人教A版 (2019)3.3 幂函数课堂检测

这是一份人教A版 (2019)3.3 幂函数课堂检测，共8页。试卷主要包含了下列函数是幂函数的是，3x，1－eq \f；等内容，欢迎下载使用。

A．y＝x2－1B．y＝0.3x
C．y＝eq \r(2x)D．y＝x0.3
2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(8，2eq \r(2))，则f(27)＝( )
A．3B．3eq \r(3)
C．9D．9eq \r(3)
3．下列函数中图象如图所示的函数是( )
A．y＝x－eq \f(1,3)B．y＝xeq \s\up6(\f(3,2))
C．y＝xeq \s\up6(\f(1,3))D．y＝x－eq \f(2,3)
4．若点P(4，2)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的图象大致是( )
5．(多选)如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则实数m的取值为( )
A．0B．2
C．1D．无解
6．(多选)若函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，则f(x)一定( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在x∈(－∞，0)上单调递减
D．在x∈(－∞，0)上单调递增
7．已知幂函数f(x)＝xα过点(2，8)，若f(x0)＝－8，则x0＝________．
8．已知α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3))，若幂函数y＝xα的图象关于原点成中心对称，且在(0，＋∞)上为减函数，则α＝________．
9．比较下列各组数的大小：
(1)3－eq \f(5,2)和3.1－eq \f(5,2)；
(2)－8－eq \f(7,8)和－(eq \f(1,9))eq \s\up6(\f(7,8))；
(3)(－eq \f(2,3))－eq \f(2,3)和(－eq \f(π,6))－eq \f(2,3).
10．已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm2－2m－1，问当m取什么值时，函数f(x)是
(1)正比例函数；
(2)幂函数且在(0，＋∞)上为增函数．
11.已知幂函数y＝f(x)过点(2，eq \r(2))，则f(x＋1)<2的解集为( )
A．[－1，4) B．[－1，1)
C．[－1，3) D．(－∞，3)
12．若(2m＋1)eq \s\up6(\f(1,6))>(m2－m－3)eq \s\up6(\f(1,6))，则实数m的取值范围是( )
A．(－eq \f(1－\r(13),2)，－eq \f(1,2)]
B．[－eq \f(1,2)，4)
C．(－1，4)
D．[eq \f(1＋\r(13),2)，4)
13．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，若a，b∈R，a＋1＋b<0，则f(1＋a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
14．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，eq \f(1,2))，则( )
A．函数f(x)为奇函数
B．函数f(x)在定义域上为减函数
C．函数f(x)的值域为R
D．当x2>x1>0时，eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)>f(eq \f(x1＋x2,2))
15.已知幂函数f(x)的图象过点(2，eq \f(\r(2),2))，且f(2b－1)16．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是减函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若(5－a)eq \s\up6(\f(1,m))>(2a－1)eq \s\up6(\f(1,m))，求a的取值范围．
课时作业27
1．解析：因为函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数，
对于A，y＝x2－1是二次函数；
对于B，y＝0.3x是一次函数；
对于C，y＝eq \r(2x)＝eq \r(2)xeq \s\up6(\f(1,2))，由xeq \s\up6(\f(1,2))前的系数不为1，故y＝eq \r(2x)不是幂函数；
对于D，y＝x0.3满足幂函数的概念，故y＝x0.3是幂函数．
故选D.
答案：D
2．解析：设幂函数f(x)＝xα的图象经过点(8，2eq \r(2))，
则8α＝2eq \r(2)，
∴α＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，
∴f(27)＝27eq \s\up6(\f(1,2))＝3eq \r(3).故选B.
答案：B
3．解析：由图象可知函数为奇函数，
对于y＝xeq \s\up6(\f(3,2))＝eq \r(x3)定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，故选项B排除；
对于y＝x－eq \f(2,3)＝eq \f(1,\r(3,x2))定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，为偶函数，故排除D；
对于选项C，y＝xeq \s\up6(\f(1,3))＝eq \r(3,x)，定义域为R，故排除C；
对于选项A，y＝x－eq \f(1,3)＝eq \f(1,\r(3,x))，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，为奇函数，故A符合．故选A.
答案：A
4．解析：设幂函数f(x)＝xa，将点P(4，2)代入，得4a＝2，解得a＝eq \f(1,2)，
所以f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，定义域为[0，＋∞)，且在定义域内单调递增，大致图象为B.故选B.
答案：B
5．解析：由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－3m＋3＝1,m2－m－2≤0))，解得m＝1或2.
故选BC.
答案：BC
6．解析：因为函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，所以m－2＝1，
解得m＝3，所以f(x)＝x3，由幂函数性质知f(x)是奇函数且单调递增．故选BD.
答案：BD
7．解析：因为幂函数f(x)＝xα过点(2，8)，故2α＝8，∴α＝3，
即f(x)＝x3，
由f(x0)＝－8，得x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＝－8，∴x0＝－2.
