对接教材P76例1)(1)计算：＋(2－i)－；

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z．

[解]　(1)＋(2－i)－

＝＋i＝1＋i．

(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，

所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，

解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i．

法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i．

解决复数加、减运算的思路

两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．

1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．

(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．

(1)－2－i　(2)　[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．

(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

所以解得x＝1，y＝0，

所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，

所以|z1＋z2|＝．]

类型2　复数代数形式加、减运算的几何意义

【例2】　(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝．则|z1－z2|＝________．

(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：

①所表示的复数，所表示的复数；

②对角线所表示的复数；

③对角线所表示的复数及的长度．

(1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝．]

(2)[解]　①＝－，∴所表示的复数为－3－2i．

∵＝，∴所表示的复数为－3－2i．

②∵＝－，

∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．

③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝．

利用复数加、减运算的几何意义解题有哪些技巧？

[提示]　(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．

(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

[解]　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．

则＝－＝(x，y)－(1,2)

＝(x－1，y－2)．

＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．

∵＝，∴

解得故点D对应的复数为2－i．

类型3　复数模的最值问题

【例3】　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)

A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．

(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？

[提示]　满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？

[提示]　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．

(1)A　[设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．

问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．]

(2)[解]　如图所示， 设＝－－i，则||＝＝2．

所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.

3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．

[解]　因为|z|＝1且z∈C，作图如图：

所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1．

1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)

A．1＋i　　　B．2＋i　　　C．3　　　D．－2－i

D　[由 得 ∴a＋bi＝－2－i．]

2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　)

A．1    B．2    C．－2    D．－2或1

C　[由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得 得a＝－2．]

3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________．

5　[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5．]

4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．

－1　[z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1．]

5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量＋＝________，则对应的复数为________，A，B两点间的距离为________．

2　－8－2i　2　[向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．∵＝－，

∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．

∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)复数加法、减法的运算律是什么？复数的加法满足哪些运算律？

(2)复数的加法、减法的几何意义是什么？

(3)如何利用数形结合思想求复数模的最值？