【分层训练】北师大版 初中数学 九年级下册 专题03解直角三角形（1个知识点4种题型1种中考考法）

专题03解直角三角形（1个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.解直角三角形（重点、难点）【方法二】 实例探索法题型1：已知两边解直角三角形 题型2.已知一个锐角和斜边解直角三角形题型3.已知一个锐角和一条直角边解直角三角形题型4.构造直角三角形【方法三】 仿真实战法考法. 解直角三角形【方法五】 成果评定法【学习目标】掌握直角三角形的边角关系。能够利用直角三角形的边角关系求直角三角形中的其他元素。能够构造直角三角形求线段的长或角的大小。重点：直角三角形的边角关系。难点：通过作垂线构造直角三角形求线段的长或角的大小。 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形（重点、难点）（1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）【方法二】实例探索法题型1：已知两边解直角三角形 【例1】中，，AB = 4，AC = ，BC = ______，= ______．【变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a＝1，．解这个直角三角形．题型1.已知一个锐角和斜边解直角三角形【例2】在中，已知，，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（，，，）． 题型2.已知一个锐角和一条直角边解直角三角形【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠B=60°，a＝4，解这个直角三角形．题型3.构造直角三角形【例4】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　）A． B． C． D．【变式1】如图，四边形ABCD中，，，，，AB = 2a，求BC的长．ABCD【变式2】如图，在中，，AC = 2，AB = 4，，求．ABCD【变式3】在中，已知D为AB中点，，ACCD，求sin A的值．ABCD【变式4】在中，，AC = BC，AD是BC上的中线，求与的值．【变式5】在四边形ABCD中，AB = 8，BC = 1，，，四边形ABCD的面积为，求AD的长．ABCD【方法三】 仿真实战法1．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝　　．2．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝　　．3．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝　　．4．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝　　 ．【方法五】 成果评定法一、单选题1．（2023·江苏南通·统考一模）若菱形的对角线，，则菱形的面积为（   ）A． B． C． D．2．（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）  A． B． C．4 D．53．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，，则的长为（   ）A．6 B． C． D． 4．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为（    ）  A．1 B．2 C． D．5．（2023下·江苏盐城·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)  A． B． C． D．6．（2023·江苏南京·九年级南京市第十三中学校考自主招生）已知，，垂直平分，，，求（    ）  A． B． C． D．7．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，矩形中，，，垂足分别是E、F，当时，（    ）  A． B． C． D．8．（2023上·江苏南通·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（   ）  A． B． C． D．9．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，中，，点D、E分别是边上的动点，将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处，则的最小值是（    ）．  A． B． C． D．110．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，点D的坐标是，，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为（    ）  A． B． C． D．二、填空题11．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，沿弦折叠扇形纸片，圆心O恰好落在上的点C处，，则四边形的面积为 ．12．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是 ．  13．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）一副三角板如图所示放置，中，，等腰中，连接，则的值为   14．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）在锐角中已知，则锐角面积S的取值范围为 ．15．（2023上·江苏无锡·九年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，点D在线段上移动（不含B点），，，，若时，则＝ ．  16．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点、分别是线段、射线上动点，连接、．若，则线段的最小值是 ．  17．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，正方形的边长为，对角线，交于点O，点E在边上，连接，F为上一点，若，，则的长为 ．18．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，点，在轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 ，的最小值为 ．三、解答题19．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）（1）在中，，求和的长；（2）在中，，解这个直角三角形．20．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，是的中线，  求：(1)的长；(2)的正弦值．21．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）由下列条件解直角三角形：在中，；(1)已知，(2)，．22．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）如图，中，，，D为边延长线上一点，，求的值．  23．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．  (1)求边的长；(2)求的值．24．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，两个全等的等边三角形如图放置，边长为8，与交于点G，点D是的中点，与相交于点K，连接．  (1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的面积．25．（2023上·江苏苏州·九年级统考期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图①：在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1) ；(2)对于，的正对值的取值范围是 ；(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．26．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向终点匀速移动．过点作，垂足为点，以为边作正方形，点在边上，连接．设点移动的时间为．．(1) ；（用含t的代数式表示）(2)当点C，N，M在同一条直线上时，求出相应的t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．