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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步测试题，共26页。试卷主要包含了0分），【答案】B，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
8.5空间直线、平面的平行同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是( )
A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面
2. 若m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若α⊥β,m⊥β，则m//α
B. 若m//α,n⊥m，则n⊥α
C. 若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，则α//β
D. 若m//β,m⊂α,α∩β=n，则m//n
3. 如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是( )
A. B.
C. D.
4. m,n是平面α外的两条直线，在m//α的前提下，m//n是n//α的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P,Q两点，则Q点所在的平面是( )
A. AA1B1B
B. BB1C1C
C. CC1D1D
D. ABCD
6. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形
D. 点C和点G到平面AEF的距离相等
7. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN//平面PAD，则( )
A. MN//PD
B. MN//PA
C. MN//AD
D. 以上均有可能
9. 如果直线m //直线n，且m //平面α，那么n与α的位置关系是( )
A. 相交 B. n //α C. n⊂α D. n //α或n⊂α
10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点．若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为( )
A. 22
B. 1
C. 2
D. 2
11. 已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则a//b的一个充分条件是
A. a//α，b//α B. a//α，b⊂α
C. a//α，a⊂β，α∩β=b D. α//β，a⊂α，b⊂β
12. 如图所示的三棱柱ABC−A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A. 异面
B. 平行
C. 相交
D. 以上均有可能
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，并且总保持B1P//平面A1BD，则动点P的轨迹的长度是 ．
14. 已知l，m是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：
①l⊥m；②m//α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
15. 如图，E是棱长为1正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1//平面B1CE，则线段CE的长度为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
16. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF//平面A B1C，则线段EF= ，∠B1AC= ．
17. 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m //α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α//β
(1)当满足条件 时，有m //β；
(2)当满足条件 时，有m⊥β．
18. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为棱A1C1上的点.且BC1//平面AB1D，则A1DDC1= ，已知AB=BC=AA1=1，AC=2，以D为球心，以52为半径的球面与侧面AA1B1B的交线长度为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
19. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
(1)E，F，D，B四点共面；
(2)面AMN//平面EFDB．
20. 如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°．
(1)证明：直线BC//平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P−ABCD的体积．
21. 如图所示，在四棱锥C−ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF //平面ABC；
(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH //平面ACD.若存在，请求出点H并证明；若不存在，请说明理由．
22. 如图所示，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE．
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′−ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B //平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
23. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD，P是DD1中点．
(Ⅰ)求证：直线BD1//平面PAC；
(Ⅱ)在棱BB1上求一点Q，使得平面PAC//平面A1C1Q，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．
由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论．
【解答】
解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α与β相交或α//β；
对于B，α内有两条相交直线与β平行，则α//β；
对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α//β；
对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α//β．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间线面垂直、线面平行、面面垂直的判定，属基础题．
根据线面垂直、线面平行、面面垂直的判定定理，逐项判断即可．
【解答】
解：A.若α⊥β,m⊥β，m可能在α内，故错误；
B.若m//α,n⊥m，n可能在α内，故错误；
C.若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，少了m与n相交的条件，故错误；
D.若m//β,m⊂α,α∩β=n，由线面平行的性质可得m//n，故正确．
故选D.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定定理的应用，属于中档题．
结合正方体的结构特征和线面平行的判定定理逐一判断可得结果．
【解答】
解：选项A中，如图1，连接A1B1．
在正方体中，知AB//A1B1．
又因为N，Q分别为所在棱的中点，所以NQ//A1B1，所以AB//NQ，
因为AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
所以AB//平面MNQ．
选项B中，如图2，连接A1B1，
在正方体中，AB//A1B1，又因为M，Q分别为所在棱的中点，
所以MQ//A1B1，
所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
因此AB//平面MNQ．
选项C中，如图3，连接A1B1．
在正方体中，知AB//A1B1．
又因为M，Q分别为所在棱的中点，
所以MQ//A1B1，所以AB//MQ，
因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
所以AB//平面MNQ．
选项D中，如图4，连接A1B，取A1B的中点O，连接OQ．
因为O，Q分别为A1B和AA1的中点，
所以OQ//AB，又OQ∩平面MNQ=Q，所以AB与平面MNQ不平行．
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及性质，充分条件必要条件的判定，属于基础题．
利用线面位置关系，分别从充分性和必要性论证即可．
【解答】
解：由m//α知存在直线m1⊂α，m//m1，
因为m//n，所以n//m1，
又n是平面α外的直线，所以由线面平行的判定定理可得n//α；
反过来，当n//α，m//α时，n与m平行，相交或异面，
故“m//n”是“n//α”的充分不必要条件．
故选A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，属于拔高题．
根据正方体的结构特征，结合面面平行的性质分析即可．
【解答】
解：如图，
由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，
可得P在△AA1D内，过P作EF//A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，
在平面ABCD中，过F作FG//CD，交BC于G，
则平面EFG//平面A1DC．
连接AC，交FG于M，连接EM，
∵平面EFG//平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC=A1C，平面A1AC∩平面EFM=EM，
∴EM//A1C．
在△EFM中，过P作PN//EM，且PN∩FM于N，则PN//A1C．
∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，
∴N在四边形ABCD内．
∴点N即为过点P且与A1C平行的直线与正方体的交点，即与点Q重合，
∴点Q在平面ABCD内.