答案：－2
8．解析：y＝x－2＝eq \f(1,x2)、y＝x2，是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意．
y＝x－eq \f(1,2)，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，是非奇非偶函数，图象不关于原点对称，不符合题意．
y＝x，y＝x3在R上单调递增，不符合题意．
y＝x－1＝eq \f(1,x)，是奇函数，图象关于原点成中心对称，且在(0，＋∞)上为减函数，符合题意，
综上所述，α的值为－1.
答案：－1
9．解析：(1)函数y＝x－eq \f(5,2)在(0，＋∞)上为单调减函数，又3<3.1，所以3－eq \f(5,2)>3.1－eq \f(5,2).
(2)－8－eq \f(7,8)＝－(eq \f(1,8))eq \s\up6(\f(7,8))，函数y＝xeq \s\up6(\f(7,8))在(0，＋∞)上为单调增函数，
又eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，∴(eq \f(1,8))eq \s\up6(\f(7,8))>(eq \f(1,9))eq \s\up6(\f(7,8))，∴－(eq \f(1,8))eq \s\up6(\f(7,8))<－(eq \f(1,9))eq \s\up6(\f(7,8))，
即－8－eq \f(7,8)<－(eq \f(1,9))eq \s\up6(\f(7,8))；
(3)(－eq \f(2,3))－eq \f(2,3)＝(eq \f(2,3))－eq \f(2,3)，(－eq \f(π,6))－eq \f(2,3)＝(eq \f(π,6))－eq \f(2,3)，
函数y＝x－eq \f(2,3)在(0，＋∞)上为单调减函数，又eq \f(2,3)>eq \f(π,6)，
所以(eq \f(2,3))－eq \f(2,3)<(eq \f(π,6))－eq \f(2,3)，即(－eq \f(2,3))－eq \f(2,3)<(－eq \f(π,6))－eq \f(2,3).
10．解析：(1)若f(x)是正比例函数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－1≠0,m2－2m－1＝1))，由m2－2m－1＝1得m2－2m－2＝0，解得m＝1＋eq \r(3)或m＝1－eq \r(3)，此时满足m2＋m－1≠0.
(2)若f(x)是幂函数，则m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，此时m＝1或m＝－2，
当m＝1时f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不符题意，舍去；
当m＝－2时f(x)＝x7在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
故m＝－2.
11．解析：设f(x)＝xa，则f(2)＝2a＝eq \r(2)，则a＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(x)，
由f(x＋1)＝eq \r(x＋1)<2可得0≤x＋1<4，解得－1≤x<3，
因此，不等式f(x＋1)<2的解集为[－1，3).故选C.
答案：C
12．解析：由题知构造f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,6))，(x≥0)，
由幂函数性质可知f(x)单调递增，
∵(2m＋1)eq \s\up6(\f(1,6))>(m2－m－3)eq \s\up6(\f(1,6))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋1≥0,m2－m－3≥0,2m＋1>m2－m－3))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥－\f(1,2),m≥\f(1＋\r(13),2)或m≤\f(1－\r(13),2),－1综上：m∈[eq \f(1＋\r(13),2)，4).故选D.
答案：D
13．解析：∵已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2，或m＝－1，f(x)＝x7，或f(x)＝x－2.
对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，
故f(x)是增函数，∴f(x)＝x7.
若a，b∈R，a＋1＋b<0，即a＋1<－b，
∴(a＋1)7<(－b)7，即(a＋1)7<－b7，即(a＋1)7＋b7<0.
则f(a)＋f(b)＝(a＋1)7＋b7<0.故选B.
答案：B
14．解析：设幂函数为f(x)＝xα，
将(2，eq \f(1,2))代入解析式得eq \f(1,2)＝2α，故α＝－1，所以f(x)＝eq \f(1,x)，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f(－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，故函数为奇函数，故A正确；
函数f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；
显然f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故C错误；
当x2>x1>0时，eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)－f(eq \f(x1＋x2,2))＝eq \f(\f(1,x1)＋\f(1,x2),2)－eq \f(1,\f(x1＋x2,2))＝eq \f(x1＋x2,2x1x2)－eq \f(2,x1＋x2)＝eq \f(（x1－x2）2,2x1x2（x1＋x2）)>0，
即满足eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，故D正确．故选AD.
答案：AD
15．解析：设幂函数f(x)＝xa，a∈R，
因为幂函数f(x)的图象过点(2，eq \f(\r(2),2))，所以eq \f(\r(2),2)＝2a，解得a＝－eq \f(1,2)，
所以f(x)＝x－eq \f(1,2)＝eq \f(1,\r(x))，f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，
因为f(2b－1)2－b>0，解得1答案：(1，2)
16．解析：(1)由题意得：
根据幂函数的性质可知m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.
因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2.
故f(x)＝x－1＝eq \f(1,x).
(2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝x－eq \f(1,2)，
则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数．
因为(5－a)－eq \f(1,2)>(2a－1)－eq \f(1,2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－a>0，,2a－1>0，,5－a<2a－1，))
解得2故a的取值范围为(2，5).
基础强化
能力提升