数学九年级下册4 解直角三角形教案设计

课题

4　解直角三角形

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　理解解直角三角形的概念,并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形.

数学思考

　　通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

问题解决

　　掌握解直角三角形所用的边角关系,能适当地选择锐角三角函数解直角三角形.

情感态度

　　在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的数学思想和方法.

教学

重点

　　根据条件解直角三角形.

教学

难点

　　三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

教具

多媒体课件

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

　　如图1-4-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c.

问题1:直角三角形的三边之间有什么关系?

问题2:直角三角形的锐角之间有什么关系?

问题3:直角三角形的边和锐角之间有什么关系?

在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形中的其他元素吗?

图1-4-11

　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

1.要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图1-4-12,现有一个长6 m的梯子,则:

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?

(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,梯子与地面所成的角α等于多少度(精确到1°)?这时,人是否能够安全使用这个梯子?

　图1-4-12

活动

一:

创设

情境

导入

新课

　　在图形的研究中,直角三角形是常见的三角形之一,因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.为了解决这些问题,往往需要确定直角三角形的边或角.

直角三角形中有6个元素,分别是三条边和三个角,那么至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢?这就是我们本节课要研究的问题.

2.师:直角三角形随处可见,请同学们观察老师手中的这副三角尺(如图1-4-13),谁来说说它们的每个内角分别是多少度?它们的各边之间有什么关系?

图1-4-13

一起来观察,如图1-4-14,在Rt△ABC中,一共有几个元素?请分别写出来.

(1)△ABC的三条边分别是　AB,BC,CA　; 

(2)△ABC的三个角分别是　∠A,∠B,∠C　. 

图1-4-14

师:因此,一个直角三角形中共有6个元素,那么至少知道几个元素,就可以求出其他元素呢?

接下来我们就一起来研究与直角三角形有关的问题.

　　1.体会数学知识来源于生活,激发学生的学习兴趣,由此引入对解直角三角形的探究.

2.通过学生回答一副三角尺的边角关系,比较自然地过渡,从而较好地引出本节课的研究内容,并巩固学生对直角三角形的边角关系的记忆.

活动

二:

实践

探究

交流

新知

　　【探究1】

例　在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.

(出示问题,小组研讨后,找学生书写板书过程)

解:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=,b=,根据勾股定理,得c==2.

在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB===,

∴∠B=30°,则∠A=60°.

师:已知直角三角形的两边长,求出其他未知元素,这个过程叫做什么呢?

归纳定义:

解直角三角形:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.

【探究2】

(1)通过对上面例题的学习,如果让你设计一个关于解直角三角形的题目,你会给题目几个条件?如果只给两个角,可以吗?

(2)直角三角形中,除直角外有5个元素(3条边、2个锐角),知道其中的几个元素就可以求出其余的元素?

(3)通过上面例子的学习,你们知道解直角三角形有几种情况吗?

　　1.通过回顾旧知,达到学以致用的目的,再通过一道例题,真正把学到的知识用到实处,通过解题,归纳出解直角三角形的定义.

2.探究解直角三角形的条件是这节课的重点,让学生归纳和讨论,能让他们深刻理解解直角三角形的几种情况,掌握必须满足什么条件才能解出直角三角形,给学生展示的平台,增强学生的兴趣及自信心.

活动

二:

实践

探究

交流

新知

　　处理方式:问题(1)找几个学生展示,让学生现场出题,当堂验证,学生讨论分析,得出结论;问题(2)(3)可以借助问题(1)和上面例题,也可以查阅以前做的题目(包括课本例题、习题),最后学生交流、讨论、归纳(课件展示讨论的条件).

总结:解直角三角形有下面两种情况(其中至少有一边):

(1)已知两条边(一直角边和斜边或两直角边);

(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角或斜边和一锐角).

活动

三:

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例1　如图1-4-15,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=30°,求这个三角形的其他元素.

(出示问题,同学们各抒己见,然后书写过程,找学生到黑板前板演)

图1-4-15

变式:如图1-4-16,热气球的探测器显示,从热气球底部看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼的底部的俯角为60°,热气球所在位置A处与高楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(≈1.732,结果精确到0.1 m)?

图1-4-16　图1-4-17

解:如图1-4-17,过点A作AD⊥BC,垂足为D.

在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,AD=120 m,

∴BD=ADtan30°=120×=40(m).

在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,AD=120 m,

∴CD=ADtan60°=120(m).

∴BC=BD+CD=40+120=160≈160×1.732≈277.1(m).

答:这栋楼高约277.1 m.

　　1.通过在直角三角形中,已知一锐角和一边,求出其他未知元素的过程,让学生自主探究,合作交流,从而找出不同的解法,激发学生探究问题的兴趣.

2.学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每名学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.

【拓展提升】

例2　如图1-4-18,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长.

图1-4-18

图1-4-19

解:如图1-4-19,过点C作CD⊥AB于点D,

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD.

在Rt△ACD中,∵∠A=30°,AC=2,

∴CD=AC·sin30°=AC=,AD=AC·cos30°=AC=3,

∴BD=CD=,∴AB=AD+BD=3+.

活动

四:

课堂

总结

反思

【当堂训练】

1.课本P17随堂练习

2.课本P17习题1.5中T1、T2、T4

　　当堂检测,及时反馈学习效果.

【板书设计】

　提纲挈领,重点突出.

【教学反思】

①[授课流程反思]

为了使学生熟练掌握直角三角形的解法,我设计一个悬念创设学习情境:在幻灯片中出示一架倾斜的梯子,让学生通过给出的条件,思考能否求出梯子的倾斜角度.当学生的兴趣被激发出来以后,再抛出所学课题:解直角三角形.

②[讲授效果反思]

以“会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及用锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标,渗透数形结合思想、分类讨论思想等,培养学生良好的学习习惯.给学生自主探索的时间,给学生宽松和谐的氛围,让学生学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中,培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.

③[师生互动反思]

④[习题反思]

好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　反思,更进一步提升.