故选D．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查线面平行的判定，考查空间中的距离，考查几何体的截面问题，考查空间思维能力，属于中档题．
利用空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，判断A、B；根据正方体的结构特征判断C；利用反证法判断D．
【解答】
解：对于选项A，CC1//DD1，
而AF与CC1不垂直，从而AF与DD1也不垂直，选项A错误;
对于选项B，
取B1C1的中点为M，连接A1M、GM，
则A1M//AE，GM//EF，
又A1M，GM为平面A1MG内两条相交线，AE，EF为平面AEF内两条相交线，
所以平面A1MG//平面AEF，
又A1G⊂平面A1MG，
所以A1G//平面AEF，选项B正确;
对于选项C，连接AD1，D1F，易知平面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，选项C错误;
对于选项D，假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，
则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点O，
易知O不是CG的中点，故假设不成立，选项D错误．
故选B．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查空间中线面平行的判定定理，属于中档题．
利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案，对A利用反证法可以证明结论
【解答】
解：对于选项B，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故B不满足题意；
对于选项C，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故C不满足题意；
对于选项D，由于AB//NQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故D不满足题意；
对于选项A，如图，连接BC，易知BC//QM，则根据线面平行判定定理得知BC//面QNM，
如果AB//面MNQ，又AC∩BC=C，所以面ACB//面QNM，
而事实上QN和AC有交点，矛盾，
所以直线AB与平面MNQ不平行
所以选项A满足题意，
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，属于基础题．
直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可．
【解答】
解：在四棱锥P−ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，
且MN//平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，
由直线与平面平行的性质定理可得MN//PA．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查空间中直线与平面的位置关系和线面平行的性质，属于基础题．
利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面的位置关系进行判断即可．
【解答】
解：∵直线m //直线n，且m //平面α，
∴当n不在平面α内时，，
当n在平面α内时，n⊂α．
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定和面面平行的判定，属于拔高题．
利用线面平行的定义推出平行截面，从而确定点P落在线段AC中点的位置为最小值的位置．
【解答】
解：扩展平面EFG，得截面EFGHQR，其中H，Q，R分别是所在棱的中点．
因为直线D1P与平面EFG不存在公共点，所以D1P//平面EFGHQR．
由中位线定理知AC//EF.又EF⊂平面EFGHQR,AC⊄平面EFGHQR，所以AC//平面EFGHQR．
同理可得AD1//平面EFGHQR，又因为AC∩AD1=A，AC，AD1⊂平面D1AC．
所以平面D1AC//平面EFGHQR，
所以当D1P与AC在平面D1AC内相交，即当点P在AC上时，直线D1P与平面EFG不存在公共点．
设底面ABCD的中心为O，
因为BO⊥AC，所以当点P与点O重合时，BP最小，
此时三角形PBB1的面积最小，最小值为12×2×2=2．
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线与直线平行的判断，根据线面平行的性质判定C正确
【解答】
解：对于A.直线a，b可能平行、相交或异面;
对于B，D，直线a，b可能平行或异面，由线面平行的性质可知C正确，
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三棱柱的结构特征，线面平行的判定及性质，属于基础题．
先利用三棱柱的结构特征得出AB//A1B1，再利用线面平行的判定定理得出A1B1//平面ABC，最后再利用线面平行的性质即可得解．
【解答】
解：在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB//A1B1，
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1//平面ABC，
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE//A1B1，
∴DE//AB．
故选B．
13.【答案】2
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面与平面平行的性质，以及线段长度的求解，同时考查了推理能力，转化与划归的思想，属于中档题．
连接B1D1、CD1、B1C，根据面面平行的判定定理可知平面B1D1C//平面A1BD，又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，则点P须在线段CD1上运动，即满足条件，求出CD1即可求出所求．
