高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行练习题

8.5.1　直线与直线平行

知识点一　基本事实4(平行定理)

(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．

(2)符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c.

知识点二　等角定理

(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

(2)符号语言：对于∠ABC和∠A′B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′⇒∠ABC＝∠A′B′C′或∠ABC＋∠A′B′C′＝180°.

1．求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．

2．等角定理是立体几何的基本定理之一．对于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补．当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于空间的三条直线a，b，c，如果a∥b，a与c不平行，那么b与c不平行．(　　)

(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．(　　)

(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　)

(4)对于空间直线a，b，c，d，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做

(1)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°   B．30°或150°

C．150°   D．以上结论都不对

(2)如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.

答案　(1)B

(2)证明：如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．

因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，

所以＝＝，则MN∥BC.

又G，H分别为PB，PC的中点，

所以GH∥BC，

所以GH∥MN.

题型  基本事实4及等角定理的应用

例　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)∠BMC＝∠B1M1C1.

[证明]　(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，

∴四边形AMM1A1是平行四边形，

∴A1A綊M1M.

又A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，

∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

　证明两条直线平行及角相等的方法

(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

(2)由基本事实4可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的．因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明．

(3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.

证明　如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形.

∴CM∥BK.

又A1K∥BQ且A1K＝BQ，

∴四边形A1KBQ为平行四边形．

∴A1Q∥BK，由基本事实4有A1Q∥CM.

同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反．

∴∠PA1Q＝∠MCN.

1．已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝80°，则β＝(　　)

A．80°   B．100°

C．80°或100°   D．不能确定

答案　C

解析　由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或β＝80°.

2．已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.则四边形EFGH的形状是(　　)

A．空间四边形

B．平行四边形

C．矩形

D．梯形

答案　D

解析　在△ABD中可得EH∥BD, EH＝BD，在△CBD中可得FG∥BD，FG＝BD，所以EH，FG平行且不相等，所以四边形EFGH是梯形．

3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

答案　D

解析　在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线垂直、平行、异面，故选D.

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)

A．相交但不垂直   B．相交且垂直

C．异面   D．平行

答案　D

解析　连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，因为A1E＝2ED，所以M为AD的中点．

连接BF并延长，交AD于点N，

同理可得，N为AD的中点．

所以M，N重合，又＝，＝，

所以＝，所以EF∥BD1.

5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与棱AA1平行的棱共有几条？分别是什么？

解　与AA1平行的棱共有两条，分别是BB1，CC1.