人教版九年级数学上册课时作业 24.3　正多边形和圆

24.3　正多边形和圆

一、选择题

1.(2023河南商丘永城月考)若正n边形的中心角为45°,则n的值为 (　　)

A.6　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12

2.(2022山东青岛中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点M在上,则∠CME的度数为              (　　)

A.30°　　　　B.36°　　　　C.45°　　　　D.60°

3.(2023河北邯郸广平期末)已知正六边形ABCDEF,G是DE的中点,连接BG并延长交CD的延长线于点H,若△BCH的面积为6,则五边形ABGEF的面积为              (　　)

A.12　　　　B.10　　　　C.8　　　　D.6

二、填空题

4.(2022黑龙江绥化中考)如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O,且有公共顶点A,则∠BOH的度数为　　　　度. 

5.(2023广东佛山禅城期中)如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为(-2,0),则点F的坐标为　　　　. 

6.(2021广西梧州中考)如图,正六边形ABCDEF的周长是24 cm,连接这个六边形的各边中点G,H,K,L,M,N,则六边形GHKLMN的周长是

　　　　cm. 

三、解答题

7.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在劣弧上(不与C点重合).

(1)求∠BPC的度数;

(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.

8.如图,已知正五边形ABCDE中,BF与CM相交于点P,CF=DM.

(1)求证:△BCF≌△CDM;

(2)求∠BPM的度数.

答案全解全析

1.答案　B　由题意得,=45°,解得n=8.故选B.

2.答案　D　如图,连接OC,OD,OE,

∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠COD=∠DOE=60°,

∴∠COE=2∠COD=120°,∴∠CME=∠COE=60°.故选D.

3.答案　C　如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,连接BE、BD,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠OED=∠EDH=60°.在△BGE和△HGD中,∴△BGE≌△HGD(ASA),∴DH=BE,BG=HG,S△BGE=S△HGD,∴CD=DH,∴S△BCD=S△BDG=S△BGE=2,∴五边形ABGEF的面积为6+2=8.故选C.

4.答案　12

解析　如图,连接OA,正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60°,正五边形的中心角∠AOH=360°÷5=72°,∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°.

5.答案　(-1,)

解析　如图,连接OE,OF.∵∠EOF==60°,OE=OF,∴△EOF是等边三角形.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴OF=OA=2.设EF交y轴于G,由正六边形是轴对称图形知,∠GOF=30°.在Rt△GOF中,

∠GOF=30°,OF=2,∴GF=OF=1,∴OG=,∴F(-1,).

6.答案　12

解析　如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,连接OG,OA,OB.∵正六边形ABCDEF的周长是24 cm,∴OA=OB=AB=×24=4(cm).∵点G是AB的中点,∴∠AGO=90°,AG=2 cm,由勾股定理得OG=2(cm).∵顺次连接正六边形ABCDEF各边的中点G、H、K、L、M、N得到的六边形为正六边形,O为正六边形GHKLMN的中心,∴NG=OG=2 cm,∴六边形GHKLMN的周长是2(cm).

7.解析　(1)如图,连接OB,OC.

∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,

∴∠BPC=∠BOC=45°.

(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,

∵OB=OC,∠BOC=90°,

∴∠OBE=45°,∵OE⊥BC,∴∠BOE=45°=∠OBE,∴OE=BE,

∵OE2+BE2=OB2,∴BE=,

∴BC=2BE=2×4,即正方形ABCD的边长为8.

8.解析　(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,

∴BC=CD,∠BCF=∠CDM.

在△BCF和△CDM中,

∴△BCF≌△CDM.

(2)∵五边形ABCDE是正五边形,

∴∠BCF==108°,

∴∠CBF+∠CFB=180°-∠BCF=72°,

∵△BCF≌△CDM,∴∠MCD=∠CBF,

∴∠MCD+∠CFB=72°,

∴∠BPM=∠CPF=180°-(∠MCD+∠CFB)=108°.