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初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数精品课堂检测
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这是一份初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数精品课堂检测，文件包含57二次函数综合练习提优-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版原卷版docx、57二次函数综合练习提优-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
1．抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11B．t≥2C．2≤t＜11D．2≤t＜6
【解答】C
【解析】∵y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1，
∴a＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+ax+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝11；
当x＝3时，y＝6；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选C．
2．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
B．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．不论a为何值，函数图象必经过（2，﹣1）
【解答】D
【解析】A．当a＝﹣2时，y＝﹣2x2﹣4x﹣1，△＝（﹣4）2﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，与x轴有两个交点，所以A错误，不符合题意；
B．若a＜0，则抛物线开口向下，而△＞0，故抛物线和x轴有两个交点，故函数图象的顶点始终在x轴的下方错误，故B不符合题意；
C．函数的对称轴x=--2a-2×a=1，a＞0，所以则当x≥1时，y随x的增大而增大，所以C错误，不符合题意；
D．当x＝2时，y＝4a﹣4a﹣1＝﹣1，所以D正确，符合题意；
故选D．
3．对于函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣3a+1（a是常数），有下列说法：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
其中错误的说法是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①③
【解答】B
【解析】①反例：k＝0时，只有两个交点．故说法错误；
③如a＝1，对称轴x=32，当x＞1时，先减后增；故说法错误；
④当a＝0时，函数无最大值、最小值；
当a≠0时，y最值=4a(-3a+1)-[-(2a+1)]24a=-（4a+14a），
∴当a＞0时，有最小值，最小值为﹣1；
当a＜0时，有最大值，最大值为1．
故说法正确．
故选B．
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）b＜2a；（2）a+c﹣b＞0；（3）b＞c＞a；（4）b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】B
【解析】（1）∵二次函数的图象开口向上，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a＞0，c＞0，
由对称轴为x=-b2a，
由图象可知，-1＜-b2a＜0，
∴0＜b＜2a，则结论（1）正确，符合题意；
（2）∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c﹣b＜0，则结论（2）错误，不符合题意；
（3）∵b＜2a，
∴﹣b＞﹣2a，
∴a+c﹣b＞a+c﹣2a＝c﹣a，
∵a+c﹣b＜0，
∴c﹣a＜0，即c＜a，则结论（3）错误，不符合题意；
（4）由二次函数与一元二次方程的联系得，关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴2ac＜12b2，
∵b＜2a，b＞0，
∴32b2＜3ab，
又∵32b2=b2+12b2＞b2+2ac，
∴b2+2ac＜32b2＜3ab，
即b2+2ac＜3ab，则结论（4）正确，符合题意，
综上，正确结论的个数是2个
故选B．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】B
【解析】∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则-b2a=1，b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误；
当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确；
由 2a+b＝0，得 a=-b2，代入a﹣b+c＜0得-3b2+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．
综上，正确的选项有：①②④．
所以正确结论的个数是3个．
故选B．
6．一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解答】A
【解析】根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选A．
7．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（ ）
A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
【解答】A
【解析】A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，故该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故A正确，符合题意；
B．函数的对称轴为x=-b2a=-4-4=1，故当x＞1时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意；
C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝﹣2x2+4x+m2+2m＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故C错误，不符合题意；
D．函数的对称轴为x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，故顶点的纵坐标最小值为1，故D错误，不符合题意．
故选A．
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（ ）
A．19＜m≤14B．19≤m＜14C．0＜m＜14D．0＜m≤19
【解答】A
【解析】如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，对称轴x＝1，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m=14，
当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=19，
∴m的取值范围为19＜m≤14．
故选A．
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在B（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．9a+3b+c＝0B．4b﹣3c＞0C．4ac﹣b2＜﹣4aD．13＜a＜56
【解答】D
【解析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
有-b2a=1，即2a+b＝0，
图象过点（3，0），因此，9a+3b+c＝0，故选项A不符合题意；
图象过点（﹣1，0），故有a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，
∴4b﹣3c＝b+3a＝﹣2a+3a＝a＞0，因此选项B不符合题意，
由于﹣2＜c＜﹣1，对称轴为x＝1，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即4ac-b24a＜-1，就是4ac﹣b2＜﹣4a，故选项C不符合题意；
