必修第一册3.2 函数的基本性质课后作业题

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这是一份必修第一册3.2 函数的基本性质课后作业题，共5页。

A．先减后增B．先增后减
C．单调递减D．单调递增
2．已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(1,2)对称，且在(－∞，eq \f(1,2)]上单调递增，a＝f(－eq \f(1,2))，b＝f(1)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b3．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－2，2)∪(2，＋∞)
B．(－2，0)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(2，＋∞)
4．已知函数f(x)在区间(0，2)上是减函数，又函数y＝f(x＋2)是偶函数，那么f(x)( )
A．在区间(2，4)内是减函数
B．在区间(2，4)内是增函数
C．在区间(－2，0)内是减函数
D．在区间(－2，0)内是增函数
5．若函数f(x＋3)是偶函数，函数y＝f(x)在[3，＋∞)上单调递减，则( )
A．f(－1)>f(8) B．f(－2)>f(1)
C．f(5)>f(2) D．f(－1)>f(7)
6．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，下列结论正确的是( )
A．f(2)＝0
B．f(－1)是函数f(x)的最小值
C．f(x＋2)＝f(x－2)
D．函数f(x)的图象的一个对称中心是点(2，0)
7．已知函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，写出函数y＝f(x－1)－2的图象的一个对称中心________．
8．已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(4)＋f(5)＝________．
9．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \f(1－x,1＋x).
(1)判断函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明；
(2)求f(x)在R上的解析式．
10．设函数f(x)＝x2－2ax＋3.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2，3]的最大值和最小值；
(2)设函数f(x)在区间[－2，3]的最小值为g(a)，求g(a).
11.函数f(x)在[0，＋∞)单调递增，且f(x＋3)关于x＝－3对称，若f(－2)＝1，则f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．[0，4]
12．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则实数a的取值为( )
A．－1B．1
C．－3D．3
13．已知y＝f(x＋1)为偶函数，若对任意a，b∈[1，＋∞)，(a≠b)，总有af(b)＋bf(a)A．(－1，2) B．(－2，2)
C．(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) D．[eq \f(1,3)，eq \f(2,3)]
14．(多选)已知定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则下列结论成立的是( )
A．f(x＋1)为偶函数
B．f(1＋x)＝f(1－x)
C．f(2＋x)＋f(－x)＝0
D．f(1)＝0
15.已知函数y＝φ(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝φ(a＋x)－b为奇函数．据此，写出图象关于点(1，0)对称的一个函数解析式________，函数f(x)＝－x＋eq \f(6,x－1)图象的对称中心是________．
16．定义在(0，＋∞)的函数f(x)，满足f(mn)＝f(m)＋f(n)＋1，且当x>1时，f(x)>－1.
(1)求f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由；
(3)若f(2)＝1，解不等式f(x＋3)＋f(x)>2.
课时作业26
1．解析：若m＝1，则函数f(x)＝2x＋3，则f(－x)＝－2x＋3≠f(x)，此时函数不是偶函数，所以m≠1.若m≠1，且函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则一次项2mx＝0恒成立，则m＝0，
因此，函数为f(x)＝－x2＋3，
此函数图象是开口向下，以y轴为对称轴的二次函数图象．
所以，函数在区间(－5，－3)上单调递增．故选D.
答案：D
2．解析：f(x)的图象关于x＝eq \f(1,2)对称，
所以a＝f(－eq \f(1,2))＝f(eq \f(3,2))，
又因为f(x)在(－∞，eq \f(1,2)]上单调递增，所以f(x)在[eq \f(1,2)，＋∞)上单调递减，
所以f(1)>f(eq \f(3,2))>f(2).故选B.
答案：B
3．解析：因为定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，
所以由f(x)<0可得x∈(－2，0)∪(2，＋∞)，故选D.
答案：D
4．解析：∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f(x＋2)关于y轴对称，
即函数y＝f(x)关于x＝2对称，
∵函数f(x)在(0，2)上是减函数，
∴函数f(x)在(2，4)上是增函数，故选B.
答案：B
5．解析：由题知函数f(x＋3)是偶函数，关于y轴对称，
所以y＝f(x)关于x＝3轴对称，
因为函数y＝f(x) 在[3，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝f(x) 在(－∞，3)上单调递增，
所以f(－1)＝f(7)>f(8)，故A正确，
f(－2)f(5)＝f(－1)f(－1)＝f(7)，故D错误．故选A.
答案：A
6．解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，
所以f(2)＋f(2)＝0，即f(2)＝0，故A正确；
如图函数满足题意，而f(－1)不是函数f(x)的最小值，故B错误；
由题可得f(x＋2)＝－f(2－x)＝f(x－2)，故C正确；
由f(x＋2)＋f(2－x)＝0，可知函数f(x)的图象关于(2，0)对称，即f(x)的图象的一个对称中心是点(2，0)，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