【解答】
解：连接B1D1、CD1、B1C，
易证B1D1//BD，CD1//BA1，
因为BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1//平面A1BD，
同理CD1//平面A1BD，
因为B1D1与CD1为平面B1D1C内两相交直线，所以平面B1D1C//平面A1BD，
又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，
则点P只须在线段CD1上运动，即满足条件，
CD1=2，
则点P轨迹的长度是2，
故答案为：2．
14.【答案】若l⊥α，l⊥m，则m//α．
【解析】
【分析】
本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
由线面平行判定定理，求得结果．
【解答】
解：l，m是平面α外的两条不同直线，由线面平行的判定定理，
得：若l⊥α，l⊥m，则m//α，
故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m//α．
15.【答案】52
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方体的结构特征，直线与平面平行的性质定理，属于基础题．
由题意先分析出点E是C1D1中点，再利用勾股定理求解．
【解答】
解：连接BC1，交B1C于点O，连接OE，
∵E是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且四边形BCC1B1是正方形，
∴O是BC1中点，
∵BD1//平面B1CE，BD1⊂平面BC1D1，平面BC1D1∩平面B1CE=OE，
∴BD1//OE，
∴E是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1的中点，
∴CE=12+122=52．
故答案为52．
16.【答案】2
60°
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的长度，角度求解，为基础题．
将题中线面平行转化为线线平行，确定F的位置，然后求解．
【解答】
解：由于在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，
∴AC=22，
又E为AD中点，EF//平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，
∴EF//AC.
∴F为DC中点．
∴EF=12AC=2．
因为三角形B1AC是边长为22的正三角形，
所以∠B1AC=60°，
故答案为2；60°．
17.【答案】(1)③⑤
(2)②⑤
【解析】
【分析】
本题主要考查线面、面面平行与垂直的定义，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
(1)由两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，即可得出结论；
(2)由两个平面平行，一条直线垂直于一个平面，则一定垂直于另一个平面．
【解答】
解：(1)因为m⊂α，α // β，
所以m // β，
故答案为③⑤；
(2)因为m⊥α，α // β，
所以m⊥β，
故答案为②⑤．
故答案为(1)③⑤;(2)②⑤．
18.【答案】1
π3
【解析】
【分析】
本题考查了空间知识的综合应用，涉及了线面平行的性质定理、球面与平面的交线问题，综合性强，对知识的广度和深度都有较高的要求．
连接A1B与AB1相交于E点，连接ED，由线面平行的性质定理得BC1//ED，进而可得D为A1C1的中点，进一步计算可得A1DDC1的值；由题意得出∠A1B1C1=90∘，过D作DH⊥A1B1垂足为H，
则D到平面AA1B1B的距离为DH=12，以D为球心，以52为半径的球面与侧面AA1B1B的交线为以H为圆心的弧MN，求出半径，求出∠MHN=π3，进而得弧长．
【解答】
解：连接A1B与AB1相交于E点，连接ED，
显然E为A1B中点，E为AB1中点，
又∵BC1//平面AB1D，
平面BC1A1∩平面AB1D=ED，
BC1⊂平面BC1A1，
∴BC1//ED，
在△BC1A1中，
E为BA1中点，
故D为A1C1中点，
∴A1DDC1=1，
因为AB=BC=AA1=1，AC=2，所以
∠A1B1C1=90∘，又D为A1C1的中点，过D作
DH⊥A1B1垂足为H，
则D到平面AA1B1B的距离为DH=12，
以D为球心，以52为半径的球面与侧面
AA1B1B的交线为以H为圆心的弧MN，半径
r=54−14=1，
因为A1H=B1H=12，HM=HN=1
∴∠A1HM=∠B1HN=π3，
所以∠MHN=π3，
则MN的弧长为1×π3=π3．
故答案为：1；π3．
19.【答案】证明：(1)∵E，F分别是B1C1，C1D1的中点，
∴EF//B1D1，
∵B1D1//BD，
∴EF//BD，
∴E，F，B，D，四点共面．
(2)∵M，N分别是A1B1，D1A1的中点，
∴MN//B1D1，
∵EF//B1D1，
∴MN//EF，
∵F，N分别是D1C1、A1B1的中点，
∴MF= //A1D1，
∵A1D1= //AD，∴MF= //AD，
∴四边形MFDA是平行四边形，
∴AM//DF，
∵MN∩AM=M，EF∩DF=F，MN，AM⊂面MAN，EF，DF⊂面EFDB．
∴面MAN//面EFDB．
【解析】本题考查四点共面的证明，考查两个平面平行的证明．解题时要认真审题，注意中位线定理和平行公理的合理运用，为中档题．
(1)由E，F分别是B1C1，C1D1的中点，知EF//B1D1，从而得到EF//BD，由此能证明E，F，B，D，四点共面．
(2)由题设条件推导出MN//EF，AM//DF，由此能够证明面MAN//面EFDB．
20.【答案】证明：(1)四棱锥P−ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°，
∴BC//AD，
