人教A版高中数学(必修第二册)同步培优讲义专题6.11 解三角形（重难点题型精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题6.11 解三角形（重难点题型精讲）1．余弦定理(1)余弦定理及其推论的表示(2)对余弦定理的理解①余弦定理对任意的三角形都成立.②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.④余弦定理的另一种常见变式： SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =2bc SKIPIF 1 < 0 A， SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =2ac SKIPIF 1 < 0 B， SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =2ab SKIPIF 1 < 0 C. 2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 . (2)正弦定理的常见变形在△ABC中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =k(k>0)，则a=k SKIPIF 1 < 0 A，b=k SKIPIF 1 < 0 B，c=k SKIPIF 1 < 0 C，由此可得正弦定理的下列变形： ① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，a SKIPIF 1 < 0 B=b SKIPIF 1 < 0 A，a SKIPIF 1 < 0 C=c SKIPIF 1 < 0 A，b SKIPIF 1 < 0 C=c SKIPIF 1 < 0 B；② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；③a:b:c= SKIPIF 1 < 0 A: SKIPIF 1 < 0 B: SKIPIF 1 < 0 C； ④ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =2R，（R为△ABC外接圆的半径）.(3)三角形的边角关系由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用公式 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 反映了三角形的边角关系.由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.4．测量问题(1)测量距离问题的基本类型和解决方案当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：(2)测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：(3)测量角度问题测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.5．对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：①若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 >1，则满足条件的三角形的个数为0；②若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 =1，则满足条件的三角形的个数为1；③若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0< SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 <1可得B有两个值，一个大于 SKIPIF 1 < 0 ，一个小于 SKIPIF 1 < 0 ，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于 SKIPIF 1 < 0 ”等，此时需进行讨论.(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：6．三角形的面积公式(1)常用的三角形的面积计算公式① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 c SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  ( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为边a,b,c上的高).②将 SKIPIF 1 < 0 =b SKIPIF 1 < 0 C， SKIPIF 1 < 0 =c SKIPIF 1 < 0 A， SKIPIF 1 < 0 =a SKIPIF 1 < 0 B代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ab SKIPIF 1 < 0 C= SKIPIF 1 < 0 bc SKIPIF 1 < 0 A= SKIPIF 1 < 0 ac SKIPIF 1 < 0 B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.(2)三角形的其他面积公式① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 r(a+b+c)=  SKIPIF 1 < 0 rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .【题型1 三角形的解的个数问题】【方法点拨】方法一：从代数的角度分析，利用正弦定理进行分析；方法二：从几何的角度分析，结合几何图形进行分析求解.【例1】（2022秋·陕西宝鸡·高二期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（    ）A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定【解题思路】根据，即可得到答案.【解答过程】因为，如图所示：所以，即，所以三角形解的情况为二个解.故选：B.【变式1-1】（2022·高一课时练习）在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ）A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不能确定【解题思路】根据正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.【解答过程】由正弦定理，得，得，因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.故选：C.【变式1-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三阶段练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ）A．B．C．D．【解题思路】结合已知条件和正弦定理即可求解.【解答过程】对于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.【变式1-3】（2022秋·陕西咸阳·高二阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（    ）A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定【解题思路】利用正弦定理结合已知条件分析判断即可.【解答过程】由正弦定理，得，解得.因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解，故选：C.【题型2 利用正弦定理解三角形】【方法点拨】事实上，所谓解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解三角形时，(1)由三角形内角和定理A+B+C= SKIPIF 1 < 0 ，可以计算出三角形的第三个角；(2)由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，可计算出三角形的另两边.【例2】（2022春·河北唐山·高一阶段练习）在中，，，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】利用正弦定理即可求解.【解答过程】由，得.故选：B.【变式2-1】（2022春·广西贵港·高一期中）记的内角的对边分别为，若，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据正弦定理可求出结果.【解答过程】由正弦定理，得.故选：B.【变式2-2】（2022秋·甘肃定西·高二开学考试）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（    ）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2【解题思路】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角形的内角和为运算求解.【解答过程】∵：：：2：3，且，∴，，，则，故故选：【变式2-3】（2022秋·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（    ）A． B． C． D．【解题思路】利用三角函数基本关系式求出，再根据正弦定理即可得解.【解答过程】因为，所以，因为，所以，所以外接圆的半径为.