由﹣2＜c＜﹣1，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可得，﹣2＜﹣3a＜﹣1，所以13＜a＜23，故选项D符合题意；
故选D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）给出下列结论：①2a+c＜0；②若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=-1a时，△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】D
【解析】①∵b2a＜12，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误；
②若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；
③∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故③错误；
④设抛物线的对称轴交x轴于H．连接PA，PB
∵4ac-b24a=-1a，
∴b2﹣4ac＝4，
∴x=-b±22a，
∴|x1﹣x2|=2a，
∴AB＝2PH，
∵BH＝AH，
∴PH＝BH＝AH，
∴△PAB是直角三角形，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．
故选D．
11．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤3B．﹣1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤4
【解答】C
【解析】函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x＝a时，函数的最小值＝5﹣a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，
则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥2，
∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最大值为：6﹣2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，
只需最大值与最小值的差小于等于4即可，
∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，
a2﹣2a﹣3≤0，
解得﹣1≤a≤3，而a≥2，
故选C．
12．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3B．﹣3＜c＜﹣2C．﹣2＜c＜14D．c＞-14
【解答】C
【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
联立①②并解得：﹣2＜c＜14；
故选C．
13．已知二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，对称轴位于y轴左侧，则当关于a，b的代数式（a﹣6）2+b2有最小值时，该二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）
【解答】C
【解析】∵二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，
∴△＝b2﹣4（a﹣3）≥0，
∵对称轴位于y轴左侧，
∴b＜0；
（a﹣6）2+b2≥（a﹣6）2+4（a﹣3），当b2＝4（a﹣3）时，等号成立；
（a﹣6）2+4（a﹣3）＝（a﹣4）2+8≥8，
代数式取得最小值时，a＝4，此时b2＝4（4﹣1）＝4，解得：b＝±2（舍去正值），
故a＝4，b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
故抛物线的顶点为（﹣1，0），
故选C．
14．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．给出下列4个结论：①不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；②不论m为何值，该抛物线与y轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点P，满足S△PAB＝n的点有3个时，则n=18；④若0＜x＜12时y＜0，则-12＜m＜0；其中，正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】B
【解析】y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，故①正确，
令y＝0，解得x＝m或m+1，
∴A（m，0），B（m+1，0），
∵m＜0时，点A在x轴的负半轴上，故②错误，
∵y＝（x﹣m-12）2-14，
∴顶点的纵坐标为-14，
∵抛物线上有一个动点P，满足S△PAB＝n的点有3个时，
∴点P是抛物线的顶点时满足条件，此时n=12×1×14=18，故③正确，
∵0＜x＜12时y＜0，A（m，0），B（m+1，0），
∴-12≤m≤0，故④错误，
故选B．
二．填空题
15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后滑行 米停下．
【解答】1920．
【解析】由题意，s＝﹣1.2t2+96t＝﹣1.2（t﹣40）2+1920，
即当t＝40秒时，飞机着陆后滑行1920米停下．
故答案为1920．
16．二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是 ．
【解答】﹣2．
【解析】∵y＝﹣（x+1）2﹣2中﹣1＜0，
∴函数的图象开口向下，函数有最大值，
当x＝﹣1时，函数的最大值是﹣2，
故答案为﹣2．
17．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝ ．
【解答】10．
【解析】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为10．
18．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
【解答】s≥9．
【解析】由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为s≥9．
19．已知点A（0，2）与点B（2，4）的坐标，抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，则a的取值范围是 ．
【解答】19≤a≤3．
【解析】∵抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+1＝a（x﹣3）2+1，如图，
∴顶点坐标为（3，1），对称轴为x＝3，
当抛物线过点A时，即2＝9a+1，解得，a=19，
当抛物线过点B时，即4＝a+1，解得，a＝3，
又∵抛物线当|a|越大，开口越小，
∴a的取值范围为19≤a≤3，
故答案为19≤a≤3．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为 ．
【解答】k=72
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h=2c+22=c+1，
∴2=-32[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k=72．
21．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为 ．
【解答】1或4．
【解答】关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
设y′′＝3，
当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，
即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，
而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4
故答案为1或4．
22．若整数a使关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a+3）x+a+2的图象在x轴的下方，且使关于x的分式方程2+19x+3=1+2ax3+x有负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【解答】﹣16．
【解析】由题意得：a﹣1＜0且△＝（﹣2a﹣3）2﹣4（a﹣1）（a+2）＜0，
解得a＜-178；
