人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-3-1函数的单调性课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-3-1函数的单调性课时学案，共19页。

5.3　导数在研究函数中的应用5.3.1　函数的单调性如图为某市一天内的气温变化图：(1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？问题：观察图形，你能得到什么信息？知识点1　函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f (x)有什么特性？[提示]　f (x)是常数函数．知识点2　判断函数y＝f (x)的单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f ′(x)的零点；第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．知识点3　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常对应只看正负变化．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某一点处的导数越大，函数的图象在该点处的切线越“陡峭”． (　　)(2)函数在某个区间上变化得越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)[答案]　(1)×　(2)√[提示]　函数在某一点处的导数的绝对值越大，函数的图象在该点处的切线越“陡峭”，故(1)错，(2)正确．2．若定义域为R的函数f (x)的导数f ′(x)＝2x(x－1)，则f (x)在区间__________上单调递增，在区间________上单调递减．(1，＋∞)　(－∞，1)　[f ′(x)＞0得x＞1，f ′(x)＜0时x＜1．∴f (x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．]3．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．　(0，＋∞)　[∵f (x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1．由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0．∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．] 类型1　导函数与原函数的关联图象【例1】　(1)已知函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f (x)的图象最有可能的是(　　)A　　　 　B　　　C　　　　　D(2)设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　D(1)A　(2)C　[(1)x＜－2时，f ′(x)＜0，则f (x)单调递减；－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f (x)单调递增；x>0时，f ′(x)<0，则f (x)单调递减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．(2)由f (x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0；当x∈(1，4)时，f (x)单调递增，f ′(x)＞0；当x∈(4，＋∞)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0．由选项各图知：选项C符合题意，故选C．]　研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点(1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势．(2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．[跟进训练]1．设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为(　　)A　　　　　　BC　　　　　　DD　[观察函数f (x)的图象得：f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为f ′(x)的值小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．] 类型2　利用导数求函数的单调区间【例2】　求下列函数的单调区间：(1)f (x)＝x2－ln x；(2)f (x)＝cos x＋12x，x∈(0，π)．[思路引导]　根据函数解析式求出函数的导函数，根据导函数的符号确定函数单调区间．[解]　(1)∵函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－1x．∴令f ′(x)>0，即2x－1x>0，解得x>22；令f ′(x)<0，即2x－1x<0，解得00，即－sin x＋12>0，解得00得到函数的单调递增区间，解不等式f ′(x)<0得到函数的单调递减区间．2．在利用导数求函数单调区间时，首先必须求出函数的定义域，然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间，单调区间是定义域的子集．3．当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时，这些区间之间不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，而只能用“，”或“和”连接．[跟进训练]2．已知函数f (x)＝(x－2)ex－12x2＋x，求f (x)的单调区间．[解]　f (x)＝(x－2)ex－12x2＋x，x∈R，∴f ′(x)＝ex＋(x－2)ex－x＋1＝(x－1)(ex－1)．令f ′(x)＞0，解得x＞1或x＜0．令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1．∴函数f (x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)． 类型3　含有参数的函数单调性的讨论【例3】　讨论函数f (x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ax＋1－a+1x＝ax2+x-a+1x．(1)当a＝0时，f ′(x)＝x-1x，由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0＜x＜1．∴f (x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．(2)当a>0时，f ′(x)＝ax+a+1ax-1x，∵a＞0，∴a+1a＞0．由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得00，可得ax＋1>0，即x>－a．所以当－a≤0，即a≥0时，f ′(x)>0恒成立，此时f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当－a>0，即a<0时，f ′(x)>0的解为x>－a，此时f (x)在(0，－a]上单调递减，在[－a，＋∞)上单调递增． 类型4　已知函数单调性求参数的取值范围【例4】　已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．[思路引导]　[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)＝x3－1在R上是增函数．所以a≤0．[母题探究]1．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1，1)，求a的取值范围．[解]　由题意得f ′(x)＝3x2－a，函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)．①当a≤0时，f ′(x)≥0，∴f (x)在(－∞，＋∞)上为增函数，与已知矛盾，不符合题意．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±3a3，当－3a3＜x＜3a3时，f ′(x)＜0．∴f (x)在-3a3，3a3上为减函数，∴f (x)的单调递减区间为-3a3，3a3，又函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，∴3a3＝1，即a＝3．2．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．[解]　由题意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴f'-1≤0，f'1≤0，即3-a≤0，3-a≤0，∴a≥3．即a的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．[解]　∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，由f ′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f (x)在区间(－1，1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3．故a的取值范围为(0，3)．　利用函数的单调性求参数，常用方法如下：[跟进训练]4．若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是________．3　[由题意可得：y′＝－3x2＋a，若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则导函数在区间[1，＋∞)上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故－3x2＋a≤0，即a≤3x2在区间[1，＋∞)上恒成立，据此可得：a≤3，即a的最大值是3．]1．