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴直线BC//平面PAD．
解：(2)由AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°．
设AD=2x，则AB=BC=x，CD=2x，
设O是AD的中点，连接PO，OC，
设CD的中点为E，连接OE，
则OE=22x，
由侧面PAD为等边三角形，则PO=3x，且PO⊥AD，
平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，且PO⊂平面PAD，
故PO⊥底面ABCD，
又OE⊂底面ABCD，故PO⊥OE，
则PE=PO2+OE2=7x2，
又由题意可知，PC=PD，故PE⊥CD，
△PCD面积为27，可得12PE⋅CD=27，
即12×72x⋅2x=27，
解得x=2，则PO=23，
则VP−ABCD=13×12(BC+AD)×AB×PO
=13×12×(2+4)×2×23=43．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
(1)由BC//AD，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
(2)利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积V P−ABCD=13×12(BC+AD)×AB×PO即可．
21.【答案】证明：(1)由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F，
故GF//AC，
∵GF⊄面ABC，AC⊂面ABC，
∴GF//面ABC，
解：(2)线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC中点，
理由如下：由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH//EB//AD，
∵GH⊄面ACD，AD⊂面ACD，
∴GH//面ACD，
由(1)可知，GF//AC，GF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴GF//面ACD，
且GF∩GH=G，GF、GH⊂面GFH，
故面GFH//面ACD．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查满足面面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
(1)推导出GF//AC，由此能证明GF//面ABC．
(2)由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH//EB//AD，从而GH//面ACD，再由GF//面ACD，得BC上存在中点H，使面GFH//面ACD．
22.【答案】解：(1)证明：由题意，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，
∴∠DEA=∠CEB=45°，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AE，
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，BE⊂平面ABCE，
∴BE⊥平面D′AE，
∵AD′⊂平面D′AE，
∴AD′⊥BE；
(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，D′F⊂平面D′AE，
∴D′F⊥平面ABCE，
∴VD′−ABCE=13S四边形ABCE· D′F
=13×121+2×1×22=24；
(3)如图所示，
连结AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B//平面PAC，连接PQ，
∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC=PQ，
∴D′B//PQ，
∴在△EBD′中，EPPD′=EQQB，
∵ 在梯形ABCE中，EQQB=ECAB=12，
∴EPPD′=EQQB=12，即EP=13ED′，
∴在棱D′E上存在一点P，且EP=13ED′，使得D′B//平面PAC．
【解析】本题考查平面与平面垂直的性质，直线与平面平行的性质、四棱锥的体积公式，为中档题．
(1)由题意，在长方形ABCD中，可知BE⊥AE，根据面面垂直的性质定理可以证明AD′⊥BE；
(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，由面面垂直的性质定理可以证明D′F⊥平面ABCE，从而求出VD′−ABCE；
(3)连结AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B//PQ，根据平行线的性质结合平面几何知识，即可得到EP与ED′之间的关系．
23.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD交AC于O点，连接OP，
因为O为矩形对角线的交点，
则O为BD的中点，
又P为DD1的中点，
则OP//BD1，
又因为OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
所以直线BD1//平面PAC；
(Ⅱ)解：取BB1的中点Q，则平面PAC//平面A1C1Q，
证明：因为P为DD1的中点，Q为BB1的中点，
∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1= //CC1，
故四边形A1ACC1是平行四边形，
∴AC//A1C1，
因为A1C1⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以A1C1//平面PAC，
同理可得A1Q//平面PAC，
又A1C1∩A1Q=A1，A1C1⊂平面A1C1Q，A1Q⊂平面A1C1Q，
所以平面PAC//平面A1C1Q.
