人教A版高中数学必修第一册第4章探究课2互为反函数的两个图象间的关系课时学案

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　互为反函数的两个图象间的关系1．反函数一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图(1)(2)所示．(1)　　　　　　　　　(2)2．互为反函数的两个函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)．(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域．(4)互为反函数的两个函数的单调性相同．【典例】　(1)(2022·福建泉州月考)设函数f (x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象过点(0，1)，其反函数的图象过点(2，1)，则a＋b等于(　　)A．2　　B．3　　C．4 　　D．5(2)设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．(1)A　[f (x)的反函数的图象过点(2，1)，则f (x)的图象过点(1，2)，所以a0+b=1，a1+b=2，解得a=2，b=0，所以a＋b＝2，故选A．](2)[解]　将方程整理得2x＝－x＋3, log2x＝－x＋3．如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标， b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．而A，B都在直线y＝－x＋3上，所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3．1．函数y＝log3x13≤x≤81的反函数的定义域为(　　)A．(0，＋∞) B．13，81C．(1，4) D．[－1，4]D　[由y＝log3x13≤x≤81，可知y∈[－1，4]．所以反函数的定义域为x∈[－1，4]．]2．已知函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)．(1)若函数f (x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，且点P(2，16)在函数h(x)的图象上，求实数a的值；(2)已知函数g(x)＝f x2fx8，x∈12，8．若g(x)的最大值为8，求实数a的值．[解]　(1)因为函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象与函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，所以h(x)＝ax(a>0，且a≠1)．因为点P(2，16)在函数h(x)的图象上，所以16＝a2，解得a＝4，或a＝－4(舍去)．(2)g(x)＝logax2·logax8＝(logax－loga2)(logax－loga8)＝(logax)2－4loga2·logax＋3(loga2)2．令t＝logax．①当01时，由12≤x≤8，有－loga2≤logax≤3loga2，二次函数φ(t)＝t2－4tloga2＋3(loga2)2的对称轴为t＝2loga2，可得最大值为φ(－loga2)＝(loga2)2＋4(loga2)2＋3(loga2)2＝8(loga2)2＝8，解得a＝2或a＝12舍去．综上，实数a的值为12或2．