高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品课堂检测

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1．（3分）（2022·全国·高一专题练习）以，，，为顶点的四边形的形状是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
【解题思路】利用向量的坐标表示可得，再结合向量垂直及模长相等即得.
【解答过程】∵，，，，
∴，
∴，即四边形为平行四边形，又，
∴，即AB⊥BC，
则四边形为矩形，又
则四边形为正方形.
故选：D.
2．（3分）（2022春·宁夏银川·高一期中）在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
【解题思路】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状.
【解答过程】由，可得，即，则四边形为平行四边形；
又由，可得，则平行四边形四边形为菱形
故选：D.
3．（3分）（2021春·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7B．C．D．1
【解题思路】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.
【解答过程】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，
即
即,
解得，
故选：D.
4．（3分）（2022春·辽宁锦州·高一期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用向量数量积去求长度即可.
【解答过程】中，点D在边上且，
则，
又，，，
则
，即长度为，
故选：D.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.
【解答过程】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，
设，
因为、、三点共线，所以，，，
因为，、、三点共线，所以，
联立，解得，，，
因为，，所以，，
因为，
所以，
故选：A.
6．（3分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知可得为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得最值.
【解答过程】由，，
为等腰直角三角形，
以为原点，，为轴和轴建立直角坐标系，
如图所示，
，，，
是的中点，，
是线段上任意一点，
可设，，
，，，
，
，
故当时，的最小值为，
故选：C．
7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知四边形是矩形，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】方法一：根据题意，建立平面直角坐标系，设，进而利用坐标法求解即可；
解法二：用为基底表示向量，，再根据得得，，再根据计算得，进而得答案.
【解答过程】解：解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，.
∴，，，.
∴，.
∴，.
∵，
∴，即.
又，
所以，.
∴.
∴.
∵，∴.
故选：C.
解法二：∵，
，
∴ .
∵，∴，得.∴，
.
∴ .
故选：C.
8．（3分）（2022春·北京海淀·高一阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
【解题思路】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【解答过程】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，
因为，
所以，设，则，则，，
则，即，解得：或（舍去），
则，，
，A说法正确；
若为线段的中点，则，
所以，
则，解得：，则，B说法正确；
设，
则，
故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；
，则，
因为，则，所以，
解得：，，
所以的最大值比最小值大，D说法正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·广东佛山·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为时，
D．当时，
【解题思路】根据向量的加法法则作图可判断AB；根据题意分析与的合力大小可判断C；由与共线时合力取得最值可判断D.
【解答过程】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确；
B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误；
C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确；
D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，
即，故D正确.
故选：ACD.
10．（4分）（2022秋·广东佛山·高二期中）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据点，，，，得到的坐标，然后逐项判断.
【解答过程】因为点，，，，
所以，
因为 ，所以，故正确；
因为 ，所以，故正确；
因为，所以，故错误；
因为，所以不成立，故错误.
故选：AB.
11．（4分）（2022·全国·高一专题练习）在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若F为AE的中点，则
C．若，，，则
D．若，且，则
【解题思路】取的中点，则也是的中点，根据向量的加法运算即可判断A；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断C；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D.
【解答过程】解：对于A，取的中点，则也是的中点，
则有，所以，故A正确；
对于B，若F为AE的中点，则，故B错误；
对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以，，，故C正确；
对于D，由A选项得，，
由，因为，
所以，即，
因为，所以，平分，
在中，，所以，
所以为等边三角形，所以，故选：D.
故选：ACD.
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为0B．的最小值为
C．的最大值为1D．的最小值为0
【解题思路】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，，设，则，求出，利用的范围可判断A；
求出、的坐标，由，利用的范围可判断B；设，可得，求出、，由 ，利用 、、，的范围可判断CD.
【解答过程】
以为原点建立如图所示的直角坐标系，所以，，
设，则，，
，所以，
因为，所以，所以，
所以，的最小值为，故A错误；
，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，，
的最小值为，故B正确；
设，又，所以，可得，
，，
所以
，其中，
又，所以，所以，，
，，所以，
的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春·贵州·高二期末）如图，作用于同一点O的三个力 ， ， 处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 1 .
【解题思路】利用共点力的平衡条件，得到，移项，解出即可.
【解答过程】三个力处于平衡状态，，即，
则
，
故答案为：1.
14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 .
【解题思路】作，交于点，可知；利用向量线性运算可得到，根据，由向量数量积的定义和运算律可求解得到.
【解答过程】作，交于点，则，
，则；
，，
又，，，
，
，
故答案为：.
15．（4分）（2022·高二课时练习）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为 .
【解题思路】依次算出、、，然后可得答案.
【解答过程】由已知，，，，得，
又由得，
因为，
所以，
所以，
故答案为：.
16．（4分）（2022秋·天津·高三阶段练习）如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是 .
【解题思路】本题采用建系法，设，利用向量共线得到，再写出，，从而得到方程，解出即可求出坐标为，再设，，写出，，则的函数表达式，利用函数单调性即可求出最值.
【解答过程】以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系，
设，，，
设，，，
，，，
，，，
，，
，即，解得，
，因为为中点，，
设，，，,
,
所以当时，即，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD中，=，N，M是AD，BC上的点，且=.求证：=.
【解题思路】可得四边形是平行四边形，同理可证，四边形是平行四边形，即可得证.
【解答过程】因为=，所以||=||且AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形.所以||=||且DA∥CB.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以||=||，所以||=||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同，
所以=.
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
【解题思路】设=，=，=，=，=，根据向量加法得=+，=+，
计算2﹣2结合条件可得·=·，即可证明.
【解答过程】设=，=，=，=，=，
则=+，=+，
所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，
由条件知：2=2﹣2+2，
所以·=·，即·(-)=0，
即，
所以AD⊥BC.
19．（8分）（2022·全国·高一专题练习）如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度的大小为 ，设和的夹角为，北岸在A的正北方向．
(1)当时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需航行多长时间？
【解题思路】(1)时，游船水平方向的速度大小为然后确定方向即可．
(2)若游船能到处，则有，求出，然后求出时间即可；
【解答过程】(1)
时，游船水平方向的速度大小为=1 ，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在点的左侧；
(2)
若游船能到处，则有，
则有，
此时游船垂直江岸方向的速度 ，
时间 h.
20．（8分）（2022秋·广东广州·高三阶段练习）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
【解题思路】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果；
（2）根据夹角公式可求出结果.
【解答过程】（1）
设，，
则．
．故．
（2）
因为
．
所以.
21．（8分）（2022春·浙江台州·高一期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求的取值范围．
【解题思路】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得；
(2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；
(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围．
【解答过程】(1)
在直角梯形中，易得，，
∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，
故；
(2)
，
当时，，
设，，
则，
，
∵不共线，∴，解得，即；
(3)
∵，，
∴，
＝，
由题意知，，
∴当时，取到最小值＝，
当时，取到最大值，
∴的取值范围是．
22．（8分）（2022春·江苏常州·高一阶段练习）在中，满足：，M是的中点.
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：
（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.
【解题思路】（1）利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量与向量的夹角的余弦值；
（2）通过解三角形求出的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而，利用向量的数量积公式将表示成关于的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值；
（3）设，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于的三角函数，将平方转化为关于的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．
【解答过程】解：（1）设向量，与向量的夹角为
，
令，.
（2），，
设，则，而，
，
当且仅当时，的最小值是.
（3）设，
，，，
，
同理：，
，
当且仅当时，
所以.