高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算教案

【新教材】7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 教学设计（人教A版）

复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.

课程目标：

1.掌握复数代数形式的加、减运算法则； 

2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

数学学科素养

1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;

2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;

3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.

重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．

难点：加、减运算及其几何意义.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

一、    情景导入

提问：1、试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

2、同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。

3、向量的加减运算满足何种法则？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本75-76页，思考并完成以下问题

1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？

2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．复数加法与减法的运算法则

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.

(2)对任意z1，z2，z3∈C，有

①z1＋z2＝z2＋z1；

②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2．复数加减法的几何意义

图3­2­1

如图3­2­1所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．

思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？

提示 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．

四、典例分析、举一反三

题型一  复数的加减运算

例1计算：

(1)(－3＋2i)－(4－5i)；

(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；

(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．

【答案】(1)－7＋7i.    (2)－10i.    (3)3a＋(4－2b)i.

【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.

(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.

(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.

解题技巧（复数加减运算技巧）

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

跟踪训练一

1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；

(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．

【答案】(1)－9i.   (2)－2a＋(6b－5)i.

【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.

(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.

题型二  复数加减运算的几何意义

例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点间的距离.

【答案】．

【解析】　因为复平面内的点对应的复数分别为.

所以之间的距离为

解题技巧： (运用复数加、减法运算几何意义注意事项)

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．

跟踪训练二

1、已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．

【答案】D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.

【解析】如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝，

所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，

因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，

所以||＝|7＋2i|＝＝，

因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，

所以||＝|5－12i|＝＝13.

故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.

题型三  复数加、减运算几何意义的应用

例3 已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．

【答案】　|z|max＝6，|z|min＝4.

【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z

与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．

而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，

所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.

即|z|max＝6，|z|min＝4.

解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧）

(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．

(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．

跟踪训练三

1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.

【答案】|z1－z2|＝.

【解析】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，

又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，

可得2ac＋2bd＝0.

∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，

∴|z1－z2|＝.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本77页练习，80页习题7.2的1、2题.

本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯通.