故选：A.【题型3 利用余弦定理解三角形】【方法点拨】根据具体题目，利用余弦定理或其推论，进行转化求解即可.【例3】（2022春·山东聊城·高一期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（    ）A． B． C． D．【解题思路】由，设,利用余弦定理求解.【解答过程】解：在中，，设,由余弦定理得，因为，所以，故选：B.【变式3-1】（2022春·浙江丽水·高一阶段练习）在中，，则的最小角为 （　　）A． B． C． D．【解题思路】由已知，根据条件给出的三边确定的最小角为，直接利用余弦定理计算，即可完成求解.【解答过程】由已知，在中，，因为，所以的最小角为，所以，又因为，所以.故选：C.【变式3-2】（2022秋·陕西西安·高二期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则（    ）A． B． C．或 D．【解题思路】根据正弦值，分别在和的情况下，利用余弦定理求得结果.【解答过程】，，或；当时，，解得：；当时，，解得：.综上所述：或.故选：C.【变式3-3】（2022秋·河南·高三阶段练习）在中，，点在边上，且，则的长是（    ）A． B． C． D．【解题思路】先利用余弦定理求出，设，，在分别利用余弦定理列方程，解方程组可求出，从而可求得结果.【解答过程】由余弦定理知，所以，在中，设，则.设，则.由余弦定理，即①，，即②，由①②解得，即.故选：C.【题型4 三角形的面积问题】【方法点拨】根据具体条件，结合三角形面积公式，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·陕西·高三阶段练习）已知的内角所对的边分别为，则的面积为（    ）A． B． C．27 D．36【解题思路】根据余弦定理求出，再根据求出，再根据面积公式求解.【解答过程】由余弦定理得：即即，即所以，又因为，所以所以的面积为故选：C.【变式4-1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（    ）A． B．C． D．【解题思路】根据题意和正弦定理可得，进而，利用诱导公式可得，结合三角形的面积公式计算即可求解.【解答过程】，由正弦定理，得，又，所以，所以，则，所以，所以的面积为.故选：A.【变式4-2】（2022秋·甘肃武威·高三阶段练习）已知中，､､分别是角､､所对的边，已知，若，，则的面积等于（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据条件求出，结合余弦定理求出，的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可.【解答过程】，可得：，即，､均为三角形的边，，，即，，，由余弦定理： ，得： 再将代入式可得：，得，，又由，可得，所以，三角形的面积是：.故选：D.【变式4-3】（2023秋·江苏苏州·高三阶段练习）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，则△ABC的面积的最大值为（    ）A．3 B． C．9 D．【解题思路】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到，画出图形，作出辅助线，设，得到，利用基本不等式求出三角形面积的最大值.【解答过程】法一：由正弦定理得：，；法二：由正弦定理得：，所以故，如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，设，则，由勾股定理得：，所以，当且仅当时，等号成立，故选：A.【题型5 正、余弦定理在几何图形中的应用】【方法点拨】正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.【例5】（2023秋·北京东城·高三期末）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.(1)求；(2)求的周长.【解题思路】（1）在中，利用正弦定理即可求解；（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求的周长.【解答过程】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故，因为是锐角三角形，所以 .（2）由（1）得，所以.在中，，，，所以.所以的周长为.【变式5-1】（2022秋·陕西渭南·高二期末）在中，角的对边分别为，已知，，.(1)求的值；(2)求的值及的面积.【解题思路】(1)直接利用余弦定理计算即可；(2)由题意可知，利用正弦定理求的值即可；根据求解即可.【解答过程】（1）∵，，，∴由余弦定理，得，解得；（2）在中，∵，∴，∵，∴，∴.【变式5-2】（2022秋·广东揭阳·高二期末）在 中，，，分别为角、、的对边，．(1)求 ；(2)若角 的平分线交于， 且，， 求．【解题思路】（1）利用正弦定理进行边角互换得到，然后根据正弦的和差公式得到，再进行边角互换得到，最后利用余弦定理求即可；（2）根据角平分线定理得到，然后利用等面积的思路得到，解方程即可得到，，最后利用余弦定理求即可.【解答过程】（1）因为，所以，即，即，所以，因为，所以.（2）因为角 ​的平分线​交​于​， 且，由角平分线定理得：，又，即，所以，即，所以，，由余弦定理得，，所以.【变式5-3】在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围．【解题思路】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.【解答过程】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因为，所以；（2）锐角中，，，由正弦定理得：，故，则，因为锐角中，，则，，解得：，故，，则，故，，所以三角形周长的取值范围是.【题型6 解三角形的实际应用】【方法点拨】正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形与四边形)问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及的术语(如方位角等)构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理即可.【例6】（2022春·江苏镇江·高一期末）某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且.(1)求BE的长度；(2)景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．【解题思路】（1）在中，根据正弦定理，可得BD的长，在中，根据余弦定理，即可得答案.（2）在中，由余弦定理及基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案.【解答过程】（1）在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得或（舍）（2）在中，由余弦定理得，所以，所以，当且仅当时等号成立，此时面积最大值，所以当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为.【变式6-1】（2022·高一课时练习）江西浮梁地大物博，山清水秀；据悉，某建筑公司在浮梁投资建设玻璃栈道､摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃栈道，现需要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工需要，特请昌飞公司派直升机辅助测量，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机测量的数据有在A处观察山顶M，N的俯角为：，在B处观察山顶M，N的俯角为；，飞机飞行的距离AB为，请问：用以上测得的数据能否计算出两山顶间的距离MN，若能，请帮助该建筑公司求出MN，结果精确到，若不能，请说明理由.（参考数据：）【解题思路】由正弦定理求出AM,AN,再由余弦定理求MN即可.【解答过程】由正弦定理得，由正弦定理得，由余弦定理得 .【变式6-2】（2022·高一课时练习）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，(1)求的面积；(2)求塔高．【解题思路】(1)利用正弦定理求出线段BC长，再借助三角形面积定理计算即得.(2)在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义计算作答.【解答过程】（1）在中，因，则，，由正弦定理得：，，则，所以的面积是平方米.（2）依题意，平面BCD，而平面 BCD，则有，在中，，由得：，所以塔高是米.【变式6-3】（2022春·河北保定·高一阶段练习）西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，、是邛海水面上位于东西方向相距公里的两个观测点，现位于点北偏东、点西北方向的点有一艘渔船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距公里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为公里/小时.求：(1)观测点与点处的渔船间的距离；(2)点的救援船到达点需要多长时间？【解题思路】（1）求出的三个内角，利用正弦定理可求得的长；（2）利用余弦定理求出，结合救援船行驶的速度可求得所需时间.【解答过程】(1)解：在中，，，则，所以，，由正弦定理，所以，（公里）.(2)解：在中，，，，由余弦定理可得，因此，救援船所需时间为（小时）.