高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.7 三角函数的应用学案

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1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．
2．我们听到的声音的函数是
y＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x＋…．
3．几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波．
【典例】 (多选)音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是( )
A．函数F(x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x＋…＋1100sin 100x不具有奇偶性
B．函数f (x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x 在区间-π16，π16上单调递增
C．若某声音甲的函数近似为f (x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x，则声音甲的响度一定比纯音h(x)＝12sin 2x的响度大
D．若声音乙的函数近似为g(x)＝sin x＋12sin 2x，则声音乙一定比纯音m(x)＝13sin 3x低沉
BCD [F(－x)＝sin (－x)＋12sin (－2x)＋13sin (－3x)＋14sin (－4x)＋…＋1100sin (－100x)＝－F(x)，
所以F(x)为奇函数，A错误；
当x∈-π16，π16时，2x∈-π8，π8，3x∈-3π16，3π16，4x∈-π4，π4，
故y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin 4x在上均为增函数，
故f (x)＝sin x＋12sin 2x＋13sin 3x＋14sin 4x在区间-π16，π16上单调递增，B正确；
h(x)＝12sin 2x的振幅为12，f π2＝1＋0－13＋0＝23，则f (x)max≥23，
所以f (x)的振幅大于h(x)的振幅，故声音甲的响度一定比纯音h(x)的响度大，C正确；
易知g(x)的周期为2π，则其频率为12π，m(x)的周期为2π3，则其频率为32π，由12π0，ω>0，0≤φ0，ω>0，0≤φ