【解析】本题主要考察空间几何体中线面平行的判定以及面面平行的判定定理，为中档题．
(Ⅰ)连接BD交AC于O点，连接OP，因为O为矩形对角线的交点，O为BD的中点，P为DD1的中点，则OP//BD1，再由线面平行的判断定理可得直线BD1//平面PAC．
(Ⅱ)取BB1的中点Q，得A1C1//平面PAC，同理可得A1Q//平面PAC，由面面平行得判定定理即得证．
8.5空间直线、平面的平行同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是( )
A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面
2. 若m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若α⊥β,m⊥β，则m//α
B. 若m//α,n⊥m，则n⊥α
C. 若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，则α//β
D. 若m//β,m⊂α,α∩β=n，则m//n
3. 如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是( )
A. B.
C. D.
4. m,n是平面α外的两条直线，在m//α的前提下，m//n是n//α的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P,Q两点，则Q点所在的平面是( )
A. AA1B1B
B. BB1C1C
C. CC1D1D
D. ABCD
6. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形
D. 点C和点G到平面AEF的距离相等
7. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN//平面PAD，则( )
A. MN//PD
B. MN//PA
C. MN//AD
D. 以上均有可能
9. 如果直线m //直线n，且m //平面α，那么n与α的位置关系是( )
A. 相交 B. n //α C. n⊂α D. n //α或n⊂α
10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点．若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为( )
A. 22
B. 1
C. 2
D. 2
11. 已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则a//b的一个充分条件是
A. a//α，b//α B. a//α，b⊂α
C. a//α，a⊂β，α∩β=b D. α//β，a⊂α，b⊂β
12. 如图所示的三棱柱ABC−A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A. 异面
B. 平行
C. 相交
D. 以上均有可能
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，并且总保持B1P//平面A1BD，则动点P的轨迹的长度是 ．
14. 已知l，m是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：
①l⊥m；②m//α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
15. 如图，E是棱长为1正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1//平面B1CE，则线段CE的长度为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
16. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF//平面A B1C，则线段EF= ，∠B1AC= ．
17. 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m //α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α//β
(1)当满足条件 时，有m //β；
(2)当满足条件 时，有m⊥β．
18. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为棱A1C1上的点.且BC1//平面AB1D，则A1DDC1= ，已知AB=BC=AA1=1，AC=2，以D为球心，以52为半径的球面与侧面AA1B1B的交线长度为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
19. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
(1)E，F，D，B四点共面；
(2)面AMN//平面EFDB．
20. 如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°．
(1)证明：直线BC//平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P−ABCD的体积．
21. 如图所示，在四棱锥C−ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF //平面ABC；
(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH //平面ACD.若存在，请求出点H并证明；若不存在，请说明理由．
22. 如图所示，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE．
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′−ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B //平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
23. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD，P是DD1中点．
(Ⅰ)求证：直线BD1//平面PAC；
(Ⅱ)在棱BB1上求一点Q，使得平面PAC//平面A1C1Q，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．
由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论．
【解答】
解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α与β相交或α//β；
对于B，α内有两条相交直线与β平行，则α//β；
对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α//β；
对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α//β．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间线面垂直、线面平行、面面垂直的判定，属基础题．
根据线面垂直、线面平行、面面垂直的判定定理，逐项判断即可．
【解答】
解：A.若α⊥β,m⊥β，m可能在α内，故错误；
B.若m//α,n⊥m，n可能在α内，故错误；
C.若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，少了m与n相交的条件，故错误；
D.若m//β,m⊂α,α∩β=n，由线面平行的性质可得m//n，故正确．
故选D.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定定理的应用，属于中档题．
结合正方体的结构特征和线面平行的判定定理逐一判断可得结果．
【解答】
解：选项A中，如图1，连接A1B1．
在正方体中，知AB//A1B1．
又因为N，Q分别为所在棱的中点，所以NQ//A1B1，所以AB//NQ，
因为AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
所以AB//平面MNQ．
选项B中，如图2，连接A1B1，
在正方体中，AB//A1B1，又因为M，Q分别为所在棱的中点，
所以MQ//A1B1，
所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
因此AB//平面MNQ．
选项C中，如图3，连接A1B1．
在正方体中，知AB//A1B1．
又因为M，Q分别为所在棱的中点，
所以MQ//A1B1，所以AB//MQ，
因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
所以AB//平面MNQ．
选项D中，如图4，连接A1B，取A1B的中点O，连接OQ．
因为O，Q分别为A1B和AA1的中点，
所以OQ//AB，又OQ∩平面MNQ=Q，所以AB与平面MNQ不平行．
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及性质，充分条件必要条件的判定，属于基础题．
利用线面位置关系，分别从充分性和必要性论证即可．
【解答】
解：由m//α知存在直线m1⊂α，m//m1，
因为m//n，所以n//m1，
又n是平面α外的直线，所以由线面平行的判定定理可得n//α；
反过来，当n//α，m//α时，n与m平行，相交或异面，
故“m//n”是“n//α”的充分不必要条件．
故选A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，属于拔高题．
根据正方体的结构特征，结合面面平行的性质分析即可．
【解答】
解：如图，
由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，
可得P在△AA1D内，过P作EF//A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，
在平面ABCD中，过F作FG//CD，交BC于G，
则平面EFG//平面A1DC．
连接AC，交FG于M，连接EM，
∵平面EFG//平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC=A1C，平面A1AC∩平面EFM=EM，
∴EM//A1C．
在△EFM中，过P作PN//EM，且PN∩FM于N，则PN//A1C．
∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，
∴N在四边形ABCD内．
∴点N即为过点P且与A1C平行的直线与正方体的交点，即与点Q重合，
∴点Q在平面ABCD内.
