高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.7 三角函数的应用学案

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1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．
2．我们听到的声音的函数是
y＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x＋…．
3．几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波．
【典例】 (多选)音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是( )
A．函数F(x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x＋…＋1100sin 100x不具有奇偶性
B．函数f (x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x 在区间-π16，π16上单调递增
C．若某声音甲的函数近似为f (x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x，则声音甲的响度一定比纯音h(x)＝12sin 2x的响度大
D．若声音乙的函数近似为g(x)＝sin x＋12sin 2x，则声音乙一定比纯音m(x)＝13sin 3x低沉
BCD [F(－x)＝sin (－x)＋12sin (－2x)＋13sin (－3x)＋14sin (－4x)＋…＋1100sin (－100x)＝－F(x)，
所以F(x)为奇函数，A错误；
当x∈-π16，π16时，2x∈-π8，π8，3x∈-3π16，3π16，4x∈-π4，π4，
故y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin 4x在上均为增函数，
故f (x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x在区间-π16，π16上单调递增，B正确；
h(x)＝12sin 2x的振幅为12，f π2＝1＋0－13＋0＝23，则f (x)max≥23，
所以f (x)的振幅大于h(x)的振幅，故声音甲的响度一定比纯音h(x)的响度大，C正确；
易知g(x)的周期为2π，则其频率为12π，m(x)的周期为2π3，则其频率为32π，由12π<32π，得声音乙比纯音m(x)低沉，D正确．故选BCD．]
1．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图)．已知噪声的声波曲线y＝A cs (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为( )
A．y＝sin xB．y＝cs x
C．y＝－sin xD．y＝－cs x
A [因为噪声的声波曲线y＝A cs (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，则A＝1，周期为2π，则ω＝2πT＝2π2π＝1，初相位为π2，即φ＝π2，
所以噪声的声波曲线的解析式为
y＝cs x+π2＝－sin x，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y＝sin x．故选A．]
2．(源自北师大版教材)已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1＝2sin ωt，I2＝2sin ωt-π4，I3＝4sin ωt+π4，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间．求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅．
[解] 将三个电流瞬时值的函数解析式化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)的形式．
由两角和与差的正弦公式有
I＝I1＋I2＋I3
＝2sin ωt＋2sin ωt-π4＋4sin ωt+π4
＝2sin ωt＋2sinωtcs π4-csωtsin π4＋4sinωtcsπ4+csωtsinπ4
＝42sin ωt＋2cs ωt＝34417sinωt+117csωt
＝34(sin ωt cs θ＋cs ωt sin θ)＝34sin (ωt＋θ)，
其中tan θ＝14．θ在第一象限．所以I＝34sin (ωt＋θ)，且它的振幅是34．