高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3 导数的计算练习

2.3　导数的计算

1.若f'(x0)=-2，则等于 (　　)

A.-2 B.-1 C.2 D.1

【答案】D

【解析】根据导数定义可知，=-=-f'(x0)=1，故选D.

2.下列各式中正确的个数是(　　)

①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③'=-;④()'=;⑤(cos x)'=-sin x;⑥(cos 2)'=-sin 2.

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】B

【解析】∵②(x-1)'=-x-2，

⑥(cos 2)'=0，

∴②⑥不正确.故选B.

3.若函数f(x)=cos x，则f'+f的值为 (　　)

A.0 B.-1 C.1 D.2

【答案】A

【解析】f'(x)=-sin x，

所以f'+f=-sin+cos=0.

4.已知f(x)=xa，若f'(1)=4，则a的值等于(　　)

A.4 B.-4 C.5 D.-5

【答案】A

【解析】∵f'(x)=axa-1，f'(1)=a(1)a-1=4，

∴a=4.

5.函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为　　　　　　. 

【答案】16

【解析】f'(3)=

=

=16.

6.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2，则物体的初速度是　　　　. 

【答案】3

【解析】v初=s'(0)=(3-Δt)=3.

7.已知f(x)=，g(x)=mx，且g'(2)=，则m=　　　　. 

【答案】-4

【解析】由题得，f'(x)=-，g'(x)=m.

∵g'(2)=，∴m=-4.

8.设直线y=x+b是曲线y1=ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为　　　　. 

【答案】ln 2-1

【解析】因为y1'=(ln x)'=，设切点为(x0，y0)，

由题意，得，所以x0=2，y0=ln 2，

代入直线方程y=x+b，得b=ln 2-1.

9.利用导数的定义求函数y=f(x)=x-的导数.

解由导数定义，得Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)--x-，

∴=1+，当Δx趋于0时，得到导数f'(x)=1+.

10.用求导数的公式求下列函数的导数.

(1)y=x8;(2)y=4x;(3)y=log3x;(4)y=sinx+;(5)y=e2.

解(1)y'=(x8)'=8x8-1=8x7.

(2)y'=(4x)'=4xln 4.

(3)y'=(log3x)'=.

(4)y'=sinx+'=(cos x)'=-sin x.

(5)y'=(e2)'=0.

11.已知函数f(x)在x0处的导数为f'(x0)，则等于(　　)

A.mf'(x0) B.-mf'(x0)

C.-f'(x0) D.f'(x0)

【答案】A

【解析】根据题意，

=m=mf'(x0).

12.已知曲线f(x)=x3在点(2，8)处的切线方程为y=kx+b，则k-b等于(　　)

A.4 B.-4 C.28 D.-28

【答案】C

【解析】∵点(2，8)在切线上，∴2k+b=8， ①

又f'(x)=3x2，f'(2)=3×22=12=k， ②

由①②可得k=12，b=-16，

∴k-b=28.

13.设正弦曲线y=sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A.0，∪，π B.[0，π)

C. D.0，∪

【答案】A

【解析】∵(sin x)'=cos x，∴kl=cos x，

∴-1≤kl≤1，∴α∈0，∪，π.

14.(多选题)以下运算正确的是(　　)

A.'= B.(cos x)'=-sin x

C.(2x)'=2xln 2 D.(tan x)'=

【答案】BCD

【解析】'=-，所以A不正确;因为(cos x)'=-sin x，故B正确;因为(2x)'=2xln 2，所以C正确;因为(tan x)'=，所以D正确.

15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，则当k=3时的P点坐标为(　　)

A.(-1，1) B.(-1，-1)

C.(1，1) D.(1，-1)

【答案】BC

【解析】由题得，y'=3x2，因为k=3，所以3x2=3，所以x=±1，则P点坐标为(-1，-1)或(1，1).

16.设函数f(x)在x=x0处可导，当h趋于0时，对于的值，以下说法正确的是　　　　　　.(填序号) 

①与x0，h都有关;

②仅与x0有关而与h无关;

③仅与h有关而与x0无关;

④与x0，h均无关.

【答案】①

17.设f0(x)=sin x，f1(x)=f'0(x)，f2(x)=f'1(x)，…，fn+1(x)=f'n(x)，n∈N，则f2 020(x)=　　　　　. 

【答案】sin x

【解析】由已知得，f1(x)=cos x，f2(x)=-sin x，

f3(x)=-cos x，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 020(x)=f4(x)=sin x.

18.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak，)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中k∈N+，若a1=16，则a1+a3+a5的值是　　　　. 

【答案】21

【解析】∵y'=2x，∴y=x2(x>0)的图象在点(ak，)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1，0)，∴ak+1=ak，即数列{ak}是首项为a1=16，公比为q=的等比数列，∴a3=4，a5=1，∴a1+a3+a5=21.

19.已知P为曲线y=ln x上的一动点，Q为直线y=x+1上的一动点，则当点P的坐标为　　　　时，PQ最小，此时最小值为　　　　. 

【答案】(1，0)　

【解析】如图，

当直线l与曲线y=ln x相切且与直线y=x+1平行时，切点到直线y=x+1的距离即为PQ的最小值.易知(ln x)'=，令=1，得x=1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为.

20.已知f(x)=x2，g(x)=x3，求适合f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值.

解f'(x0)=2x0，g'(x0)=3.

因为f'(x0)+2=g'(x0)，

所以2x0+2=3，即3-2x0-2=0，解得x0=或x0=.

21.设曲线y=(n∈N+)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lg xn，求a1+a2+…+a99的值.

解由题得y'=(n+1)xn，故在点(1，1)处的切线斜率k=n+1，所以切线方程为y=(n+1)x-n(n∈N+)，可求得切线与x轴的交点为，0，则an=lg=lg n-lg(n+1)，n∈N+，所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2.