解分式方程2+19x+3=1+2ax3+x得，x=12a-1，
∵x＜0且x≠﹣3，即12a-1＜0且12a-1≠-3
解得：a＜1且a≠﹣3，
故a＜-178且a≠﹣3，
a＝﹣5或﹣11时，x=12a-1有负整数解，
故所有满足条件的整数a的和为﹣16．
故答案为﹣16．
23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝
【解答】﹣8
【解析】函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，
由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0），
则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6
即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2，
当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，
故答案为﹣8．
24．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，若点P为该抛物线的顶点，则使△PAB面积最小时抛物线的解析式为 ．
【解答】y＝x2﹣4x+3
【解析】由题意知4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+mx+n上，
∴a+b＝﹣m，ab＝n，
又∵|AB|＝|a﹣b|＝x2+mx+n经过（2，﹣1），代入得，n＝﹣2m﹣5，
∴|AB|=m2+8m+20，P点纵坐标为-14m2﹣2m﹣5，
S△PAB=18(m2+8m+20)3=18[(m+4)2+4]3，
所以，当m＝﹣4时，S△PAB最小，
此时，该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3．
故答案为y＝x2﹣4x+3．
25．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 ．
【解答】-12≤a＜0或0＜a≤12
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x=12a，
当a＜0时，抛物线开口向下，且x=12a＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当12a≤-1时符合题意，此时-12≤a＜0，
当﹣1＜12a＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x=12a＞0，
画图可知，当12a≥1时符合题意，此时0＜a≤12，
当0＜12a＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是-12≤a＜0或0＜a≤12，
故答案为-12≤a＜0或0＜a≤12．
三．解答题
26．学校计划购买一批钢笔和笔记本，用以奖励优秀学生，获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本；已知购买2支钢笔和3本笔记本共38元，购买4支钢笔和5本笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元，笔记本按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过50人，当这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
【解答】（1）钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元；（2）这次奖励学生一等奖为50人时，购买奖品总额最少，最少为700元．
【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元，根据题意，得2x+3y=384x+5y=70，
解这个方程组，得x=10y=6，
所以钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元；
（2）这次奖励一等奖的学生为a人，购买奖品总余额为w元，
则w＝a[10﹣0.1（a﹣30）]+6（100﹣a）＝﹣0.1a2+7a+600＝﹣0.1（a﹣35）2+722.5，
∵30≤a≤50
∴a＝50时w＝﹣0.1×（50﹣35）2+722.5＝700（元）最少，
所以这次奖励学生一等奖为50人时，购买奖品总额最少，最少为700元．
27．饮料厂生产某品牌的饮料成本是每瓶5元，每天的生产量不超过9000瓶．根据市场调查，以单价8元批发给经销商，经销商每天愿意经销5000瓶，并且表示单价每降价0.1元，经销商每天愿意多经销500瓶．
（1）求出饮料厂每天的利润y（元）与批发单价x（元）之间的函数关系式；
（2）批发单价定为多少元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是多少元？
（3）如果该饮料厂要使每天的利润不低于18750元，且每天的总成本不超过42500元，那么批发单价应控制在什么范围？（每天的总成本＝每瓶的成本×每天的经销量）
【解答】（1）y＝﹣5000x2+70000x﹣225000；（2）当批发单价为7.2元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是19800元．（3）批发单价应控制在7.3元到7.5元之间．
【解析】（1）根据题意，得：y=(x-5)(5000+8-x0.1×500)=-5000x2+70000x﹣225000＝﹣5000（x﹣7）2+20000，
答：y与x的函数关系式为y＝﹣5000x2+70000x﹣225000；
（2）由题意，得5000+8-x0.1×500≤9000，
解得x≥7.2，
∵a＝﹣5000＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝7，
∵x≥7.2，
∴此时函数图象在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝7.2（元）时，y取得最大值，ymax＝19800（元）；
答：当批发单价为7.2元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是19800元；
（3）根据题意得﹣5000x2+70000x﹣225000＝18750，
解得：x1＝6.5，x2＝7.5，
∵抛物线开口向下，
∴当6.5≤x≤7.5时，每天的利润不低于18700元，
∵每天的总成本不超过42500元，
∴5(5000+8-x0.1×500)≤42500，
解得x≥7.3，
∴7.3≤x≤7.5，
答：批发单价应控制在7.3元到7.5元之间．
28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）△AMC的周长最小值为10+32，点M（2，﹣1）；（3）存在，m＝5或m＝4或m=3+2或3-2．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：0=a+b-30=9a+3b-3，
解得a=-1b=4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，
又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴BC=CO2+OB2=32，同理AC=10，
∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC=10+32；
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；
（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（﹣m2+4m﹣3）2，CF2＝（m2﹣3m）2，GC2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3±2；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5，
综上，m＝5或m＝4或m=3+2或3-2．
29．某地摊上的一种玩具，已知其进价为50元/个，试销阶段发现将售价定为80元/个时，每天可销售20个，后来为了扩大销售量，适当降低了售价，销售量y（个）与降价x（元）的关系如图所示．
（1）求销量y与降价x之间的关系式；
（2）该玩具每个降价多少元，可以恰好获得750元的利润？
（3）若要使得平均每天销售这种玩具的利润W最大，则每个玩具应该降价多少元？最大的利润W为多少元？
【解答】（1）y＝2x+20；（2）玩具每个降价5元或15元，可以恰好获得750元的利润；（3）每个玩具应该降价10元时，W的最大值为800元．
