人教A版高中数学必修第一册第5章微专题3三角函数中的最值问题课时学案

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微专题3　三角函数中的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在日常考题中经常出现，其形式或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决．题目给出的三角关系式往往比较复杂，需要进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型．掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决． 类型1　y＝A sin (ωx＋φ)＋B型的最值问题【例1】　已知函数f (x)＝2sin2π4+x－3cos 2x．(1)求f (x)在x∈π4，π2的最小值；(2)若不等式f (x)－m<2在x∈π4，π2上恒成立，求实数m的取值范围．[解]　(1)∵f (x)＝2sin2π4+x－3cos 2x＝1－cos π2+2x－3cos 2x＝sin 2x－3cos 2x＋1＝2sin 2x-π3＋1．又∵x∈π4，π2，∴π6≤2x－π3≤2π3，即2≤1＋2sin 2x-π3≤3，∴f (x)max＝3，f (x)min＝2．(2)∵f (x)－m<2⇔f (x)－2f (x)max－2＝1，∴m>1，即m的取值范围是(1，＋∞)． 类型2　y＝f (sin x或cos x)型的值域问题【例2】　(2022·河南濮阳期末)已知函数f (x)＝cos 2x －2a cos x－2a的最小值为f (a)，且f (a)＝12．(1)求a的值；(2)求函数f (x)的最大值．[解]　(1)由f (x)＝cos 2x－2a cos x－2a得f (x)＝2cos2x－2a cosx－(2a＋1)，令cos x＝t，t∈[－1，1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)，对称轴为t＝a2．①当a2<－1，即a<－2时，函数在[－1，1]上单调递增，ymin＝1．②当a2>1，即a>2时，函数在[－1，1]上单调递减，ymin＝－4a＋1．③当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，函数在-1，a2上单调递减，在a2，1上单调递增，ymin＝－a22－2a－1．∴y＝f (x)的最小值f (a)＝1，a<-2， -a22-2a-1，-2≤a≤2，-4a+1，a>2． 令f (a)＝12，解得a＝－1．(2)由(1)知当a＝－1时，函数y＝2t2＋2t＋1在-1，-12 上单调递减，在-12，1 上单调递增，又当t＝－1时，y＝1 ；当t＝1时，y＝5．所以f (x)的最大值为5． 类型3　含sin x±cos x，sin x cos x的最值问题【例3】　已知函数f (x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，则(　　)A．f (x)的最大值为3，最小值为1B．f (x)的最大值为3，最小值为－1C．f (x)的最大值为3＋2，最小值为34D．f (x)的最大值为3＋2，最小值为3－2C　[因为函数f (x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，设sin x＋cos x＝2sin x+π4＝t，t∈[－2，2]，则2sin x cos x＝t2－1，所以y＝t2＋t＋1＝t+122＋34，t∈-2，2，当t＝－12时，f (t)min＝34；当t＝2时，f (t)max＝3＋2．故选C．] 类型4　已知最值求参数范围【例4】　(1)已知函数f (x)＝2sin ωx cos2ωx2-π4－sin2ωx(ω>0)在区间-2π3，5π6上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)A．0，35　　B．12，35　　C．12，35　　D．12，+∞(2)已知函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)(其中ω>0，－π<φ<π)，若函数f (x)在区间-π3，π6上有最小值而无最大值，且满足f -π3＝－f π6，则实数φ的取值范围是__________．(1)B　(2)-5π6，π6　[(1)f (x)＝2sin ωx·cos2ωx2-π4－sin2ωx＝sinωx1+sinωx－sin2ωx＝sinωx＋sin2ωx－sin2ωx＝sinωx．因为f (x)在区间-2π3，5π6上是增函数，所以-π2≤-2ωπ3，5ωπ6≤π2，　　 解得ω≤35，由ωx＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π2ω＋2kπω＝π2ω(1＋4k)时，取得最大值1，因为在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以k＝0，0≤π2ω≤π，所以ω≥12，所以ω的取值范围是12≤ω≤35．