北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第一课时一课一练

3.1　等比数列的概念及其通项公式

第1课时　等比数列的概念及其通项公式

A级 必备知识基础练

1.有下列四个说法:

①等比数列中的某一项可以为0;

②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);

③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;

④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.

其中正确说法的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

2.[2023黑龙江齐齐哈尔第八中学校考期中]已知在等比数列{an}中,=2,a4=8,则a3=(　　)

A.16 B.4 C.2 D.1

3.[2023河南平顶山第一中学校考期中]在等比数列{an}中,2a1+a2=2,2a4+a5=16,则数列{an}的公比为              (　　)

A.3 B.2 C. D.

4.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 (　　)

A.b=3,ac=9 

B.b=-3,ac=9

C.b=3,ac=-9 

D.b=-3,ac=-9

5.[2023辽宁阜新高二阶段练习]设Tn为数列{an}的前n项积,若an+2an+1=0,n∈N+且a2-a6=30,则当Tn取得最小值时n=(　　)

A.8 B.7 C.6 D.5

6.在等比数列{an}中,若a3=3,a10=384,则公比q=　　　　. 

7.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　　　　　　　. 

8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为　　　　. 

9.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2a5=.

(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式.

(2)试问-是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.

10.在等比数列{an}中.

(1)已知an=625,n=4,公比q=5,求a1;

(2)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式.

B级 关键能力提升练

11.[2023辽宁高二校联考期中]在等比数列{an}中,a1=,公比q=2,则a3与a5的等比中项是(　　)

A.2 B.4 C.±2 D.±4

12.已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,若a1,a3,a7成等比数列,则a2 023=(　　)

A.2 023 B.2 024 C.4 046 D.4 048

13.如图给出了一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为(　　)

 ……

A. B. C. D.

14.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的通项公式为an=(　　)

A.2n-1 B.2n-1 

C. D.n2

15.(多选题)已知等比数列{an}满足:an>0,a2·a5=8a3,a3+a4=6a2,则下列结论中正确的有(　　)

A.a1=2

B.an=2n-1

C.若m,n∈N+,am·an=16,则的最小值为

D.存在m,n,p∈N+,且m<n<p,使得am+an=ap

16.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　. 

17.若等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2,则an=　　　　;若{bn}是等比数列,且b2=a3,b3=a7,b6=ak,则k=　　　　. 

18.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R0>1的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为　　　(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……). 

19.在等比数列{an}中,若{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式an.

C级 学科素养创新练

20.在△ABC中,AD是底边BC上的高,垂足为点D,且.

(1)若边长AB,BC,CA成等比数列,求∠BAC的正弦值;

(2)求的最大值.

参考答案

§3　等比数列

3.1　等比数列的概念及其通项公式

第1课时　等比数列的概念及其通项公式

1.B　只有③正确.

2.B　设等比数列{an}的公比为q,

则=q=2,

∴a3==4.

故选B.

3.B　已知在等比数列{an}中,2a1+a2=2,2a4+a5=16,

则q3==8,可得q=2.

故选B.

4.B　∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,

∴b=-3.∵a,c同号,∴ac=b2=9.

5.C　由题易知an≠0,因为an+2an+1=0,n∈N+,所以=-,

所以数列{an}是公比为-的等比数列.

由a2-a6=30,得-a1-a1=30,解得a1=-64,所以an=-64×,

所以Tn=a1·a2·a3·…·an=a1·a1·a1·…·a1=(-64)n=(-1,要使Tn取得最小值,则为奇数,且取最小值,

当n=6时,满足为奇数,且取最小值,

所以当Tn取得最小值时,n=6,

故选C.

6.2　a3=a1q2=3,a10=a1q9=384,两式相除得,q7=128,

所以q=2.

7.80,40,20,10　设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.∴这4个数依次为80,40,20,10.

8.　设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石,∴+28+28q=98,∴q=2或.

又0<q<1,∴q=.

9.(1)证明∵2an=3an+1,∴.

又数列{an}的各项均为负数,∴a1<0,

∴数列{an}是以为公比的等比数列.

∴an=a1·qn-1=a1·n-1,

∴a2=a1·2-1=a1,

a5=a1·5-1=a1.

又a2·a5=a1·a1=,∴.

又a1<0,∴a1=-.

∴an=-×n-1=-n-2(n∈N+).

(2)解令an=-n-2=-,

则n-2=4,n=6∈N+,

∴-是这个等比数列中的项,且是第6项.

10.解(1)∵an=a1·qn-1,

∴a1==5,故a1=5.

(2)∵a3=a1·q2,即8=2q2,

∴q2=4,∴q=±2.

当q=2时,an=a1qn-1=2×2n-1=2n,

当q=-2时,an=a1qn-1=2(-2)n-1=(-1)n-12n,

∴数列{an}的公比为2或-2,

对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n,n∈N+.

11.D　因为a3a5==(a1q3)2==16,

所以a3与a5的等比中项是±4,

故选D.

12.B　设数列{an}的公差为d,且d≠0,

若a1,a3,a7成等比数列,则=a1a7,

又因为a1=2,所以(2+2d)2=2(2+6d),

化简得4d2-4d=0,即4d(d-1)=0,

又因为d≠0,所以d=1,

所以a2023=2+2022×1=2024.

故选B.

13.C　第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×2=.

14.C　易知an>0,且an≠1,在an+1=的两边同时取常用对数,得lgan+1=2lgan,

故=2,所以数列是以lg2为首项,2为公比的等比数列,

所以lgan=2n-1×lg2=lg,所以an=.

故选C.

15.BC　因为等比数列{an}满足:an>0,a2·a5=a3·a4=8a3,a3+a4=6a2,

所以a4=8,+8=,

解得q=2或q=-3(舍去),

故a1=1,an=2n-1,A错误,B正确;

若m,n∈N+,am·an=2m+n-2=16,

所以m+n=6,

则=5+≥5+2=,

当且仅当且m+n=6,即m=2,n=4时,等号成立,C正确;

若am+an=ap,则2m-1+2n-1=2p-1,

因为m<n<p,所以1+2n-m=2p-m,左边为奇数,右面为偶数,上式不可能成立.

故选BC.

16.1　设等差数列的公差为d,

则a3=a1+2d,a5=a1+4d,

∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,

∴q==1.

17.2n+2　63　由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2,又a1+a2=2a1+d=10,故a1=4,则an=2n+2,所以b2=8,b3=16,得等比数列{bn}的公比q=2,b1=4.又b6=ak,故2k+2=4×25,解得k=63.

18.4 095　初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4人;

经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16(人);

经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64(人).

每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,以4为公比的等比数列,设为{an},

到第n轮传染后,感染人数为an=4×4n-1=4n,

∴由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4095.

19.解由=a10=a5·q10-5,且a5≠0,得a5=q5,

即a1q4=q5,又q≠0,∴a1=q.

由2(an+an+2)=5an+1得,2an(1+q2)=5qan,

∵an≠0,∴2(1+q2)=5q,

解得q=或q=2.

∵a1=q,且{an}为递增数列,∴a1=2,q=2,∴an=2·2n-1=2n(n∈N+).

20.解(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

∵边长AB,BC,CA成等比数列,∴bc=a2.

∵,∴a=3AD,bc=9AD2.

∵S△ABC=bcsin∠BAC=AD·a,

∴9AD2sin∠BAC=AD·3AD,∴sin∠BAC=.

(2)∵BC=3AD,=sin∠BAC,∴=3sin∠BAC+2cos∠BAC=sin(∠BAC+α)≤,且tanα=,

∴的最大值为.