【解析】（1）设销量y与降价x之间的关系式y＝kx+b，
将点（2，24）、（4，28）代入上式得24=2k+b28=4k+b，解得k=2b=20，
故销量y与降价x之间的关系式y＝2x+20；
（2）由题意得：（80﹣x﹣50）（2x+20）＝750，
解得x＝5或15（元），
故该玩具每个降价5元或15元，可以恰好获得750元的利润；
（3）由题意得：W＝（80﹣x﹣50）（2x+20）＝﹣2（x﹣10）2+800，
∵﹣2＜0，
故当x＝10（元）时，W的最大值为800（元）．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
【解答】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值为132；（3）①存在，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，-139）；②-23＜t＜1或2＜t＜83．
【解析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），
C（0，3）代入得-p+q=0q=3，解得p=3q=3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），
∵DF∥AC，
∴∠DFG＝∠ACO，
而抛物线对称轴为x＝1，
∴DG＝x﹣1，DF=10（x﹣1），
∴DE+DF＝﹣x2+2x+3+10（x﹣1）＝﹣x2+（2+10）x+3-10=-（x-2+102）2+132，
∵﹣1＜0，
∴当x=2+102，DE+DF有最大值为132；
（3）①存在；
如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
则直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为13，
∴直线P1C的解析式可设为y=-13x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线P1C的解析式为y=-13x+3，解方程组y=-x2+2x+3y=-13x+3，
解得x=0y=3或x=73y=209，
则此时P1点坐标为（73，209）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P2，
同理可设直线AP2的解析式可设为y=-13x+n，
把A（﹣1，0）代入上式并解得n=-13，
∴直线PC的解析式为y=-13x-13，
解方程组y=-x2+2x+3y=-13x-13，解得x=-1y=0或x=103y=-139，
则此时P2点坐标为（103，-139），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，-139）；
②答：-23＜t＜1或2＜t＜83．
如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵CQ1⊥AC，
∴直线CQ1解析式为y=-13x+3，
令x＝1，得y=-13×1+3=83，
∴Q1（1，83）；
∵AQ2⊥AC，
∴直线AQ2解析式为y═-13x-13，令x＝1，得y=-13×1-13=-23，
∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，
∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（10）2，解得：t1＝1，t2＝2，
∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，
∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），
∴-23＜t＜1或2＜t＜83．
31．如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；
（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；（2）点M坐标为（32，-154），△MNP的周长的最大值为92+924；（3）点Q坐标为（﹣1，5）或（2，﹣4）．
【解析】（1）∵点A在x轴的正半轴，且OA＝4，
∴点A（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（3，﹣3），
∴0=16a+4b-3=9a+3b，
解得a=1b=-4，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；
（2）∵点B（3，﹣3），
∴直线OB解析式为y＝﹣x，
设点M（m，m2﹣4m），
∴点N（m，﹣m），K（m，0），
∴OK＝KN，
∴∠KON＝∠KNO＝45°，
∵MP∥x轴，
∴∠MPN＝∠KON＝45°，
∴∠MPN＝∠KNO＝∠MNP＝45°，
∴MP＝MN，
∴NP=2MN，
∵△MNP的周长＝MN+MP+NP＝2MN+2MN＝2（4m﹣m2﹣m）+2（4m﹣m2﹣m）＝（2+2）（3m﹣m2）＝﹣（2+2）[（m-32）2-94]，
∴当m=32时，△MNP的周长的最大值为92+924，
此时点M坐标为（32，-154）；
（3）存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，
理由如下：
如图（2），在线段CB上截取CE=23，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，
∵S△OCE=12×CE×OD=12×23×3＝1，且OC∥QE，
∴S△OCQ＝1，
∵BD⊥y轴，
∴OD＝3，点C纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝x2﹣4x，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点C（1，﹣3），
∴CD＝1，
∴S△OCD=12×1×3=32，
∴S△OCD：S△OCQ＝3：2，
∵点O（0，0），点C（1，﹣3），
∴直线OC解析式为：y＝﹣3x，
∵CE=23，
∴点E（53，﹣3），
∵OC∥EQ，
∴设EQ的解析式为：y＝﹣3x+b，
∴﹣3＝﹣3×53+b，
∴b＝2，
∴EQ的解析式为：y＝﹣3x+2，
联立方程组可得y=-3x+2y=x 2-4x，
∴x 1=-1y 1=5，x 2=2y 2=-4，
∴点Q坐标为（﹣1，5）或（2，﹣4）．
32．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．
【解答】（1）y=-23x2+23x+4；（2）-(t-32)2+494，P点的坐标为（32，72）；（3）点E的坐标为（1，114）或（1，2+3）或（1，2-3）或（1，72+3）或（1，72-3）．
【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a=-23，
∴抛物线的解析式为：y=-23(x+2)(x-3)，
即y=-23x2+23x+4；
（2）设P点的坐标为（t，-23t2+23t+4），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
3k+b=0b=4，
解得k=-43b=4，
∴直线BC的解析式为：y=-43x+4，
∴M（t，-43t+4），
∴PM=-23t2+2t，
∴S△BPC=12PM⋅OB=12(-23t2+2t)×3=-t2+3t，
S△AOC=12AO⋅OC=12×2×4=4，
S△BOC=12OB⋅OC=12×3×4=6，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC=-t2+3t+10=-(t-32)2+494，
∴当t=32时，S四边形ABPC取最大值，
∴此时P点的坐标为（32，72）；
（3）∵将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，
∴y′的解析式为y=-32(x-12)2+32(x-12)+4-2，即y=-32x2+3x+78，
∴抛物线y′的对称轴为x＝1，
∵抛物线y=-32x2+32x+4=-32(x-12)2+358，
∴抛物线y=-23x2+23x+4的对称轴为直线x=12，
把x=12代入y=-32x2+3x+78中，得y＝2，
∴Q点的坐标为（12，2），
设E的坐标为（1，n）
①当PE＝QE时，则PE2＝QE2，
即(32-1)2+(72-n)2=(1-12)2+(n-2)2，
解得，n=114，
∴E（1，114），
②当PQ＝QE时，则PQ2＝QE2，
即(32-12)2+(72-2)2=(1-12)2+(n-2)2，
解得，n＝2±3，
∴E点的坐标为（1，2+3）或（1，2-3）；