7．解析：根据题意，函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，其对称中心为(0，0)，
将y＝f(x)的图象向右平移1个单位得y＝f(x－1)，再向下平移2个单位可得y＝f(x－1)－2的图象，
所以函数y＝f(x－1)－2的图象的一个对称中心为(1，－2).
答案：(1，－2)
8．解析：由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
由于f(x＋2)为偶函数，所以f(x)关于直线x＝2对称，
所以f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(－1)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
9．解析：(1)函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，证明如下：
任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1－x1,1＋x1)－eq \f(1－x2,1＋x2)
＝eq \f(（1－x1）（1＋x2）－（1－x2）（1＋x1）,（1＋x1）（1＋x2）)
＝eq \f(2（x2－x1）,（1＋x1）（1＋x2）)<0，
即f(x1)(2)因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－eq \f(1＋x,1－x)＝eq \f(x＋1,x－1)，
综上所述，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)，x>0,0，x＝0,\f(x＋1,x－1)，x<0)).
10．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋3，其对称轴为x＝1，
故函数f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
又f(1)＝1－2＋3＝2，f(－2)＝(－2)2－2×(－2)＋3＝11，
f(3)＝32－2×3＋3＝6，
故函数f(x)在区间[－2，3]的最大值为11，最小值为2.
(2)f(x)＝x2－2ax＋3对称轴为x＝a，
当a≤－2时，g(a)＝f(－2)＝4＋4a＋3＝4a＋7，
当－2当a≥3时，g(a)＝f(3)＝9－6a＋3＝12－6a，
综上所述：g(a)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋7，a≤－2,3－a2，－211．解析：因为f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，
所以f(x)的图象关于y轴对称，则有f(－2)＝f(2)＝1，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以由f(x－2)≤1可得－2≤x－2≤2，
解得0≤x≤4，故选D.
答案：D
12．解析：因为形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数图象，其对称轴为x＝eq \f(a＋b,2)，
故对f(x)＝|x－3|＋|x－a|，其对称轴为eq \f(a＋3,2)＝1，解得a＝－1.故选A.
答案：A
13．解析：由af(b)＋bf(a)即(a－b)f(b)<(a－b)f(a)，也即(a－b)[f(b)－f(a)]<0，
当a>b≥1时，f(a)>f(b)，当b>a≥1时，f(b)>f(a)，
所以函数f(x)在[1，＋∞)单调递增，
又因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于x＝1对称，
所以f(x)在(－∞，1]单调递减，且f(4)＝f(－2)，
所以由f(2x)答案：A
14．解析：定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则函数图象上的点(x，f(x))关于点(1，0)的对称点(2－x，－f(x))也在函数图象上，所以f(2－x)＝－f(x).
函数f(x＋1)的图象由函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到，则函数f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；
由f(2－x)＝－f(x)，令x＝1－t，则有f(1＋t)＝－f(1－t)，故B选项错误；
由f(2－x)＝－f(x)，令x＝－t，则有f(2＋t)＝－f(－t)，故C选项正确；
由f(2－x)＝－f(x)，令x＝1，则有f(1)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，故D选项正确．故选CD.
答案：CD
15．解析：由题意，根据函数图象的平移变换，函数y＝φ(x)可由奇函数y＝φ(x＋1)－0向右平移1个单位得到，
取奇函数y＝x，将该函数向右平移1个单位，可得函数y＝x－1，
设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，
则f(x＋a)－b＝－x－a＋eq \f(6,x＋a－1)－b，
由函数y＝f(x＋a)－b是奇函数，
则f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即x－a＋eq \f(6,－x＋a－1)－b＝x＋a－eq \f(6,x＋a－1)＋b，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝－1)).
答案：y＝x－1(答案不唯一) (1，－1)
16．解析：(1)因为f(mn)＝f(m)＋f(n)＋1，
令m＝n＝1，可得f(1)＝f(1)＋f(1)＋1，
所以f(1)＝－1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则eq \f(x2,x1)>1，f(eq \f(x2,x1))>－1，
所以f(x2)＝f(x1·eq \f(x2,x1))＝f(x1)＋f(eq \f(x2,x1))＋1>f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵f(2)＝1，
∴f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝3，
由f(x＋3)＋f(x)>2，可得f(x＋3)＋f(x)＋1＝f[x(x＋3)]>3＝f(4)，
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3>0,x>0,x（x＋3）>4))，
解得x>1，
故不等式f(x＋3)＋f(x)>2的解集为(1，＋∞).
基础强化
能力提升

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