2023_2024学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用午练8余弦定理正弦定理的应用新人教A版必修第二册

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午练8　余弦定理、正弦定理的应用1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为(　　)A. B.- C. D.-2.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为(　　)A.19 B.14 C.-18 D.-193.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100 m,点C位于BD上,则山高AB等于(　　)A.100 m B.50 mC.50 m D.50(+1)m4.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°,从电视塔的西偏南30°的B处,测得塔顶仰角为45°,A,B间距离为35 m,则此电视塔的高度是(　　)A.5 m B.10 m C. m D.35 m5.一艘轮船从A出发,沿南偏东70°的方向航行40 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东35°的方向航行了40 n mile到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C,那么此船航行的方向和路程分别为(　　)A.北偏东80°,20()n mileB.北偏东65°,20()n mileC.北偏东65°,20()n mileD.北偏东80°,20()n mile6.(多选题)如图,为对某失事客轮AB进行有效援助,现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明,其中A、B、C、D在同一平面内.现测得CD长为100米,∠ADN=105°,∠BDM=30°,∠ACN=45°,∠BCM=60°.则(　　)A.S△BCD=2 500平方米 B.AD=米C.船AB长为米 D.BD=200米7.锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则=　　　　　,边长c的取值范围是　　　　　. 8.如图所示,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为　　　　;塔BB1的高为　　　　 m. 9.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12 n mile,渔船乙以10 n mile/h 的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h在C处追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sin α的值.10.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+c=3,.(1)求角B的大小;(2)若a0),则cosC=.2.D　由余弦定理的推论,得cosB=,所以=||||cos(π-B)=7×5×=-19.3.D　在△ACD中,CD=100m,∠ADC=30°,∠DAC=∠ACB-∠ADC=45°-30°=15°,∴,∴AC==50()m.在△ABC中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,AC=50()m,∴AB=ACsin45°=50()×=50(+1)m.4.A　设此电视塔的高度是xm,如图所示,则AC=m,∠BCA=150°,AB=35m.∴cos150°=,解得x=5.故选A.5.C　由题可知∠ABC=105°.在△ABC中,AB=40,BC=40,所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40cos105°=3200+1600,所以AC=20().又因为,所以sin∠BAC=,所以∠BAC=45°,所以下次航行直接从A出发到C,此船的航向为北偏东65°,故选C.6.ABC　∠BDM=30°,∠BCM=60°,则∠CBD=30°,所以BC=BD=100米,所以S△BCD=CB·CD·sin∠BCD=×100×100×sin120°=2500平方米.由题得,∠ADC=75°,∠ACD=45°,∠BDA=45°,在△ACD中,,即,所以AD=米,在△BCD中,BD===100米,在△ABD中,AB===米.即船长为米.7.4　(2,2)　因为C=2A,所以sinC=2sinAcosA,由正弦定理得c=2acosA,所以=2a=4.因为△ABC是锐角三角形,所以C=2A∈,B=π-A-C=π-3A∈,所以A∈,所以c=4cosA∈(2,2).8.　45　设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tanα,BB1=60tan2α.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽△CBB1,所以,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(负值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45.9.解 (1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12nmile,AC=10×2=20(nmile),∠BCA=α.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,解得BC=28nmile.所以渔船甲的速度为BC÷2=14(nmile/h).(2)在△ABC中,AB=12nmile,∠BAC=120°,BC=28nmile,∠BCA=α,由正弦定理,得,所以sinα=.10.解 (1)由,可得bcosC=2acosB-ccosB,由正弦定理可得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,所以sin(B+C)=2sinAcosB,即sinA=2sinAcosB.因为sinA≠0,所以cosB=,可得B=.(2)由正弦定理可得,a=sinA,c=sinC,∴3=a+c=sinA+sinC=sinA+sinA+=sinA+sinA+cosA=sinA+cosA=4sinA+,整理可得,sinA+=,由a