③当PQ＝PE时，则PQ2＝PE2，
即(32-12)2+(72-2)2=(32-1)2+(72-n)2，
解得，n=72±3，
∴点E的坐标为（1，72+3）或（1，72-3）．
综上，当△PQE是等腰三角形时，点E的坐标为（1，114）或（1，2+3）或（1，2-3）或（1，72+3）或（1，72-3）．
1．抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11B．t≥2C．2≤t＜11D．2≤t＜6
【解答】C
【解析】∵y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1，
∴a＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+ax+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝11；
当x＝3时，y＝6；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选C．
2．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
B．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．不论a为何值，函数图象必经过（2，﹣1）
【解答】D
【解析】A．当a＝﹣2时，y＝﹣2x2﹣4x﹣1，△＝（﹣4）2﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，与x轴有两个交点，所以A错误，不符合题意；
B．若a＜0，则抛物线开口向下，而△＞0，故抛物线和x轴有两个交点，故函数图象的顶点始终在x轴的下方错误，故B不符合题意；
C．函数的对称轴x=--2a-2×a=1，a＞0，所以则当x≥1时，y随x的增大而增大，所以C错误，不符合题意；
D．当x＝2时，y＝4a﹣4a﹣1＝﹣1，所以D正确，符合题意；
故选D．
3．对于函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣3a+1（a是常数），有下列说法：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
其中错误的说法是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①③
【解答】B
【解析】①反例：k＝0时，只有两个交点．故说法错误；
③如a＝1，对称轴x=32，当x＞1时，先减后增；故说法错误；
④当a＝0时，函数无最大值、最小值；
当a≠0时，y最值=4a(-3a+1)-[-(2a+1)]24a=-（4a+14a），
∴当a＞0时，有最小值，最小值为﹣1；
当a＜0时，有最大值，最大值为1．
故说法正确．
故选B．
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）b＜2a；（2）a+c﹣b＞0；（3）b＞c＞a；（4）b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】B
【解析】（1）∵二次函数的图象开口向上，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a＞0，c＞0，
由对称轴为x=-b2a，
由图象可知，-1＜-b2a＜0，
∴0＜b＜2a，则结论（1）正确，符合题意；
（2）∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c﹣b＜0，则结论（2）错误，不符合题意；
（3）∵b＜2a，
∴﹣b＞﹣2a，
∴a+c﹣b＞a+c﹣2a＝c﹣a，
∵a+c﹣b＜0，
∴c﹣a＜0，即c＜a，则结论（3）错误，不符合题意；
（4）由二次函数与一元二次方程的联系得，关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴2ac＜12b2，
∵b＜2a，b＞0，
∴32b2＜3ab，
又∵32b2=b2+12b2＞b2+2ac，
∴b2+2ac＜32b2＜3ab，
即b2+2ac＜3ab，则结论（4）正确，符合题意，
综上，正确结论的个数是2个
故选B．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】B
【解析】∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则-b2a=1，b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误；
当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确；
由 2a+b＝0，得 a=-b2，代入a﹣b+c＜0得-3b2+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．
综上，正确的选项有：①②④．
所以正确结论的个数是3个．
故选B．
6．一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解答】A
【解析】根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选A．
7．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（ ）
A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
【解答】A
【解析】A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，故该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故A正确，符合题意；
B．函数的对称轴为x=-b2a=-4-4=1，故当x＞1时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意；
C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝﹣2x2+4x+m2+2m＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故C错误，不符合题意；
D．函数的对称轴为x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，故顶点的纵坐标最小值为1，故D错误，不符合题意．
故选A．
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（ ）
A．19＜m≤14B．19≤m＜14C．0＜m＜14D．0＜m≤19
【解答】A
【解析】如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，对称轴x＝1，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m=14，
当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=19，
∴m的取值范围为19＜m≤14．
故选A．
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在B（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．9a+3b+c＝0B．4b﹣3c＞0C．4ac﹣b2＜﹣4aD．13＜a＜56
【解答】D
【解析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
有-b2a=1，即2a+b＝0，
图象过点（3，0），因此，9a+3b+c＝0，故选项A不符合题意；
图象过点（﹣1，0），故有a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，
∴4b﹣3c＝b+3a＝﹣2a+3a＝a＞0，因此选项B不符合题意，
由于﹣2＜c＜﹣1，对称轴为x＝1，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即4ac-b24a＜-1，就是4ac﹣b2＜﹣4a，故选项C不符合题意；
由﹣2＜c＜﹣1，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可得，﹣2＜﹣3a＜﹣1，所以13＜a＜23，故选项D符合题意；
故选D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）给出下列结论：①2a+c＜0；②若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=-1a时，△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】D