故选B．(2)x∈-π3，π6时，函数f (x)在区间-π3，π6上有最小值而无最大值，且满足f -π3＝－f π6，故T2＝π6－-π3＝π2，此时ω＝2πT＝2，解得(2x＋φ)∈-2π3+φ，π3+φ，函数f (x)在区间-π3，π6上有最小值而无最大值，且－π<φ<π，由三角函数图象可知x1＝－2π3＋φ与x2＝π3＋φ应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间，故φ≤2π3-π2，φ≥-π2-π3，则－5π6≤φ≤π6．] 类型5　实际问题中的最值【例5】　(2022·河北辛集中学月考)广场大屏幕每日会直播19：00的新闻联播，已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远处，可以获得观看的最佳视野？(最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值)[解]　如图所示，由题意知：AB＝3，BD＝3.5－1.5＝2，设CD＝t，则tan ∠BCD＝2t，tan ∠ACD＝5t，∴tan ∠ACB＝tan ∠ACD-tan ∠BCD1+tan ∠ACD·tan ∠BCD＝3t1+10t2＝3tt2+10＝3t+10t≤32t·10t＝3210，当且仅当t＝10t，即t＝10时取等号．∵∠ACB∈0，π2，∴当CD＝10米时，可以获得观看的最佳视野．微专题强化练(三)　三角函数中的最值问题一、选择题1．函数y＝cos2x＋2sinx－5，x∈-π6，π4的最小值为(　　)A．－3　　　B．－194　　　C．1　　　D．－214D　[函数y＝cos2x＋2sinx－5，x∈-π6，π4，令t＝sin x，由－π6≤x≤π4可得－12≤t≤22，∴y＝cos2x＋2sinx－5＝1－sin2x＋2sinx－5＝－t2＋2t－4＝－(t－1)2－3，由二次函数可知当－12≤t≤22时，y＝－(t－1)2－3单调递增，∴当t＝－12时，函数取最小值－214．故选D．]2．已知函数f (x)＝32sin 2x＋cos2x－12，将f (x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在0，π8上的最大值与最小值之差为(　　)A．2 B．12C．32＋12 D．32－12B　[将函数f (x)＝32sin 2x＋cos2x－12＝32sin 2x＋1+cos2x2－12＝sin 2x+π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝sin 4x+π6的图象，则在0，π8上，4x＋π6∈π6，2π3，则当4x＋π6＝π6时，g(x)取得最小值为12，当4x＋π6＝π2时，g(x)取得最大值为1，所以g(x)在0，π8上的最大值与最小值之差为12．故选B．]3．(2022·山东济南期中)若函数f (x)＝4sin 2x+π3在-π3，b上的最小值和最大值分别为－23和4，则实数b的取值范围是(　　)A．π12，+∞ B．-∞，π2C．-π3，π12 D．π12，π2D　[当x∈-π3，b时，2x＋π3∈-π3，2b+π3，设2x＋π3＝t，则t∈-π3，2b+π3，所以函数y＝4sin t在t∈-π3，2b+π3上的最小值和最大值分别为－23和4，当t＝－π3时，4sin t＝4sin 2x+π3＝4×-32＝－23，所以要使函数f (x)的最小值和最大值分别为－23和4，由正弦函数的图像性质可得，π2≤2b＋π3≤4π3，解得π12≤b≤π2．故选D．]4．(2022·福建三明一中月考)已知函数f (x)＝2sin ωx+π3(ω>0)，f π6＝f π3，且在区间π6，π3内f (x)有最小值无最大值，则ω＝(　　)A．43　　　B．2　　　C．143　　　D．8C　[f (x)＝2sin ωx+π3(ω>0)，易知当x＝π6+π32＝π4时，函数f (x)在区间π6，π3上取得最小值，所以ω·π4＋π3＝2kπ＋3π2，k∈Z，所以ω＝8k＋143，k∈Z，又T＝2πω≥π3－π6，所以0<ω≤12，所以ω＝143．故选C．]5．(多选)(2022·重庆巴蜀中学期中)已知f (x)＝5sin x＋12cos x(x∈R)在x＝x0处取得最大值a，则(　　)A．a＝13B．f x0+π2＝－13C．sin x0＝513D．cos 2x0+π4＝－2338ACD　[由题设f (x)＝13sin (x＋φ)且sin φ＝1213，cos φ＝513，则f (x0)＝13sin (x0＋φ)＝a＝13，A正确；所以sin (x0＋φ)＝1，而f x0+π2＝13sin x0+π2 +φ＝13cos (x0＋φ)＝0，B错误；由上知：x0＝2kπ＋π2－φ且k∈Z，则sin x0＝sin π2-φ＝cos φ＝513，C正确；同理cos x0＝1213，则cos 2x0+π4＝22(cos 2x0－sin 2x0)＝22(2cos2x0－1－2sin x0cos x0)＝－2338，D正确．故选ACD．]二、填空题6．函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是__________．