空间向量与立体几何（二）同步练习

空间向量与立体几何（二）同步练习

空间向量基本定理及坐标表示同步练习

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 在以下三个命题中，真命题的个数是（　　）

①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；

②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；

③若，是两个不共线的向量，而＝λ＋μ（λ，μ∈R且λμ≠0），则{，，}构成空间的一个基底。

A. 0　　　　　　　　  B. 1

C. 2       D. 3

2. 已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量＝＋，＝－构成基底的向量是（　　）

A.        B.

C. ＋2      D. ＋2

3. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M。设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A. －＋＋  B. ＋＋

C. －＋  D. －－＋

4. 已知点A在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），其中＝，＝，＝，则点A在基底下的坐标为（　　）

A. （7，3，12）    B. （12，7，3）

C. （2，4，6）     D. （12，3，7）

二、解答题

5. 如图所示，空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，D为BC的中点，H为OD的中点。设＝，＝，＝，试用向量，，表示向量。

6. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。

（1）化简：－－；

（2）设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值。

空间向量基本定理及坐标表示同步练习参考答案

1. 答案：C

解析：①正确。基底的向量必须不共面；②正确；③不对，，不共线，当＝λ＋μ时，，共面，故只有①②正确。             

2. 答案：D 

解析：能与，构成基底，则与，不共面。

∵，，＋2＝。

∴A、B、C都不合题意。因为{，，}为基底，

∴＋2与，不共面，可构成基底。

3. 答案：A 

解析：＝＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋＋

＝－＋＋。

4. 答案：A 

解析：设O为坐标原点，则＝＋2＋3＝＋2＋3＝，

∴点A在下的坐标为（7，3，12）。

5. 解：＝－。

∵＝＝（＋）＝（＋），

＝＋＝＋＝＋（－）

＝＋×（＋）＝＋（＋），

∴＝（＋）－－（＋）＝－＋＋，

即＝－＋＋。

6. 解：（1）∵＋＝，

∴－－＝－（＋）

＝－＝－＝。

（2）∵＝＋＝＋

＝＋（＋）

＝＋＋

＝－－，

∴x＝，y＝－，z＝－。

空间向量运算的坐标表示同步练习

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 已知＝（1，1，0），＝（0，1，1），＝（1，0，1），，，则＝（　　）

A. －1　　　　　　　　　  B. 1

C. 0        D. －2

2. 已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状是（　　）

A. 等腰三角形      B. 等边三角形

C. 直角三角形      D. 等腰直角三角形

3. 已知＝（2，0，3），＝（4，－2，1），＝（－2，x，2），若（－）⊥，则x等于（　　）

A. 4        B. －4

C. 2        D. －2

4. 已知A（1，0，0），B（0，－1，1），O（0，0，0），＋λ与的夹角为120°，则λ的值为（　　）

A. ±        B.

C. －        D. ±

二、填空题

5. 已知向量＝（0，－1，1），＝（4，1，0），|λ＋|＝，且λ>0，则λ＝________。

6. 已知3－2＝（－2，0，4），＝（－2，1，2），·＝2，||＝4，则cos〈，〉＝________。

三、解答题

7. 已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动（O为坐标原点）。当·取最小值时，求点Q的坐标。

空间向量运算的坐标表示同步练习参考答案

1. 答案：A 

解析：∵＝（1，0，－1），

＝（0，3，1），

∴＝1×0＋0×3＋1×（－1）＝－1。

2. 答案：C 

解析：＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），

＝（2，－3，1），

∴||＝，

||＝，

||＝，

∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2。

∴△ABC为直角三角形。

3. 答案：B 

解析：∵－＝（－2，2，2），又（－）⊥，

（－）·＝0，即4＋2x＋4＝0，∴x＝－4。

4. 答案：C 

解析：∵＝（1，0，0），＝（0，－1，1），

∴＋＝（1，－λ，λ），

∴（＋λ）＝λ＋λ＝2λ，

|＋λ|＝，

||＝。

∴cos 120°＝，∴λ2＝。

又<0，∴λ＝－。

5. 答案：3 

解析：＝（0，－1，1），＝（4，1，0），

∴λ＋＝（4，1－λ，λ）。

∵|λ＋|＝，∴16＋（1－λ）2＋λ2＝29。

∴λ2－λ－6＝0。∴λ＝3或λ＝－2。

∵λ>0，∴λ＝3。

6. 答案：－ 

解析：（3－2）·＝（－2，0，4）·（－2，1，2）＝12，

即3·－2·＝12。

由·＝2，得·＝－3。

又∵||＝3，||＝4，

∴cos〈，〉＝－。

7. 解：＝（1，1，2），因为点Q在直线OP上，所以与共线，

故可设＝λ＝（λ，λ，2λ），其中λ为实数，

则Q（λ，λ，2λ），

所以＝（1－λ，2－λ，3－2λ），

＝（2－λ，1－λ，2－2λ），

所以·＝（1－λ）·（2－λ）＋（2－λ）·（1－λ）＋（3－2λ）·（2－2λ）

＝6λ2－16λ＋10＝6（λ－）2－。

所以当λ＝时，·取最小值。

此时Q点坐标为（，，）。