【解析】①∵b2a＜12，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误；
②若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；
③∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故③错误；
④设抛物线的对称轴交x轴于H．连接PA，PB
∵4ac-b24a=-1a，
∴b2﹣4ac＝4，
∴x=-b±22a，
∴|x1﹣x2|=2a，
∴AB＝2PH，
∵BH＝AH，
∴PH＝BH＝AH，
∴△PAB是直角三角形，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．
故选D．
11．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤3B．﹣1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤4
【解答】C
【解析】函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x＝a时，函数的最小值＝5﹣a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，
则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥2，
∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最大值为：6﹣2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，
只需最大值与最小值的差小于等于4即可，
∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，
a2﹣2a﹣3≤0，
解得﹣1≤a≤3，而a≥2，
故选C．
12．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3B．﹣3＜c＜﹣2C．﹣2＜c＜14D．c＞-14
【解答】C
【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
联立①②并解得：﹣2＜c＜14；
故选C．
13．已知二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，对称轴位于y轴左侧，则当关于a，b的代数式（a﹣6）2+b2有最小值时，该二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）
【解答】C
【解析】∵二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，
∴△＝b2﹣4（a﹣3）≥0，
∵对称轴位于y轴左侧，
∴b＜0；
（a﹣6）2+b2≥（a﹣6）2+4（a﹣3），当b2＝4（a﹣3）时，等号成立；
（a﹣6）2+4（a﹣3）＝（a﹣4）2+8≥8，
代数式取得最小值时，a＝4，此时b2＝4（4﹣1）＝4，解得：b＝±2（舍去正值），
故a＝4，b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
故抛物线的顶点为（﹣1，0），
故选C．
14．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．给出下列4个结论：①不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；②不论m为何值，该抛物线与y轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点P，满足S△PAB＝n的点有3个时，则n=18；④若0＜x＜12时y＜0，则-12＜m＜0；其中，正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】B
【解析】y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，故①正确，
令y＝0，解得x＝m或m+1，
∴A（m，0），B（m+1，0），
∵m＜0时，点A在x轴的负半轴上，故②错误，
∵y＝（x﹣m-12）2-14，
∴顶点的纵坐标为-14，
∵抛物线上有一个动点P，满足S△PAB＝n的点有3个时，
∴点P是抛物线的顶点时满足条件，此时n=12×1×14=18，故③正确，
∵0＜x＜12时y＜0，A（m，0），B（m+1，0），
∴-12≤m≤0，故④错误，
故选B．
二．填空题
15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后滑行 米停下．
【解答】1920．
【解析】由题意，s＝﹣1.2t2+96t＝﹣1.2（t﹣40）2+1920，
即当t＝40秒时，飞机着陆后滑行1920米停下．
故答案为1920．
16．二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是 ．
【解答】﹣2．
【解析】∵y＝﹣（x+1）2﹣2中﹣1＜0，
∴函数的图象开口向下，函数有最大值，
当x＝﹣1时，函数的最大值是﹣2，
故答案为﹣2．
17．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝ ．
【解答】10．
【解析】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为10．
18．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
【解答】s≥9．
【解析】由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为s≥9．
19．已知点A（0，2）与点B（2，4）的坐标，抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，则a的取值范围是 ．
【解答】19≤a≤3．
【解析】∵抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+1＝a（x﹣3）2+1，如图，
∴顶点坐标为（3，1），对称轴为x＝3，
当抛物线过点A时，即2＝9a+1，解得，a=19，
当抛物线过点B时，即4＝a+1，解得，a＝3，
又∵抛物线当|a|越大，开口越小，
∴a的取值范围为19≤a≤3，
故答案为19≤a≤3．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为 ．
【解答】k=72
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h=2c+22=c+1，
∴2=-32[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k=72．
21．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为 ．
【解答】1或4．
【解答】关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
设y′′＝3，
当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，
即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，
而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4
故答案为1或4．
22．若整数a使关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a+3）x+a+2的图象在x轴的下方，且使关于x的分式方程2+19x+3=1+2ax3+x有负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【解答】﹣16．
【解析】由题意得：a﹣1＜0且△＝（﹣2a﹣3）2﹣4（a﹣1）（a+2）＜0，
解得a＜-178；
解分式方程2+19x+3=1+2ax3+x得，x=12a-1，
∵x＜0且x≠﹣3，即12a-1＜0且12a-1≠-3
解得：a＜1且a≠﹣3，
故a＜-178且a≠﹣3，
a＝﹣5或﹣11时，x=12a-1有负整数解，
故所有满足条件的整数a的和为﹣16．
故答案为﹣16．
23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝
【解答】﹣8
