2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程课时作业新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程课时作业新人教B版选择性必修第一册，共6页。
2．5.1　椭圆的标准方程　1．已知F1，F2是两个定点，且|F1F2|＝2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，则动点P的轨迹是(　　)A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线2．已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　)A．1　　　B．3 C．5　　　D．93．“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为(　　)A．2　　　B．4 C．6　　　D．85．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2 eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________________．6．已知椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2是________三角形，△PF1F2的面积是________．7．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程．8．椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1上的一点M到其左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|＝(　　)A．1 B．2 C．4 D．89．已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)A．2 eq \r(3) B． eq \r(3) C．2 D．410．已知点P在椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1上，F1与F2分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝ eq \f(2π,3)，则△F1PF2的面积为(　　)A．4 eq \r(3) B．6 eq \r(3) C．8 eq \r(3) D．13 eq \r(3)11．若方程 eq \f(x2,25－k)＋ eq \f(y2,k－9)＝1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为(　　)A．(9，25) B．(－∞，9)∪(25，＋∞)C．(17，25) D．(25，＋∞)12．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，动圆P过点B且与圆A内切，设动圆P的半径为r，则圆心P的轨迹方程是(　　)A． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,9)＝1 B． eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1C． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1 D． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,16)＝113．已知椭圆 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．　14．已知F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，|AB|＝4，则a2＋b2＝(　　)A．36 B．12 C．10 D．815．已知M(－2，0)，P是圆N：x2－4x＋y2－32＝0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为(　　)A． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,5)＝1 B． eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,9)＝1 C． eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,9)＝1 D． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,5)＝12．5.1　椭圆的标准方程必备知识基础练1．答案：C解析：因为a2＋1≥2a(当且仅当a＝1时，等号成立)，所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，当a>0且a≠1时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；当a＝1时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2.故选C.2．答案：B解析：由椭圆x2＋5y2＝25，可得a＝5，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF2|＝3.故选B.3．答案：B解析：若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，即方程eq \f(x2,\f(1,a))＋eq \f(y2,\f(1,b))＝1表示椭圆，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,\f(1,b)>0，,\f(1,a)≠\f(1,b)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0，,a≠b，))所以由方程ax2＋by2＝1表示椭圆能推出ab>0，由ab>0推不出方程ax2＋by2＝1表示椭圆，若a＝b＝1方程x2＋y2＝1表示圆，故“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.4．答案：D解析：由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1⇒a＝2.因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，所以MF1＋MF2＝2a，NF1＋NF2＝2a，因此△F1MN的周长为MF1＋MN＋NF1＝MF1＋MF2＋NF2＋NF1＝2a＋2a＝4a＝8.故选D.5．答案：eq \f(y2,16)＋x2＝1解析：由已知2a＝8，2c＝2eq \r(15)，所以a＝4，c＝eq \r(15)，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.6．答案：直角　eq \r(2)解析：由已知得|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以得|PF1|＝3，|PF2|＝1，因此|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，所以△PF1F2是直角三角形，所以＝eq \f(1,2)|F1F2|·|PF2|＝eq \r(2).7．答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1解析：方法一　依题意，可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0).从而有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2，,2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2，,a＝4.))又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.方法二　依题意，可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(9,b2)＝1，,a2－b2＝4，))解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.关键能力综合练8．答案：C解析：由椭圆方程eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，得a＝5，由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝2×5＝10，又|MF1|＝2，∴|MF2|＝10－2＝8，又∵N为MF1的中点，O为F1F2的中点，∴线段ON为△MF1F2中位线，∴|ON|＝eq \f(1,2)|MF2|＝eq \f(1,2)×8＝4.故选C.9．答案：D解析：∵M在椭圆C上，∴|MF1|＋|MF2|＝2×2＝4，∴根据基本不等式可得|MF1|＋|MF2|＝4≥2eq \r(|MF1|·|MF2|)，即|MF1|·|MF2|≤4，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时取等号．故选D.10．答案：A解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝8,cos∠F1PF2＝\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)))，又|F1F2|＝4eq \r(3)，解得|PF1||PF2|＝16，＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×16×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).故选A.11．答案：C解析：因为方程eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,k－9)＝1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以k－9>25－k>0，解得17|MN|＝4，∴点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，∴a＝3，c＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(5)，∴其轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.故选A.