故选D．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查线面平行的判定，考查空间中的距离，考查几何体的截面问题，考查空间思维能力，属于中档题．
利用空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，判断A、B；根据正方体的结构特征判断C；利用反证法判断D．
【解答】
解：对于选项A，CC1//DD1，
而AF与CC1不垂直，从而AF与DD1也不垂直，选项A错误;
对于选项B，
取B1C1的中点为M，连接A1M、GM，
则A1M//AE，GM//EF，
又A1M，GM为平面A1MG内两条相交线，AE，EF为平面AEF内两条相交线，
所以平面A1MG//平面AEF，
又A1G⊂平面A1MG，
所以A1G//平面AEF，选项B正确;
对于选项C，连接AD1，D1F，易知平面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，选项C错误;
对于选项D，假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，
则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点O，
易知O不是CG的中点，故假设不成立，选项D错误．
故选B．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查空间中线面平行的判定定理，属于中档题．
利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案，对A利用反证法可以证明结论
【解答】
解：对于选项B，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故B不满足题意；
对于选项C，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故C不满足题意；
对于选项D，由于AB//NQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故D不满足题意；
对于选项A，如图，连接BC，易知BC//QM，则根据线面平行判定定理得知BC//面QNM，
如果AB//面MNQ，又AC∩BC=C，所以面ACB//面QNM，
而事实上QN和AC有交点，矛盾，
所以直线AB与平面MNQ不平行
所以选项A满足题意，
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，属于基础题．
直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可．
【解答】
解：在四棱锥P−ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，
且MN//平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，
由直线与平面平行的性质定理可得MN//PA．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查空间中直线与平面的位置关系和线面平行的性质，属于基础题．
利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面的位置关系进行判断即可．
【解答】
解：∵直线m //直线n，且m //平面α，
∴当n不在平面α内时，，
当n在平面α内时，n⊂α．
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定和面面平行的判定，属于拔高题．
利用线面平行的定义推出平行截面，从而确定点P落在线段AC中点的位置为最小值的位置．
【解答】
解：扩展平面EFG，得截面EFGHQR，其中H，Q，R分别是所在棱的中点．
因为直线D1P与平面EFG不存在公共点，所以D1P//平面EFGHQR．
由中位线定理知AC//EF.又EF⊂平面EFGHQR,AC⊄平面EFGHQR，所以AC//平面EFGHQR．
同理可得AD1//平面EFGHQR，又因为AC∩AD1=A，AC，AD1⊂平面D1AC．
所以平面D1AC//平面EFGHQR，
所以当D1P与AC在平面D1AC内相交，即当点P在AC上时，直线D1P与平面EFG不存在公共点．
设底面ABCD的中心为O，
因为BO⊥AC，所以当点P与点O重合时，BP最小，
此时三角形PBB1的面积最小，最小值为12×2×2=2．
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线与直线平行的判断，根据线面平行的性质判定C正确
【解答】
解：对于A.直线a，b可能平行、相交或异面;
对于B，D，直线a，b可能平行或异面，由线面平行的性质可知C正确，
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三棱柱的结构特征，线面平行的判定及性质，属于基础题．
先利用三棱柱的结构特征得出AB//A1B1，再利用线面平行的判定定理得出A1B1//平面ABC，最后再利用线面平行的性质即可得解．
【解答】
解：在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB//A1B1，
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1//平面ABC，
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE//A1B1，
∴DE//AB．
故选B．
13.【答案】2
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面与平面平行的性质，以及线段长度的求解，同时考查了推理能力，转化与划归的思想，属于中档题．
连接B1D1、CD1、B1C，根据面面平行的判定定理可知平面B1D1C//平面A1BD，又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，则点P须在线段CD1上运动，即满足条件，求出CD1即可求出所求．
【解答】
解：连接B1D1、CD1、B1C，
