数学必修 第一册5.2 三角函数的概念习题

5.2三角函数的概念

一．选择题（共5小题）

1．已知长方形的四个顶点：，，，．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）．设的坐标为，，若，则的范围是　　

A． B． C． D．

2．如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，，当时四边形的面积取得最大，则的值为　　

A． B． C． D．

3．已知角的终边与单位圆相交于点，现将角的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，所得射线与单位圆相交于点，则点的横坐标为　　

A． B． C． D．

4．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作轴，垂足为，直线与的图象交于点，则线段的长为　　

A． B． C． D．

5．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，，若，则的值为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

6．如图，正方形中，，分别为，的中点，设，则　　．

7．设的三边，，所对的角分别为，，．若，则　　，的最大值是　　．

8．如图，单位圆的圆心初始位置在点，圆上一点的初始位置在原点，圆沿轴正方向滚动．当点第一次滚动到最高点时，点的坐标为　　；当圆心位于点时，点的坐标为　　．

9．“无字证明” 就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：　　．

三．解答题（共4小题）

10．是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．

11．如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点、在单位圆上，且，，．

（1）求的值；

（2）设，，四边形的面积为，，求的最值及此时的值．

12．如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点．

（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；

（2）已知点，，，求

13．已知

（1）求的值；

（2）若圆的圆心在轴上，圆心到直线的距离为且直线被圆所截弦长为，求圆的方程．

5.2三角函数的概念

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．已知长方形的四个顶点：，，，．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）．设的坐标为，，若，则的范围是　　

A． B． C． D．

【分析】本题可以画出图形，由，利用对称性得到角的关系，然后利用三角函数来解答，可以设，得到这些角的三角函数值关于的关系式，再由的坐标为，以及，可解得的取值范围．

【解答】解：设，

，则，

、、均为，，

又，

．

而，

．

又，

．

依题设，即，

，

即有，

则，

故选：．

【点评】本题考查三角函数的概念以及利用三角函数解答相关问题的能力，轴对称图形的应用，对解不等式及不等式思想的考查等内容，属于中档题．

2．如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，，当时四边形的面积取得最大，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．

【解答】解：在直角中，，，

又在直角中：，

又，

，

，

当时，最大．

即．

即，，

，，

．

故选：．

【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．

3．已知角的终边与单位圆相交于点，现将角的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，所得射线与单位圆相交于点，则点的横坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角函数的定义，得到将的终边绕着点顺时针旋转对应的直线的角的大小，利用两角和差的余弦公式进行求解即可

【解答】解：角的终边与单位圆相交于点，

，，

将的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，此时角为，

则点的横坐标为；

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．

4．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作轴，垂足为，直线与的图象交于点，则线段的长为　　

A． B． C． D．

【分析】由条件求得，可得线段 的值．

【解答】解：由，，可得，即，

即，求得，

故线段，

故选：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的图象特征，属于中档题．

5．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，，若，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得、的值，可得和的值，从而求得所给式子的值．

【解答】解：，点的坐标为，，故，为等边三角形，，

又，，，，

．

，

．

，

故选：．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．

二．填空题（共4小题）

6．如图，正方形中，，分别为，的中点，设，则　　．

【分析】根据直角三角形中的边角关系可得 和，可求出，进而求得

的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值．

【解答】解：设正方形的边长等于1，根据直角三角形中的边角关系可得，

，，

，

故，

故答案为．

【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，求出，

是解题的关键，属于中档题．

7．设的三边，，所对的角分别为，，．若，则　　，的最大值是　　．

【分析】由已知可得，利用同角三角函数基本关系式，余弦定理可求的值，利用两角和的正切函数公式，基本不等式即可求解的最大值．

【解答】解：设的三边，，所对的角分别为，，．，可得为钝角，

，

则．

，

．

，可得，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

可得的最大值是，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

8．如图，单位圆的圆心初始位置在点，圆上一点的初始位置在原点，圆沿轴正方向滚动．当点第一次滚动到最高点时，点的坐标为　　；当圆心位于点时，点的坐标为　　．

【分析】当点第一次滚动到最高点时，点向右滚动了圆的半个周长，因此点的坐标为；当圆心位于时，，此时圆心角为3，点的横坐标为，纵坐标为，

【解答】解：作辅助线如图，

当点第一次滚动到最高点时，点向右滚动了圆的半个周长，因此点

的坐标为；

当圆心位于时，，此时圆心角为3，点的横坐标为，纵坐标为，

故答案为：，．

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．

9．“无字证明” 就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：　，　．

【分析】令，，，然后分别在四个直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出边长，根据和可得结果．

【解答】解：令，，，

在直角三角形中，，，则，，

在直角三角形中，，，则，，

在直角三角形中，，，则，，

，，

在直角三角形中，，故．

，故．

故答案为：，．

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．

三．解答题（共4小题）

10．是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．

【分析】首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的、．

【解答】解　存在，使等式同时成立．理由如下：

由条件得，

两式平方相加得，，即．

，，或．

将代入②得．又，

，代入①可知，符合．

将代入②得，代入①可知，不符合．

综上可知，．

【点评】本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．

11．如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点、在单位圆上，且，，．

（1）求的值；

（2）设，，四边形的面积为，，求的最值及此时的值．

【分析】（1）依题意，可求得，将中的“弦”化“切”即可求得其值；

（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得，利用，即可求得的最值及此时的值．

【解答】解：（1）依题意，，

；

（2）由已知点的坐标为，

又，，

四边形为菱形，

，

，，

，

，

，

当，即时，；

当，即时，．

【点评】本题考查三角函数的最值，着重考查三角函数中的恒等变换应用及向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性及最值，属于中档题．

12．如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点．

（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；

（2）已知点，，，求

【分析】（1）利用三角函数的定义与和差公式即可得出．

（2）利用三角函数求值、和差公式、数量积运算性质即可的．

【解答】解：（1）点的纵坐标为，点的横坐标为，

，

，为锐角，，，

，

（2），

，

，

，，．

【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式、三角函数求值、和差公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．已知

（1）求的值；

（2）若圆的圆心在轴上，圆心到直线的距离为且直线被圆所截弦长为，求圆的方程．

【分析】利用诱导公式对已知等式进行化简得到，则，代入所求的代数式进行求值；

利用圆心，半径（圆心到直线的距离为、半弦长、弦心距的勾股定理关系，求出圆心坐标，然后求出圆的标准方程．

【解答】解：（1）由，

得，

；

（2）由（1）知，，则，

可得直线的方程为．

设圆的方程为，则，

由得，

圆的方程是．

【点评】本题考查了同角三角函数基本关系的应用、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力