必修 第一册3.4 函数的应用（一）课堂检测

这是一份必修 第一册3.4 函数的应用（一）课堂检测，共7页。试卷主要包含了故选BC等内容，欢迎下载使用。


2．函数f(x)＝x＋eq \f(9,x)(x≠0)是( )
A．奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在(3，＋∞)上单调递减
C．偶函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．偶函数，且在(3，＋∞)上单调递减
3．已知f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋eq \r(x＋1)，则x<0时，f(x)＝( )
A．－x－eq \r(1－x)B．x－eq \r(1－x)
C．－x＋eq \r(1－x)D．x＋eq \r(1－x)
4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则( )
A．f(－1)B．f(－1)>f(π)>f(4)
C．f(π)D．f(4)5．(多选)下列函数既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x－eq \f(1,x)B．y＝eq \f(1,x2)
C．y＝2－|x|D．y＝x2＋2x
6．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是( )
A．这个函数有两个单调增区间
B．这个函数有三个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
7．写出一个在(0，＋∞)上单调递增的奇函数f(x)＝________________．
8．若奇函数在(－∞，0)上是增函数，且f(－1)＝0，则使得f(x)<0的取值范围是________．
9．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x<0时f(x)＝x2＋2x＋1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)请画出函数f(x)的图象；并写出函数f(x)的单调区间．
10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)＜0，试问F(x)＝eq \f(1,f（x）)在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
11.设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
12．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝3x＋eq \f(2,x－2)，则f(x)＝( )
A．6x－eq \f(4x,x2－4)
B．6x＋eq \f(4x,x2－4)
C．3x－eq \f(3x,x2－4)
D．3x＋eq \f(2x,x2－4)
13．设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，单调递增，若f(1－m)－f(m)<0，则实数m的取值范围为( )
A．(eq \f(1,2)，＋∞) B．(－∞，eq \f(1,2))
C．[－2，eq \f(1,2)] D．(eq \f(1,2)，2]
14(多选)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq \f(f（x）,x)在区间[1，＋∞)上一定( )
A．是奇函数B．是增函数
C．有最小值D．有最大值
0，则不等式eq \f(f（x）,x)<0的解集是________．
16．已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x2＋1)是定义在(－1，1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(2,5).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
课时作业25
1．解析：因为f(x)是偶函数，则函数图象关于y轴对称，故排除D选项；
又因为在[0，＋∞)上单调递减，故排除BC选项．故选A.
答案：A
2．解析：对于函数f(x)＝x＋eq \f(9,x)(x≠0)，
满足定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x－eq \f(9,x)＝－f(x)，
故f(x)＝x＋eq \f(9,x)，(x≠0)为奇函数，
设∀x1，x2∈(3，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(9,x1)))－(x2＋eq \f(9,x2))＝(x1－x2)·eq \f(x1x2－9,x1x2)，
由题设可知x1－x2<0，x1x2－9>0，x1x2>0，
故(x1－x2)·eq \f(x1x2－9,x1x2)<0，即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)＝x＋eq \f(9,x)在(3，＋∞)上单调递增．故选A.
答案：A
3．解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x＋eq \r(－x＋1)，
又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝－x＋eq \r(－x＋1)(x<0).故选C.
答案：C
4．解析：由题意可知，f(x)在(－∞，0]上单调递减，而f(x)是偶函数，
故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
f(－1)＝f(1)答案：A
5．解析：A.y＝x－eq \f(1,x)为定义域上的奇函数，故排除A；
B．y＝eq \f(1,x2)为定义域上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故B正确；
C．y＝2－|x|为定义域上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；
D．y＝x2＋2x为非奇非偶函数，故D不正确．故选BC.
答案：BC
6．解析：由题意作出该函数在[－7，7]上的图象，如图所示．
由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为－7.故选BC.
