高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）一课一练，共7页。

1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
解析：选C 设y＝kx＋b(k≠0)，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．
2．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的( )
解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B图象相吻合．
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10，10≤x<100，x∈N*，其中x代表拟,1.5x，x≥100，x∈N*，))
录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
解析：选C 令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25.
4．(2021·山东潍坊高一期中)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面的高度约为( )
A．26 m B．28 m
C．30 m D．32 m
解析：选B 由h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17＝－4.9(t－1.5)2＋1.52×4.9＋17得，当t＝1.5时，h(t)max＝1.52×4.9＋17＝28.025≈28(m)．故选B.
5．(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
则下列说法正确的是( )
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
解析：选BD 大包装饼干300克8.4元，则平均每100克2.8元，小包装饼干100克3元，则买大包装饼干实惠，故B正确；卖1大包饼干盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包饼干盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多，故D正确．故选B、D.
6．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
解析：设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
答案：42
7．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，则售出320张门票，盈利为________元；售出520张门票时，盈利为________元．
解析：当x∈[0，400]时，设y＝k1x，函数图象过点(400，1 500)，代入得 1 500＝400k1，解得k1＝eq \f(15,4)；
当x∈[400，600]时，设y＝k2x＋b，函数图象过点(400，1 500)，(600，1 750)，
代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1 500＝400k2＋b，,1 750＝600k2＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝\f(5,4)，,b＝1 000.))
所以函数解析式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)x，0≤x≤400，,\f(5,4)x＋1 000，400将x＝320，520分别代入，得到y＝1 200，1 650.
答案：1 200 1 650
8．已知汽车刹车距离y(单位：米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为________米．
解析：由汽车刹车距离y与行驶速度的平方v2成正比，可设y＝kv2(k≠0)，
当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米，
得20＝3 600k，
解得k＝eq \f(1,180)，所以y＝eq \f(1,180)v2，
当v＝90千米/时时，
y＝eq \f(1,180)×902＝45(米)．
答案：45
9．(2021·山东新泰一中月考)某景点有50辆自行车供游客有偿租用，管理自行车的总费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租的所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理总费用，用y表示出租的所有自行车的日净收入(即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理总费用后所得的收入)．
(1)求y关于x的函数解析式及其定义域；
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
解：(1)当00，解得x>2.3，∴3≤x≤6且x∈N*.
当60恒成立．
故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50x－115（3≤x≤6，x∈N*），,－3x2＋68x－115（6其定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
(2)当3≤x≤6且x∈N*时，y＝50x－115单调递增，
∴当x＝6时，ymax＝185.
当6∴当x＝11时，ymax＝270.
∵185<270，∴当每辆自行车的日租金定为11元时才能使日净收入最多，日净收入最多为270元．
10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)如图，作PQ⊥AF于点Q，则PQ＝8－y，EQ＝4－(8－x)＝x－4.
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，
即eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，
x的取值范围为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50(4≤x≤8)，
所以S(x)是关于x的二次函数．当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积最大，最大值为48平方米．
故矩形BNPM面积的最大值为48平方米．
[B级 综合运用]
11．某人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝eq \f(1,2)t2米，那么，此人( )
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米
解析：选D 设人在x秒追上汽车，则6x－25＝eq \f(1,2)x2，∵x无解，∴不能追上汽车．由二次函数的性质可知，当x＝6时，最近距离为7米，故选D.
12．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是________．
解析：当y＝3.05时，－eq \f(1,5)x2＋3.5＝3.05，即x2＝5×0.45，解得x＝1.5或x＝－1.5(不合题意，舍去)，故L＝3＋1.5＝4.5(m)．
答案：4.5 m
13．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
解析：设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，
则当m＝eq \f(19.55＋20.05＋20.45＋19.95,4)＝20时，y取最小值．
答案：20
14．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A类产品的收益与投资额成正比(f1(x)＝k1x)，投资B类产品的收益与投资额的算术平方根成正比(f2(x)＝k2eq \r(x))．已知投资16万元时，A，B两类产品的收益分别为2万元和4万元．
(1)分别写出A，B两类产品的收益与投资额的函数关系式；
(2)该家庭有32万元资金，全部用于理财投资A，B两类产品，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益(f(x)＝f1(x)＋f2(x))，其最大收益是多少万元？
解：(1)由题意得，f1(16)＝16k1＝2，解得k1＝eq \f(1,8) ，
由f2(16)＝4k2＝4，解得k2＝1.
∴f1(x)＝eq \f(1,8)x，x∈[0，＋∞)，
f2(x)＝eq \r(x)，x∈[0，＋∞)．
(2)设投资B类产品x万元，
则投资A类产品为(32－x)万元，
则f(x)＝eq \f(1,8)(32－x)＋eq \r(x)＝4－eq \f(1,8)x＋eq \r(x).
∵f(x)＝－eq \f(1,8)(eq \r(x)－4)2＋6，
∴当x＝16时，f(x)max＝6.
故投资A，B两类产品各16万元时，能使资金获得最大收益，最大收益为6万元．
[C级 拓展探究]
15．为弘扬中华传统文化，某学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动．根据调查，小明同学两类读物的阅读量统计如下：
小明“经典名著”的阅读量f(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满足二次函数关系，部分数据如下表所示：
“古诗词”的阅读量g(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满足如图所示的关系．
(1)请分别写出函数f(t)和g(t)的解析式；
(2)在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
解：(1)因为f(0)＝0，所以可设f(t)＝at2＋bt，代入(10，2 700)与(30，7 500)，解得a＝－1，b＝280.所以f(t)＝－t2＋280t.又令g(t)＝kt(0≤t<40)，代入(40，8 000)，解得k＝200，令g(t)＝mt＋n(40≤t≤60)，代入(40，8 000)，(60，11 000)，解得m＝150，n＝2 000，所以g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(200t，0≤t<40，,150t＋2 000，40≤t≤60.))
(2)设每天阅读量为h(t)，小明对“经典名著”的阅读时间为t(0≤t≤60)，则对“古诗词”的阅读时间为60－t，
①当0≤60－t<40，即20h(t)＝f(t)＋g(t)＝－t2＋280t＋200(60－t)
＝－t2＋80t＋12 000＝－(t－40)2＋13 600，
所以当t＝40时，h(t)有最大值13 600.
②当40≤60－t≤60，即0≤t≤20时，
h(t)＝f(t)＋g(t)＝－t2＋280t＋150(60－t)＋2 000＝－t2＋130t＋11 000，
因为h(t)图象的对称轴为直线t＝65，所以当0≤t≤20时，h(t)是增函数，所以当t＝20时，h(t)有最大值13 200.
因为13 600>13 200，所以阅读量h(t)的最大值为13 600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
季度
1
2
3
4
每千克售价(单位：元)
19.55
20.05
20.45
19.95
t
0
10
20
30
f(t)
0
2 700
5 200
7 500