新教材2023_2024学年高中数学第一章数列3等比数列3.1等比数列第二课时等比数列的性质及应用分层作业北师大版选择性必修第二册

第一章第2课时　等比数列的性质及应用

A级 必备知识基础练

1.(多选题)已知{an}是等比数列,a2=2,a6=,则公比q=(　　)

A.- B.-2 C.2 D.

2.在等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于 (　　)

A. B. C. D.

3.(多选题)已知等比数列{an},a1=1,q=2,则(　　)

A.数列是等比数列

B.数列是递增数列

C.数列{log2an}是等差数列

D.数列{log2an}是递增数列

4.(多选题)[2023辽宁鞍山一中校考期中]已知数列{an},{bn},下列说法正确的有(　　)

A.若an=2-5n,则{an}为递减数列

B.若b1≠0,bn+1=3bn,则{bn}为等比数列

C.若数列{bn}的公比q=-1,则{bn}为递减数列

D.若数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则{an}为等差数列

5.(多选题)[2023黑龙江哈尔滨三中阶段练习]已知等差数列{an}的公差d和首项a1都不等于0,且a3,a5,a8成等比数列,则下列说法正确的是(　　)

A. B.=2

C.a1=2d D.d=2a1

6.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为(　　)

A.8 B.9 

C.10 D.11

7.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=　　　　. 

8.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为　　　　　. 

9.已知在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=　　　　. 

10.已知数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,a4=9,S4=24.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若bn=,求证:{bn}为等比数列.

11.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.

B级 关键能力提升练

12.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是(　　)

A. B. C.2 D.2

13.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为(　　)

A.100 B.-100

C.10 000 D.-10 000

14.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于(　　)

A.12 B.13 C.14 D.15

15.(多选题)[2023北京高二阶段练习]已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,则下列说法正确的是(　　)

A.若a1>0,则S4>a8 B.若a1>0,则S4≤a8

C.若a1<0,则S4>a8 D.若a1<0,则S4<a8

16.(多选题)[2023吉林白城高二阶段练习]若数列{an}为等比数列,则下列一定成立的是(　　)

A.若a3>0,则a2 023<0 B.若a4>0,则a2 022<0

C.若a3>0,则a2 021>0 D.若a4>0,则a2 020>0

17.(多选题)[2023贵州黔西南高二统考期末]若等比数列{an}的第4项和第6项分别是48和12,下列选项中说法正确的是(　　)

A.{an}的公比为或-

B.{an}的第5项是24

C.a3·a2 022=a1·a2 024

D.a3+a2 022=a1+a2 024

18.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=　　　　. 

19.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=　　　　　　　　. 

20.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a6=2,a4+a5=12.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=a1a3a5…a2n-1,n∈N+,求数列{bn}的最大项.

C级 学科素养创新练

21.记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=2a1,且数列{Sn+a1}是等比数列,求证:{an}是等比数列.

参考答案

第2课时　等比数列的性质及应用

1.AD　由题意可得q4=,解得q=或-.

故选AD.

2.C　a2a6==a3a5,∴a3a5=.

3.ACD　由a1=1,q=2得an=2n-1,,所以数列是等比数列且为递减数列,故A正确,B不正确;log2an=n-1,数列{log2an}是递增的等差数列,故C,D正确.故选ACD.

4.ABD　对于A,当n∈N+时,an+1-an=2-5(n+1)-(2-5n)=-5<0,即an+1<an,A正确;

对于B,因为b1≠0,n∈N+,所以bn≠0,由已知得=3,则{bn}是以3为公比的等比数列,B正确;

对于C,当b1=1时,b2=-b1=-1,b3=-b2=1,则b3>b2,故{bn}不是递减数列,C错误;

对于D,由Sn=n2+2n得当n=1时,a1=S1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2n+2=2n+1,检验得,当n=1时,满足an=2n+1,所以an+1-an=2,则{an}为等差数列,D正确.

故选ABD.

5.BC　由a3,a5,a8成等比数列,则a3a8=,即(a1+2d)(a1+7d)=(a1+4d)2,即a1d=2d2,又因为公差d和首项a1都不等于0,则a1=2d,故C正确,D错误;

所以=2,故A错误,B正确.

故选BC.

6.C　由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9,

∴a1am=a5a6,∴m=10,故选C.

7.-6　由题意知,a3=a1+4,a4=a1+6.

∵a1,a3,a4成等比数列,∴=a1a4,

∴(a1+4)2=(a1+6)a1,

解得a1=-8,∴a2=-6.

8.8　设这8个数组成的等比数列为{an},

则a1=1,a8=2.

插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.

9.8　由等比数列的性质,得a3a11=,∴=4a7.

∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.

再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.

10.(1)解因为{an}是等差数列,a4=9,S4=24,

所以解得

所以an=3+2(n-1)=2n+1.

(2)证明bn==32n+1,所以=9,

所以{bn}是以9为公比的等比数列.

11.解∵{an}是等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64.

又a3+a7=20,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.

①当a3=4,a7=16时,=q4=4,此时a11=a3q8=4×42=64.

②当a3=16,a7=4时,=q4=,此时a11=a3q8=16×2=1.

12.C　∵奇数项之积为2,偶数项之积为64,

∴a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,

则=q5=32,则q=2,故选C.

13.C　∵lg(a3a8a13)=lg=6,

∴=106,∴a8=102=100.∴a1a15==10000.

14.C　设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12,可得q9=3,an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14,故选C.

15.AD　设等差数列{an}的公差为d≠0,

∵a1,a2,a5成等比数列,则=a1a5,

可得(a1+d)2=a1(a1+4d),整理得d2=2a1d,

由d≠0,则d=2a1,

则S4-a8=(4a1+6d)-(a1+7d)=3a1-d=3a1-2a1=a1,

对于A,B,若a1>0,即S4-a8=a1>0,

故S4>a8,A正确,B错误;

对于C,D,若a1<0,即S4-a8=a1<0,

故S4<a8,D正确,C错误.

故选AD.

16.CD　若a3=a1q2>0,则a1>0,所以a2023=a1q2022>0,故A错误;

若a4=a1q3>0,则a2022=a1q2021=a1q3·q2018>0,故B错误;

若a3=a1q2>0,则a1>0,所以a2021=a1q2020>0,故C正确;

若a4=a1q3>0,则a2020=a1q2019=a1q3·q2016>0,故D正确.

故选CD.

17.AC　设该等比数列的公比为q,

由题意可知,a6=a4q2,则q2=,解得q=±,选项A正确;

a5=a4q=48×=±24,选项B不正确;

由等比数列性质知,a3·a2022=a1·a2024,故选项C正确,D不正确.

故选AC.

18.18　由题意得a4=,a5=,∴q==3.

∴a6+a7=(a4+a5)q2=×32=18.

19.1 024　设等比数列{an}的公比为q,

a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=·q6=1, ①

a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=·q54=8,②

②÷①得q48=8,q16=2,

∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=·q166=·q6·q160=(·q6)(q16)10=210=1024.

20.解(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),

由a6=2,a4+a5=12,得

解得(舍去),

∴an=64×=27-n.

(2)bn=a1a3a5…a2n-1=26×24×22×…×28-2n=,

∴当n=3或n=4时,bn取得最大项212.

21.证明设等比数列{Sn+a1}的公比为q,

则q==2,

∴Sn+a1=2a1·2n-1=a1·2n,∴Sn=a1·(2n-1),

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a1[(2n-1)-(2n-1-1)]=a1·2n-1,

当n=1时也适合,∴an=a1·2n-1(n∈N+),

∴=2,

∴{an}是等比数列.