易证B1D1//BD，CD1//BA1，
因为BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1//平面A1BD，
同理CD1//平面A1BD，
因为B1D1与CD1为平面B1D1C内两相交直线，所以平面B1D1C//平面A1BD，
又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，
则点P只须在线段CD1上运动，即满足条件，
CD1=2，
则点P轨迹的长度是2，
故答案为：2．
14.【答案】若l⊥α，l⊥m，则m//α．
【解析】
【分析】
本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
由线面平行判定定理，求得结果．
【解答】
解：l，m是平面α外的两条不同直线，由线面平行的判定定理，
得：若l⊥α，l⊥m，则m//α，
故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m//α．
15.【答案】52
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方体的结构特征，直线与平面平行的性质定理，属于基础题．
由题意先分析出点E是C1D1中点，再利用勾股定理求解．
【解答】
解：连接BC1，交B1C于点O，连接OE，
∵E是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且四边形BCC1B1是正方形，
∴O是BC1中点，
∵BD1//平面B1CE，BD1⊂平面BC1D1，平面BC1D1∩平面B1CE=OE，
∴BD1//OE，
∴E是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1的中点，
∴CE=12+122=52．
故答案为52．
16.【答案】2
60°
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的长度，角度求解，为基础题．
将题中线面平行转化为线线平行，确定F的位置，然后求解．
【解答】
解：由于在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，
∴AC=22，
又E为AD中点，EF//平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，
∴EF//AC.
∴F为DC中点．
∴EF=12AC=2．
因为三角形B1AC是边长为22的正三角形，
所以∠B1AC=60°，
故答案为2；60°．
17.【答案】(1)③⑤
(2)②⑤
【解析】
【分析】
本题主要考查线面、面面平行与垂直的定义，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
(1)由两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，即可得出结论；
(2)由两个平面平行，一条直线垂直于一个平面，则一定垂直于另一个平面．
【解答】
解：(1)因为m⊂α，α // β，
所以m // β，
故答案为③⑤；
(2)因为m⊥α，α // β，
所以m⊥β，
故答案为②⑤．
故答案为(1)③⑤;(2)②⑤．
18.【答案】1
π3
【解析】
【分析】
本题考查了空间知识的综合应用，涉及了线面平行的性质定理、球面与平面的交线问题，综合性强，对知识的广度和深度都有较高的要求．
连接A1B与AB1相交于E点，连接ED，由线面平行的性质定理得BC1//ED，进而可得D为A1C1的中点，进一步计算可得A1DDC1的值；由题意得出∠A1B1C1=90∘，过D作DH⊥A1B1垂足为H，
则D到平面AA1B1B的距离为DH=12，以D为球心，以52为半径的球面与侧面AA1B1B的交线为以H为圆心的弧MN，求出半径，求出∠MHN=π3，进而得弧长．
【解答】
解：连接A1B与AB1相交于E点，连接ED，
显然E为A1B中点，E为AB1中点，
又∵BC1//平面AB1D，
平面BC1A1∩平面AB1D=ED，
BC1⊂平面BC1A1，
∴BC1//ED，
在△BC1A1中，
E为BA1中点，
故D为A1C1中点，
∴A1DDC1=1，
因为AB=BC=AA1=1，AC=2，所以
∠A1B1C1=90∘，又D为A1C1的中点，过D作
DH⊥A1B1垂足为H，
则D到平面AA1B1B的距离为DH=12，
以D为球心，以52为半径的球面与侧面
AA1B1B的交线为以H为圆心的弧MN，半径
r=54−14=1，
因为A1H=B1H=12，HM=HN=1
∴∠A1HM=∠B1HN=π3，
所以∠MHN=π3，
则MN的弧长为1×π3=π3．
故答案为：1；π3．
19.【答案】证明：(1)∵E，F分别是B1C1，C1D1的中点，
∴EF//B1D1，
∵B1D1//BD，
∴EF//BD，
∴E，F，B，D，四点共面．
(2)∵M，N分别是A1B1，D1A1的中点，
∴MN//B1D1，
∵EF//B1D1，
∴MN//EF，
∵F，N分别是D1C1、A1B1的中点，
∴MF= //A1D1，
∵A1D1= //AD，∴MF= //AD，
∴四边形MFDA是平行四边形，
∴AM//DF，
∵MN∩AM=M，EF∩DF=F，MN，AM⊂面MAN，EF，DF⊂面EFDB．
∴面MAN//面EFDB．
【解析】本题考查四点共面的证明，考查两个平面平行的证明．解题时要认真审题，注意中位线定理和平行公理的合理运用，为中档题．
(1)由E，F分别是B1C1，C1D1的中点，知EF//B1D1，从而得到EF//BD，由此能证明E，F，B，D，四点共面．
(2)由题设条件推导出MN//EF，AM//DF，由此能够证明面MAN//面EFDB．
20.【答案】证明：(1)四棱锥P−ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°，
∴BC//AD，
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴直线BC//平面PAD．
解：(2)由AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°．
设AD=2x，则AB=BC=x，CD=2x，
设O是AD的中点，连接PO，OC，