f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象只可能是(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　DA　[由f ′(x)图象可知f ′(0)＝0，f ′(2)＝0，f (x)在区间[0，2]上的增长速度先快后慢，A选项符合．]2．设f (x)＝x－sin x，则f (x)是(　　)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数B　[因为f (－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．又f ′(x)＝1－cos x≥0，所以f (x)单调递增．故f (x)既是奇函数又是增函数．故选B．]3．已知函数y＝13x3－x2＋ax－5在(－∞，＋∞)上总是单调函数，则a的取值范围是________．[1，＋∞)　[依题意y′＝x2－2x＋a，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判别式Δ＝(－2)2－4a≤0，解得a≥1．]4．已知函数f (x)＝x2－5x＋2ln (2x)，则f (x)的单调递增区间为________．0，12和(2，＋∞)　[由题意知函数的定义域为{x|x＞0}，f ′(x)＝2x－5＋2x＝2x2-5x+2x．令f ′(x)＝0，可得x1＝12，x2＝2．当x∈0，12时，f ′(x)＞0，函数f (x)在0，12上单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增．∴f (x)的单调递增区间是0，12和(2，＋∞)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)利用导数求函数单调性的思路是怎样的？[提示]　利用导数求函数的单调性一般通过解不等式的方法完成，其步骤为：①确定函数f (x)的定义域；②求导函数f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并写出解集；④根据③的结果确定函数f (x)的单调区间．(2)利用导数研究含参数函数的单调性，一般有哪几种情况？如何解决这几种情况？[提示]　利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：①区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．②区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．③最高次项系数不确定型此类问题一般要就最高次项的系数a，分a＞0，a＝0，a＜0进行讨论．(3)总结由函数的单调性求参数的取值范围的方法有哪几种？[提示]　①可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，根据已知条件，求出参数的取值范围，但最后要注意检验．②可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在区间(a，b)上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．③若已知f (x)在区间I上的单调性，且区间I含有参数时，可先求出f ′(x)的正负区间，令I是f (x)的单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．课时分层作业(十六)　函数的单调性一、选择题1．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(　　)A．-∞，-13和(1，＋∞)B．-13，1C．-∞，-13∪(1，＋∞)D．-1，13A　[由题意知，y′＝3x2－2x－1(x∈R)．由y′＞0可解得x＜－13或x＞1．∴单调递增区间为-∞，-13和(1，＋∞)．故选A．]2．设函数f (x)＝2x＋sin x，则(　　)A．f (1)>f (2)　 B．f (1)0，故f (x)是R上的增函数，故f (1)0m+1≤3或m－1≥3，解得10．]三、解答题9．已知函数f (x)＝ln x－x22，判断函数f (x)在1e，e上的单调性．[解]　∵f (x)＝ln x－x22，∴f ′(x)＝1x－x＝1-x1+xx，∴当x∈1e，1时，f ′(x)≥0，函数f (x)单调递增，当x∈[1，e]时，f ′(x)≤0，函数f (x)单调递减．∴函数f (x)的增区间是1e，1，减区间是[1，e]．10．已知函数y＝(x－1)·f ′(x)的图象如图所示，其中f ′(x)为函数f (x)的导函数，则y＝f (x)的大致图象是(　　)A 　　　　B 　　　　C　　　DB　[结合图象可知，当x>1时，(x－1)f ′(x)＞0，即f ′(x)＞0，∴y＝f (x)在(1，＋∞)上单调递增，符合题意的只有选项B．故选B．]11．已知函数f (x)＝2x－ln |x|，则f (x)的大致图象为(　　)A　　　 　B　　　　 C　　　　DA　[当x＜0时，f (x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－1-x·(－1)＝2－1x＞0，所以f (x)在(－∞，0)单调递增，则B、D错误；当x＞0时，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－1x＝2x-1x，则f (x)在0，12单调递减，12，+∞单调递增，所以A正确，故选A．]12．若函数f (x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．1，32　[因为f (x)定义域为(0，＋∞)，又f ′(x)＝4x－1x，由f ′(x)＝0，得x＝12．当x∈0，12时，f ′(x)＜0；当x∈12，+∞时，f ′(x)＞0．据题意，k－1＜12＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜32．]13．已知函数f (x)＝2x＋a ln x＋x，且曲线y＝f (x)在点P(1，f (1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调递增区间是________．－1　(2，＋∞)　[∵f (x)＝2x＋a ln x＋x，定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－2x2＋ax＋1＝x2+ax-2x2，由题知f ′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，这时f ′(x)＝x2-x-2x2，令f ′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，令f ′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，所以函数y＝f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]14．已知a∈R，函数f (x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．(1)若曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；(2)若函数f (x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围． [解]　(1)因为f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a，所以曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线斜率k＝f ′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a．而直线x－3y＝0的斜率为13，则3－3a＝－3，得a＝2．(2)由f (x)在(1，4)上单调递减，得f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1，4)上恒成立，即a≥x2－4x＋4在(1，4)上恒成立．又x∈(1，4)时，y＝x2－4x＋4<4，所以a≥4，所以a的取值范围是[4，＋∞)．15．已知函数f (x)＝12x2－x＋a ln x(a＞0)，讨论f (x)的单调性．[解]　f ′(x)＝x－1＋ax＝x2-x+ax(x＞0)，记Δ＝1－4a，当a≥14时，Δ＝1－4a≤0，f ′(x)≥0，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜14时，Δ＝1－4a＞0，令f ′(x)＝0，所以x1，2＝1±1-4a2且1±1-4a2＞0，当x∈0，1-1-4a2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当x∈1-1-4a2，1+1-4a2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，当x∈1+1-4a2，+∞时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．综上可知：a≥14时，f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)；0＜a＜14时，f (x)的单调递增区间为0，1-1-4a2，1+1-4a2，+∞，单调递减区间为1-1-4a2，1+1-4a2．学习任务1．了解函数的单调性与导数的关系．(数学抽象)2．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．(数学运算)3．能利用导数研究与函数单调性相关的问题．(数学运算、逻辑推理)f ′(x)的正负f (x)的单调性f ′(x)＞0单调递增f ′(x)＜0单调递减导数的绝对值函数值变化函数的图象越小快比较“陡峭”(向上或向下)越大慢比较“平缓”(向上或向下)1函数f (x)在区间D上单调递增⇒f ′(x)≥0在区间D上恒成立2函数f (x)在区间D上单调递减⇒f ′(x)≤0在区间D上恒成立3函数f (x)在区间D上不单调⇒f ′(x)在区间D上存在异号零点4函数f (x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)>0成立5函数f (x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)<0成立6若已知f (x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围