【解析】函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，
由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0），
则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6
即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2，
当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，
故答案为﹣8．
24．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，若点P为该抛物线的顶点，则使△PAB面积最小时抛物线的解析式为 ．
【解答】y＝x2﹣4x+3
【解析】由题意知4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+mx+n上，
∴a+b＝﹣m，ab＝n，
又∵|AB|＝|a﹣b|＝x2+mx+n经过（2，﹣1），代入得，n＝﹣2m﹣5，
∴|AB|=m2+8m+20，P点纵坐标为-14m2﹣2m﹣5，
S△PAB=18(m2+8m+20)3=18[(m+4)2+4]3，
所以，当m＝﹣4时，S△PAB最小，
此时，该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3．
故答案为y＝x2﹣4x+3．
25．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 ．
【解答】-12≤a＜0或0＜a≤12
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x=12a，
当a＜0时，抛物线开口向下，且x=12a＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当12a≤-1时符合题意，此时-12≤a＜0，
当﹣1＜12a＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x=12a＞0，
画图可知，当12a≥1时符合题意，此时0＜a≤12，
当0＜12a＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是-12≤a＜0或0＜a≤12，
故答案为-12≤a＜0或0＜a≤12．
三．解答题
26．学校计划购买一批钢笔和笔记本，用以奖励优秀学生，获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本；已知购买2支钢笔和3本笔记本共38元，购买4支钢笔和5本笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元，笔记本按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过50人，当这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
【解答】（1）钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元；（2）这次奖励学生一等奖为50人时，购买奖品总额最少，最少为700元．
【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元，根据题意，得2x+3y=384x+5y=70，
解这个方程组，得x=10y=6，
所以钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元；
（2）这次奖励一等奖的学生为a人，购买奖品总余额为w元，
则w＝a[10﹣0.1（a﹣30）]+6（100﹣a）＝﹣0.1a2+7a+600＝﹣0.1（a﹣35）2+722.5，
∵30≤a≤50
∴a＝50时w＝﹣0.1×（50﹣35）2+722.5＝700（元）最少，
所以这次奖励学生一等奖为50人时，购买奖品总额最少，最少为700元．
27．饮料厂生产某品牌的饮料成本是每瓶5元，每天的生产量不超过9000瓶．根据市场调查，以单价8元批发给经销商，经销商每天愿意经销5000瓶，并且表示单价每降价0.1元，经销商每天愿意多经销500瓶．
（1）求出饮料厂每天的利润y（元）与批发单价x（元）之间的函数关系式；
（2）批发单价定为多少元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是多少元？
（3）如果该饮料厂要使每天的利润不低于18750元，且每天的总成本不超过42500元，那么批发单价应控制在什么范围？（每天的总成本＝每瓶的成本×每天的经销量）
【解答】（1）y＝﹣5000x2+70000x﹣225000；（2）当批发单价为7.2元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是19800元．（3）批发单价应控制在7.3元到7.5元之间．
【解析】（1）根据题意，得：y=(x-5)(5000+8-x0.1×500)=-5000x2+70000x﹣225000＝﹣5000（x﹣7）2+20000，
答：y与x的函数关系式为y＝﹣5000x2+70000x﹣225000；
（2）由题意，得5000+8-x0.1×500≤9000，
解得x≥7.2，
∵a＝﹣5000＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝7，
∵x≥7.2，
∴此时函数图象在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝7.2（元）时，y取得最大值，ymax＝19800（元）；
答：当批发单价为7.2元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是19800元；
（3）根据题意得﹣5000x2+70000x﹣225000＝18750，
解得：x1＝6.5，x2＝7.5，
∵抛物线开口向下，
∴当6.5≤x≤7.5时，每天的利润不低于18700元，
∵每天的总成本不超过42500元，
∴5(5000+8-x0.1×500)≤42500，
解得x≥7.3，
∴7.3≤x≤7.5，
答：批发单价应控制在7.3元到7.5元之间．
28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）△AMC的周长最小值为10+32，点M（2，﹣1）；（3）存在，m＝5或m＝4或m=3+2或3-2．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：0=a+b-30=9a+3b-3，
解得a=-1b=4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，
又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴BC=CO2+OB2=32，同理AC=10，
∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC=10+32；
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；
（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（﹣m2+4m﹣3）2，CF2＝（m2﹣3m）2，GC2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3±2；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5，
综上，m＝5或m＝4或m=3+2或3-2．
29．某地摊上的一种玩具，已知其进价为50元/个，试销阶段发现将售价定为80元/个时，每天可销售20个，后来为了扩大销售量，适当降低了售价，销售量y（个）与降价x（元）的关系如图所示．
（1）求销量y与降价x之间的关系式；
（2）该玩具每个降价多少元，可以恰好获得750元的利润？
（3）若要使得平均每天销售这种玩具的利润W最大，则每个玩具应该降价多少元？最大的利润W为多少元？
【解答】（1）y＝2x+20；（2）玩具每个降价5元或15元，可以恰好获得750元的利润；（3）每个玩具应该降价10元时，W的最大值为800元．
【解析】（1）设销量y与降价x之间的关系式y＝kx+b，
将点（2，24）、（4，28）代入上式得24=2k+b28=4k+b，解得k=2b=20，
故销量y与降价x之间的关系式y＝2x+20；
（2）由题意得：（80﹣x﹣50）（2x+20）＝750，
解得x＝5或15（元），
故该玩具每个降价5元或15元，可以恰好获得750元的利润；
