苏科版八年级数学下册同步精品讲义第17讲分式方程（学生版）

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知识精讲
知识点01 分式方程的概念与解法
1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
【微点拨】
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
【即学即练1】解方程：
(1)； (2)．
知识点02 分式方程的增根与应用
1.解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。
【微点拨】
（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的。根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根。
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的。
2.分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题。
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案。
【即学即练2】已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解；求a的值的．
能力拓展
考法01 分式方程的解法
【典例1】解方程：
(1)； (2)
考法02 分式方程的增根问题
【典例2】阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
分层提分
题组A 基础过关练
1．若关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（）
A．B．C．D．
2．已知是分式方程的解，那么k的值为（）
A．0B．1C．2D．4
3．解分式方程＝1时，去分母后变形为（）
A．x2﹣2＝1B．x2﹣2（x﹣1）＝1
C．x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1）D．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣1）
4．分式方程的解是（）
A．B．C．D．无解
5．解分式方程﹣2时，去分母得（）
A．﹣2+x＝﹣1﹣2（x﹣1）B．2﹣x＝1﹣2（x﹣1）
C．2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣1）D．﹣2+x＝1+2（1﹣x）
6．关于x的方程有增根，则m的值是（）
A．2B．1C．0D．-1
7．中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（）
A．B．
C．D．
8．某工厂计划生产6000个书包，由于更新了机器设备，实际每天生产书包的数量是原计划的三倍，因此提前四天完成任务，设原计划每天生产书包x个，根据题意，所列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
题组B 能力提升练
1．分式方程的解是（）
A．B．C．D．
2．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为（）
A．且B．C．且D．
3．北起张家界，南至怀化，串起张家界、芙蓉镇、古丈、凤凰古城等众多著名风景区，被誉为“湘西最美高铁”的张吉怀高铁于2021年12月6日正式开通运营．线路全长245千米，已知高铁的平均速度是普通列车的3倍，相较于以往普通列车时间上节约3小时，设普通列车的时速是xkm/h，据题意，下列方程正确是（）
A．B．
C．D．﹣＝3
4．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）
A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6
5．下列关于的方程，是分式方程的是（）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是非负整数解，则所有满足条件的整数m的值之积是（）
A．10B．16C．40D．80
7．若分式的值为负数，则x的取值范围是_____．
8．分式方程的解为 _________ ．
9．某校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书．其中《九章算术）和《几何原本》的单价共80元，用640元购进《九章算术》与用960元购进《几何原本》的数量相同．求这两本书的单价．设《九章算术》的单价为x元，依题意，列出方程：_____．
10．若是关于的方程的解，则的值为________．
题组C 培优拔尖练
1．如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于x的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数m的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
2．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（）
A．B．C．且D．且
3．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min｛a，b｝表示a、b中较小的值，如Min｛2，4｝=2，按照这个规定，方程Min｛｝=的解为（）
A．1或3B．1或-3C．1D．3
4．如果关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a之和为（）
A．4B．3C．2D．1
5．已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．20B．18C．17D．15
6．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正数解，且符合条件的所有整数a的和为（）
A．B．C．D．
7．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．
(1)求A、B两种玩具的单价各是多少？
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共260个，已知A、B两种玩具的进价不变．求A种玩具最多能购进多少个？
8．某糕点加工点受资金和原料保质期等因素影响，在购买主要原料面包粉和蛋糕粉时需分次购买．下表是该店最近三次购进原料的数量与总金额，其中前两次是按原价购买，第三次享受了优惠．
(1)第三次购买的总金额比按原价购买节省了多少钱？
(2)该店第四次购买原料时，按照第三次购买的经验，预算912元，仍需购买5袋面包粉和8袋蛋糕粉．在接洽的过程中，发现优惠方式又发生了变化，相较于原价，每袋蛋糕粉降低的价格是每袋面包粉降低的价格的两倍，这时用576元能够买到面包粉的袋数是蛋糕粉袋数的．预算够吗？
9．（1）下面是小颖同学解分式方程＝1的过程．请认真阅读并完成相应的任务．
解：方程两边同乘，得x2＋x﹣12＝x（x﹣3）． ………第一步
去括号，得x2＋x﹣12＝x2﹣3x． ………第二步
移项、合并同类项，得4x＝12. ………第三步
解得x＝3. ………第四步
①第一步中“ ”处应为，这一步的目的是．其依据是；
②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你补全这一步，并说明这一步不能缺少的理由．
（2）新概念运用：运符号“”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：＝1
10．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
(1)理解应用：方程的解为：x1＝，x2＝；
(2)知识迁移：若关于x的方程x+＝5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程＝k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
课程标准
课标解读
1.理解分式方程的概念以及能够解分式方程。
2.能够运用分式方程解决实际问题。
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程。
2. 会列出分式方程解简单的应用问题。
第一次
第二次
第三次
面包粉（袋）
2
3
5
蛋糕粉（袋）
4
5
8
总金额（元）
520
700
912