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数学九年级下册6.2 黄金分割精品课后测评
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这是一份数学九年级下册6.2 黄金分割精品课后测评，文件包含62黄金分割-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版原卷版docx、62黄金分割-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；
3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；
4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.
例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．
【解答】2﹣2或6﹣2．
【解析】①当AC＞BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝AB＝2﹣2；
②当AC＜BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴BC＝AB＝2﹣2，
∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2；
综上所述，线段AC的长为2﹣2或6﹣2；
故答案为2﹣2或6﹣2．
巩固练习
一．选择题
1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）
A．55-5B．5-5C．55-1D．5-12
2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A．5-12B．5+12C．3-52D．3+52
3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45B．35-5C．5-252D．20﹣85
4．黄金分割数5-12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算2（5-1）的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）
A．5-12B．5-1C．3-5D．3-52
6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（ ）
A．5-1B．5-12C．3-5D．25-4
7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）
A．x2﹣9x+9＝0B．x2﹣3x+9＝0C．x2+9x﹣9＝0D．x2﹣6x+9＝0
8．已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（ ）
A．5-12B．3-52C．5+12D．3+52
9．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（ ）
A．5-12B．3-12C．5-1D．3-1
10．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）
A．PBAP=5+12B．APPB=5-12C．PBAB=5-12D．APAB=5-12
11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）
以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b-ac-a=c-ab-c，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（ ）
A．12B．54C．5+12D．5-12
12．下列说法：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；
②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；
③若最简二次根式x2+x与4-2x是同类二次根式，则x＝﹣4或1；
④数4和9的比例中项是6；
⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝55-5．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题
13．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12（5-12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）
14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．
16．点P在线段AB上，且BPAP=APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．
17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．
18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．
19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．
20．如图，以边长为45+4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是 ．
21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．
三．解答题
22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比5-12．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
23．如果一个矩形的宽与长的比值为5-12，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．
24．（1）已知ab=35，求a+bb的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB 的长．
25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．
26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（5+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB，使雕像的上部AC（腰点C以上）与下部（腰点C以下）的高度之比等于下部BC与全部AB（身高）的高度之比，雕像的下部BC的长应设计为多少米？
28．如图1，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．
（1）设AC＝2，
①求AB的长；
填空：设AB＝x，则BC＝2﹣x
∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，
∴ ，可列方程为 ，
解得方程的根为 ，于是，AB的长为 ．
②在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，
①求证：（t+m）2＝m2+n2；
②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．
1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；
3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；
4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.
例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．
【解答】2﹣2或6﹣2．
【解析】①当AC＞BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝AB＝2﹣2；
②当AC＜BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴BC＝AB＝2﹣2，
∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2；
综上所述，线段AC的长为2﹣2或6﹣2；
故答案为2﹣2或6﹣2．
巩固练习
一．选择题
1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）
A．55-5B．5-5C．55-1D．5-12
2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A．5-12B．5+12C．3-52D．3+52
3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45B．35-5C．5-252D．20﹣85
4．黄金分割数5-12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算2（5-1）的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）
A．5-12B．5-1C．3-5D．3-52
6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（ ）
A．5-1B．5-12C．3-5D．25-4
7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）
A．x2﹣9x+9＝0B．x2﹣3x+9＝0C．x2+9x﹣9＝0D．x2﹣6x+9＝0
8．已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（ ）
A．5-12B．3-52C．5+12D．3+52
9．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（ ）
A．5-12B．3-12C．5-1D．3-1
10．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）
A．PBAP=5+12B．APPB=5-12C．PBAB=5-12D．APAB=5-12
11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）
以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b-ac-a=c-ab-c，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（ ）
A．12B．54C．5+12D．5-12
12．下列说法：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；
②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；
③若最简二次根式x2+x与4-2x是同类二次根式，则x＝﹣4或1；
④数4和9的比例中项是6；
⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝55-5．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题
13．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12（5-12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）
14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．
16．点P在线段AB上，且BPAP=APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．
17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．
18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．
19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．
20．如图，以边长为45+4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是 ．
21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．
三．解答题
22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比5-12．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
23．如果一个矩形的宽与长的比值为5-12，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．
24．（1）已知ab=35，求a+bb的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB 的长．
25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．
26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（5+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB，使雕像的上部AC（腰点C以上）与下部（腰点C以下）的高度之比等于下部BC与全部AB（身高）的高度之比，雕像的下部BC的长应设计为多少米？
28．如图1，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．
（1）设AC＝2，
①求AB的长；
填空：设AB＝x，则BC＝2﹣x
∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，
∴ ，可列方程为 ，
解得方程的根为 ，于是，AB的长为 ．
②在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，
①求证：（t+m）2＝m2+n2；
②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．
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