（3）由题意得：W＝（80﹣x﹣50）（2x+20）＝﹣2（x﹣10）2+800，
∵﹣2＜0，
故当x＝10（元）时，W的最大值为800（元）．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
【解答】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值为132；（3）①存在，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，-139）；②-23＜t＜1或2＜t＜83．
【解析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），
C（0，3）代入得-p+q=0q=3，解得p=3q=3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），
∵DF∥AC，
∴∠DFG＝∠ACO，
而抛物线对称轴为x＝1，
∴DG＝x﹣1，DF=10（x﹣1），
∴DE+DF＝﹣x2+2x+3+10（x﹣1）＝﹣x2+（2+10）x+3-10=-（x-2+102）2+132，
∵﹣1＜0，
∴当x=2+102，DE+DF有最大值为132；
（3）①存在；
如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
则直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为13，
∴直线P1C的解析式可设为y=-13x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线P1C的解析式为y=-13x+3，解方程组y=-x2+2x+3y=-13x+3，
解得x=0y=3或x=73y=209，
则此时P1点坐标为（73，209）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P2，
同理可设直线AP2的解析式可设为y=-13x+n，
把A（﹣1，0）代入上式并解得n=-13，
∴直线PC的解析式为y=-13x-13，
解方程组y=-x2+2x+3y=-13x-13，解得x=-1y=0或x=103y=-139，
则此时P2点坐标为（103，-139），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，-139）；
②答：-23＜t＜1或2＜t＜83．
如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵CQ1⊥AC，
∴直线CQ1解析式为y=-13x+3，
令x＝1，得y=-13×1+3=83，
∴Q1（1，83）；
∵AQ2⊥AC，
∴直线AQ2解析式为y═-13x-13，令x＝1，得y=-13×1-13=-23，
∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，
∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（10）2，解得：t1＝1，t2＝2，
∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，
∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），
∴-23＜t＜1或2＜t＜83．
31．如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；
（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；（2）点M坐标为（32，-154），△MNP的周长的最大值为92+924；（3）点Q坐标为（﹣1，5）或（2，﹣4）．
【解析】（1）∵点A在x轴的正半轴，且OA＝4，
∴点A（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（3，﹣3），
∴0=16a+4b-3=9a+3b，
解得a=1b=-4，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；
（2）∵点B（3，﹣3），
∴直线OB解析式为y＝﹣x，
设点M（m，m2﹣4m），
∴点N（m，﹣m），K（m，0），
∴OK＝KN，
∴∠KON＝∠KNO＝45°，
∵MP∥x轴，
∴∠MPN＝∠KON＝45°，
∴∠MPN＝∠KNO＝∠MNP＝45°，
∴MP＝MN，
∴NP=2MN，
∵△MNP的周长＝MN+MP+NP＝2MN+2MN＝2（4m﹣m2﹣m）+2（4m﹣m2﹣m）＝（2+2）（3m﹣m2）＝﹣（2+2）[（m-32）2-94]，
∴当m=32时，△MNP的周长的最大值为92+924，
此时点M坐标为（32，-154）；
（3）存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，
理由如下：
如图（2），在线段CB上截取CE=23，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，
∵S△OCE=12×CE×OD=12×23×3＝1，且OC∥QE，
∴S△OCQ＝1，
∵BD⊥y轴，
∴OD＝3，点C纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝x2﹣4x，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点C（1，﹣3），
∴CD＝1，
∴S△OCD=12×1×3=32，
∴S△OCD：S△OCQ＝3：2，
∵点O（0，0），点C（1，﹣3），
∴直线OC解析式为：y＝﹣3x，
∵CE=23，
∴点E（53，﹣3），
∵OC∥EQ，
∴设EQ的解析式为：y＝﹣3x+b，
∴﹣3＝﹣3×53+b，
∴b＝2，
∴EQ的解析式为：y＝﹣3x+2，
联立方程组可得y=-3x+2y=x 2-4x，
∴x 1=-1y 1=5，x 2=2y 2=-4，
∴点Q坐标为（﹣1，5）或（2，﹣4）．
32．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．
【解答】（1）y=-23x2+23x+4；（2）-(t-32)2+494，P点的坐标为（32，72）；（3）点E的坐标为（1，114）或（1，2+3）或（1，2-3）或（1，72+3）或（1，72-3）．
【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a=-23，
∴抛物线的解析式为：y=-23(x+2)(x-3)，
即y=-23x2+23x+4；
（2）设P点的坐标为（t，-23t2+23t+4），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
3k+b=0b=4，
解得k=-43b=4，
∴直线BC的解析式为：y=-43x+4，
∴M（t，-43t+4），
∴PM=-23t2+2t，
∴S△BPC=12PM⋅OB=12(-23t2+2t)×3=-t2+3t，
S△AOC=12AO⋅OC=12×2×4=4，
S△BOC=12OB⋅OC=12×3×4=6，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC=-t2+3t+10=-(t-32)2+494，
∴当t=32时，S四边形ABPC取最大值，
∴此时P点的坐标为（32，72）；
（3）∵将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，
∴y′的解析式为y=-32(x-12)2+32(x-12)+4-2，即y=-32x2+3x+78，
∴抛物线y′的对称轴为x＝1，
∵抛物线y=-32x2+32x+4=-32(x-12)2+358，
∴抛物线y=-23x2+23x+4的对称轴为直线x=12，
把x=12代入y=-32x2+3x+78中，得y＝2，
∴Q点的坐标为（12，2），
设E的坐标为（1，n）
①当PE＝QE时，则PE2＝QE2，
即(32-1)2+(72-n)2=(1-12)2+(n-2)2，
解得，n=114，
∴E（1，114），
②当PQ＝QE时，则PQ2＝QE2，
即(32-12)2+(72-2)2=(1-12)2+(n-2)2，
解得，n＝2±3，
∴E点的坐标为（1，2+3）或（1，2-3）；
③当PQ＝PE时，则PQ2＝PE2，
即(32-12)2+(72-2)2=(32-1)2+(72-n)2，
解得，n=72±3，
∴点E的坐标为（1，72+3）或（1，72-3）．
综上，当△PQE是等腰三角形时，点E的坐标为（1，114）或（1，2+3）或（1，2-3）或（1，72+3）或（1，72-3）．
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