高中数学第一章 数列2 等差数列2.2 等差数列的前n项和第二课时巩固练习

第一章第2课时　等差数列前n项和的综合应用

A级 必备知识基础练

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,a1-a2=a3,则Sn的最大值为(　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

2.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,那么此数列前20项的和为(　　)

A.160 B.180 C.200 D.220

3.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是(　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.1

4.[2023福建厦门统考模拟预测]等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=(　　)

A.9 B. C.12 D.

5.[2023黑龙江哈尔滨九中校考期中]等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,则= (　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

6.数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1(n∈N+),则它的通项公式是　　　　　　　　. 

7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为　　　　　. 

8.一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每秒比前一秒多降落9.80 m,那么落到地面所需要的时间秒数为　　　　. 

9.设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{an}的前n项和公式Sn及使得Sn最大的自然数n的值.

B级 关键能力提升练

10.已知在数列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7,若其前n项和为Sn,则Sn的最大值为(　　)

A.15 B.750 C. D.

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　)

A. B. C. D.

12.已知{an}为项数为2n+1的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)

A. B. C. D.

13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5+5a9=0,且a9>a5,则Sn取得最小值时n的值为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

14.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2 018>0,S2 019<0,则下列说法正确的是(　　)

A.S1 009最大 

B.|a1 009|>|a1 010|

C.a1 010>0 

D.S2 018+S2 019<0

15.在等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,若S10=8且S20=10,则S30的值为　　　　　. 

16.[2023辽宁沈阳二中校考模拟预测]如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”图形.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　)

A.14π B.18π 

C.30π D.44π

17.[2023北京丰台第十二中学高二校考期中]已知等差数列{an}的前n项和公式为Sn,2a3-a2=5,S5-S3=14.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若对∀n∈N+,Sn-an+λ≥0恒成立,求λ的取值范围.

C级 学科素养创新练

18.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.

参考答案

第2课时　等差数列前n

项和的综合应用

1.B　设公差为d,因为a1=3,a1-a2=a3,

所以a1-(a1+d)=a1+2d,解得d=-1,

所以an=3+(n-1)×(-1)=4-n,令an≥0,解得n≤4,

所以当n=3或n=4时Sn取得最大值,且(Sn)max=3+2+1+0=6.

故选B.

2.B　由a1+a2+a3=3a2=-24,得a2=-8,

由a18+a19+a20=3a19=78,得a19=26,于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180.

3.B　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn,

∴λ=-1.

4.A　由已知S3,S6-S3,S9-S6,即3,S6-3,18-S6成等差数列,

所以2×(S6-3)=3+(18-S6),所以S6=9.

故选A.

5.B　∵,

∴由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得,

=8.

故选B.

6.an=　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,

当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2,不符合an=6n-5,∴an=

7.4或5　由解得

∴a5=a1+4d=0,∴S4=S5且同时最大.

∴n=4或5.

8.20　设物体经过t秒降落到地面,物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列,根据题意,则有前t秒降落的距离为4.90t+×9.80=1960,解得t=20,所以落到地面所需要的时间秒数为20.

9.解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,

得解得

所以数列{an}的通项公式为an=11-2n,n∈N+.

(2)由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.

因为Sn=-(n-5)2+25,

所以当n=5时,Sn取得最大值.

10.C　由4an+1=4an-7,可得an+1=an-,

所以数列{an}是以25为首项,-为公差的等差数列,且{an}为递减数列,

an=25+(n-1)×=-n+.

当an=-n+≥0且an+1=-n+<0时,Sn最大,

解得n≤且n>,则n=15,

即数列{an}的前15项均为非负值,第16项开始为负值,

故S15最大,S15=15×25+.

故选C.

11.A　因为等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,

所以S11=S5,

所以11a1+55d=(5a1+10d),

所以a1=-,则.

故选A.

12.B　S奇=,S偶=,

∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴.

13.B　由7a5+5a9=0,得7(a1+4d)+5(a1+8d)=0,12a1+68d=0,a1=-d,=-,

又因为a9>a5,所以a1<0,d>0,所以a1+5d+d=0,

所以a1+5d=a6<0,a1+d+d=a7>0,

则等差数列{an}中满足a6<0,a7>0,且d>0,

数列{an}为递增数列,且当1≤n≤6,n∈N+时,an<0,当n≥7,n∈N+时,an>0,

所以当Sn取得最小值时,n的值为6.

故选B.

14.AB　∵S2018>0,S2019<0,

∴>0,=2019a1010<0,

∴a1009+a1010>0,a1010<0,

可得a1009>0,a1010<0,|a1009|>|a1010|,故A,B都正确,C错误,

例如an=1009.8-n,此时满足条件,但是D选项不成立,故D错误.

15.6　∵在等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,

∴S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,

∴8,2,S30-10成等差数列,

∴2×2=8+S30-10,∴S30=6.

16.D　由题意每段圆弧的中心角都是,第n段圆弧的半径为n,弧长记为an,则an=·n,

所以S11=(1+2+…+11)=44π.

故选D.

17.解(1)设等差数列的公差为d,

由题意可得2a3-a2=(a2+a4)-a2=a4=5,

且S5-S3=a4+a5=14,则a5=9,

可得d=a5-a4=4,a1=a4-3d=-7,

所以an=-7+4(n-1)=4n-11.

(2)由(1)可得Sn==2n2-9n,则Sn-an+λ=(2n2-9n)-(4n-11)+λ=2n2-13n+λ+11,因为y=2n2-13n+λ+11=2+λ-,且n∈N+,则当n=3时,y=2n2-13n+λ+11取到最小值λ-10,可得λ-10≥0,即λ≥10,所以λ的取值范围为[10,+∞).

18.解(1)∵an+2-2an+1+an=0,

∴an+2-an+1=an+1-an,

∴{an}是等差数列,又a1=8,a4=2,

∴d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N+.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,

则Sn=8n+×(-2)=9n-n2.

∵an=10-2n,令an=0,得n=5.

当n>5时,an<0;

当n=5时,an=0;

当n<5时,an>0.

∴当n>5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)

=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn

=2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40,

当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+an=9n-n2.

∴Tn=