答案：BC
7．解析：令f(x)＝x，则f(－x)＝－x＝－f(x)，故f(x)＝x为奇函数，
且函数在定义域R上单调递增．
答案：f(x)＝x(答案不唯一)
8．解析：因为f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(－1)＝0，
所以x<－1时，f(x)<0，
又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，f(1)＝－f(－1)＝0，
所以0答案：(－∞，－1)∪(0，1)
9．解析：(1)设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝x2－2x＋1，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2＋2x－1，(x>0)，
当x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋1，x<0,0，x＝0,－x2＋2x－1，x>0))；
(2)图象如图：
由图可知，函数f(x)的递增区间为(－1，0)，(0，1)，递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞).
10．解析：F(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
则有－x1＞－x2＞0.
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)＜0，
所以f(－x2)＜f(－x1)＜0， ①
又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， ②
由①②得f(x2)＞f(x1)＞0.
于是F(x1)－F(x2)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,f（x1）·f（x2）)＞0，
即F(x1)＞F(x2)，
所以F(x)＝eq \f(1,f（x）)在(－∞，0)上单调递减．
11．解析：利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0,f（x）<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<0,f（x）>0))
由图可知x>2或x<－2，故选C.
答案：C
12．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）＋g（x）＝3x＋\f(2,x－2),f（－x）＋g（－x）＝－3x＋\f(2,－x－2)))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）＋g（x）＝3x＋\f(2,x－2),－f（x）＋g（x）＝－3x－\f(2,x＋2)))，
因此，f(x)＝3x＋eq \f(2x,x2－4).故选D.
答案：D
13．解析：因为f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，且当x≥0时单调递增，
则由f(1－m)由(1－m)21解得m>eq \f(1,2)，
所以由不等式组可解得m∈(eq \f(1,2)，2]，故选D.
答案：D
14．解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，∴函数图象抛物线的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，∴有a<1，
g(x)＝eq \f(f（x）,x)＝x＋eq \f(a,x)－2a，
在区间[1，＋∞)上，定义域不关于原点对称，g(x)不是奇函数．
任取1≤x1由a<1，1≤x10，x1x2－a>0，则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)所以g(x)＝x＋eq \f(a,x)－2a在区间[1，＋∞)上为增函数，g(1)＝1－a为函数最小值．故选BC.
答案：BC
15．解析：因为f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，
又因为f(－2)＝0，
所以f(2)＝f(－2)＝0，
则函数f(x)的大致走势如图所示：
所以eq \f(f（x）,x)<0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0,f（x）<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<0,f（x）>0))，
解得0所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，2).
答案：(－∞，－2)∪(0，2)
16．解析：(1)因为f(x)是在区间(－1，1)上的奇函数，
所以f(0)＝0，即b＝0，则f(x)＝eq \f(ax,x2＋1)，
因为f(eq \f(1,2))＝－eq \f(2,5)，
所以f(eq \f(1,2))＝eq \f(\f(1,2)a,（\f(1,2)）2＋1)＝eq \f(2,5)a＝－eq \f(2,5)，解得a＝－1，
当a＝－1时，f(x)＝－eq \f(x,x2＋1)，x∈(－1，1)，
所以对任意的x∈(－1，1)，f(－x)＝eq \f(－（－x）,（－x）2＋1)＝eq \f(x,x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，
故f(x)＝－eq \f(x,x2＋1)，x∈(－1，1).
(2)f(x)＝－eq \f(x,x2＋1)在(－1，1)为减函数，证明如下：
任取实数x1，x2∈(－1，1)，且x1因为－10，－1又x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1>0，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)故函数f(x)＝－eq \f(x,x2＋1)在(－1，1)上为减函数．
(3)因为f(x)为奇函数，
所以不等式f(t－1)＋f(t)<0等价为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
又因为f(x)在(－1，1)上是减函数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－t))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0\f(1,2)))，故eq \f(1,2)所以原不等式的解集为(eq \f(1,2)，1).
基础强化
能力提升