197π2，201π2　[T＝2πω为其最小正周期，则49+14T≤1<50+14T时，有50个最大值点，所以ω∈197π2，201π2．]7．函数f (x)＝2sin 2x-π6－m，若f (x)≤0在x∈0，π2上恒成立，则m的取值范围是__________；若f (x)在x∈0，π2上有两个不同的解，则m的取值范围是__________．[2，＋∞)　[1，2)　[因为f (x)≤0可化为m≥2sin 2x-π6，当x∈0，π2时，2x－π6∈-π6，5π6，2sin 2x-π6∈[－1，2]，所以2sin 2x-π6的最大值为2，所以m≥2．因为f (x)在x∈0，π2上有两个不同的解，等价于函数y＝2sin 2x-π6，x∈0，π2与y＝m的图象有两个交点，函数y＝2sin 2x-π6，x∈0，π2的图象如图所示．由图可知，1≤m<2．]8．(2020·北京高考)若函数f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________．π2只要等于2kπ+π2，k∈Z均可　[因为f (x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝cos2φ+sin φ+12sin (x＋θ)其中tanθ=1+sinφcosφ，所以cos2φ+sin φ+12＝2，解得sin φ＝1，故可取φ＝π2．]三、解答题9．已知函数f (x)＝2cos2x＋sinωx(ω>0)，若______，写出f (x)的最小正周期，并求函数f (x)在区间π6，5π6内的最小值．请从①ω＝1，②ω＝2这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．[解]　选择①：ω＝1，则f (x)＝2cos2x＋sinx＝2－2sin2x＋sinx＝－2sinx-142＋178，f (x＋2π)＝2－2sin2(x＋2π)＋sin(x＋2π)＝2－2sin2x＋sinx＝f (x)，所以函数f (x)的最小正周期为T＝2π．又因为x∈π6，5π6，则sin x∈12，1，所以当x＝π2时，f (x)min＝1，故函数的最小值为1．选择②：ω＝2，则f (x)＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin 2x+π4＋1，所以函数f (x)的最小正周期为T＝2π2＝π．又因为x∈π6，5π6，则2x＋π4∈7π12，23π12，所以当2x＋π4＝3π2，即x＝58π时，f (x)min＝－2＋1，故函数的最小值为1－2．10．(2022·江西南昌县莲塘第一中学期中)某中学校园内有块扇形空地OPQ，经测量其半径为60 m，圆心角为π3．学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案如图1所示．图1　　　　　　　图2(1)求出初步设计方案中矩形ABCD面积的最大值；(2)你有没有更好的设计方案来获得更大的篮球场面积？若有在图2画出来，并证明你的结论．[解]　(1)如图所示，取弧PQ的中点E，连接OE，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD 关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点．设∠BOE＝α，0<α<π6．在Rt△ONB 中，BN＝60sin α，ON＝60cos α，OM＝DMtan π6＝3DM＝3CN＝603sin α，所以MN＝ON－OM＝60cos α－603sin α，即AB＝60cos α－603sin α，而BC＝2CN＝120sin α，故矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝3 600cosα-3sinα·2sin α＝3 600(2sin αcos α－23sin2α)＝3600[sin 2α－31-cos2α]＝3 600(sin 2α＋3cos 2α－3)＝7 200sin 2α+π3－3 6003，因为0<α<π6，所以0<2α<π3，所以π3<2α＋π3<2π3．故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S取得最大值，此时S＝3 600(2－3)，所以矩形ABCD面积的最大值为3 600(2－3)m2．(2)如图所示，在半径OP上截取线段AB为矩形的一边，作得矩形ABCD．设∠BOC＝θ，0<θ<π3，可得CB＝60sin θ，OB＝60cos θ，则OA＝CB tan π6＝203sin θ．所以S＝(OB－OA)×CB＝(60cos θ－203sin θ)×60sin θ＝3 600sinθcosθ-33sin2θ＝1800sin2θ+33cos2θ－6003＝1 2003sin 2θ+π6－6003，因为0<θ<π3，可得π6<2θ＋π6<5π6，所以当2θ＋π6＝π2时，即θ＝π6时，S有最大值为6003．即教室面积的最大值为6003 m2．现将两种方案的最大值进行比较大小：因为3 600(2－3)－6003＝600(12－73)<0, 所以方案2更合算．