设CD的中点为E，连接OE，
则OE=22x，
由侧面PAD为等边三角形，则PO=3x，且PO⊥AD，
平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，且PO⊂平面PAD，
故PO⊥底面ABCD，
又OE⊂底面ABCD，故PO⊥OE，
则PE=PO2+OE2=7x2，
又由题意可知，PC=PD，故PE⊥CD，
△PCD面积为27，可得12PE⋅CD=27，
即12×72x⋅2x=27，
解得x=2，则PO=23，
则VP−ABCD=13×12(BC+AD)×AB×PO
=13×12×(2+4)×2×23=43．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
(1)由BC//AD，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
(2)利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积V P−ABCD=13×12(BC+AD)×AB×PO即可．
21.【答案】证明：(1)由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F，
故GF//AC，
∵GF⊄面ABC，AC⊂面ABC，
∴GF//面ABC，
解：(2)线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC中点，
理由如下：由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH//EB//AD，
∵GH⊄面ACD，AD⊂面ACD，
∴GH//面ACD，
由(1)可知，GF//AC，GF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴GF//面ACD，
且GF∩GH=G，GF、GH⊂面GFH，
故面GFH//面ACD．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查满足面面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
(1)推导出GF//AC，由此能证明GF//面ABC．
(2)由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH//EB//AD，从而GH//面ACD，再由GF//面ACD，得BC上存在中点H，使面GFH//面ACD．
22.【答案】解：(1)证明：由题意，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，
∴∠DEA=∠CEB=45°，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AE，
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，BE⊂平面ABCE，
∴BE⊥平面D′AE，
∵AD′⊂平面D′AE，
∴AD′⊥BE；
(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，D′F⊂平面D′AE，
∴D′F⊥平面ABCE，
∴VD′−ABCE=13S四边形ABCE· D′F
=13×121+2×1×22=24；
(3)如图所示，
连结AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B//平面PAC，连接PQ，
∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC=PQ，
∴D′B//PQ，
∴在△EBD′中，EPPD′=EQQB，
∵ 在梯形ABCE中，EQQB=ECAB=12，
∴EPPD′=EQQB=12，即EP=13ED′，
∴在棱D′E上存在一点P，且EP=13ED′，使得D′B//平面PAC．
【解析】本题考查平面与平面垂直的性质，直线与平面平行的性质、四棱锥的体积公式，为中档题．
(1)由题意，在长方形ABCD中，可知BE⊥AE，根据面面垂直的性质定理可以证明AD′⊥BE；
(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，由面面垂直的性质定理可以证明D′F⊥平面ABCE，从而求出VD′−ABCE；
(3)连结AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B//PQ，根据平行线的性质结合平面几何知识，即可得到EP与ED′之间的关系．
23.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD交AC于O点，连接OP，
因为O为矩形对角线的交点，
则O为BD的中点，
又P为DD1的中点，
则OP//BD1，
又因为OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
所以直线BD1//平面PAC；
(Ⅱ)解：取BB1的中点Q，则平面PAC//平面A1C1Q，
证明：因为P为DD1的中点，Q为BB1的中点，
∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1= //CC1，
故四边形A1ACC1是平行四边形，
∴AC//A1C1，
因为A1C1⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以A1C1//平面PAC，
同理可得A1Q//平面PAC，
又A1C1∩A1Q=A1，A1C1⊂平面A1C1Q，A1Q⊂平面A1C1Q，
所以平面PAC//平面A1C1Q.
【解析】本题主要考察空间几何体中线面平行的判定以及面面平行的判定定理，为中档题．
(Ⅰ)连接BD交AC于O点，连接OP，因为O为矩形对角线的交点，O为BD的中点，P为DD1的中点，则OP//BD1，再由线面平行的判断定理可得直线BD1//平面PAC．
(Ⅱ)取BB1的中点Q，得A1C1//平面PAC，同理可得A1Q//平面PAC，由面面平行得判定定理即得证．
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