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    习题课 错位相减法求和、裂项相消法求和 课件+学案(含答案)

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    这是一份习题课 错位相减法求和、裂项相消法求和 课件+学案(含答案),文件包含习题课错位相减法求和裂项相消法求和课件pptx、习题课错位相减法求和裂项相消法求和教案docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共60页, 欢迎下载使用。

    习题课 错位相减法求和、裂项相消法求和第一章 数 列1.熟练掌握等差数列、等比数列的求和方法.2.掌握裂项相消法求和、错位相减法求和的使用情形和解题要点.学习目标随堂演练课时对点练一、裂项相消法二、错位相减法内容索引一、裂项相消法反思感悟 (1)裂项相消法的原理与规律①把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.②裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.③消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.(2)常见的裂项技巧跟踪训练1 在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列 是等差数列;证明 nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),(2)求数列 的前n项和Sn.所以an=2n2+2n,二、错位相减法例2 已知等比数列{an}满足a1,a2,a3-a1成等差数列,且a1a3=a4.等差数列{bn}的前n项和Sn=(1)求an,bn;解 设{an}的公比为q,{bn}的公差为d.因为a1,a2,a3-a1成等差数列,所以2a2=a1+(a3-a1),即2a2=a3.因此an=a1qn-1=2n.所以b1=S1=1,b1+b2=S2=3,从而b2=2,所以{bn}的公差d=b2-b1=2-1=1,所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)·1=n.解 令cn=anbn,则cn=n·2n.因此Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,又因为2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1= -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2.所以Tn=(n-1)·2n+1+2.(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.延伸探究 设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;解 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),∵2a1=a2+a3,∴2a1=a1q+a1q2,又∵a1≠0,故q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去).(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.解 由a1=1,可得an=a1qn-1=(-2)n-1,设数列{nan}的前n项和为Sn,则Sn=1×(-2)0+2×(-2)1+…+n×(-2)n-1, ①-2Sn=1×(-2)1+2×(-2)2+…+n×(-2)n, ②反思感悟 (1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.(2)用错位相减法求和时,应注意:①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+),等差数列{bn}中,bn>0(n∈N+),且b1+b2+b3=15,3,b4,27成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;解 ∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+),∴an=2Sn-1+1(n∈N+,n>1),∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),即an+1-an=2an,∴an+1=3an(n∈N+,n>1),而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1,∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1(n∈N+).在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5,又3,b4,27成等比数列,得b4=±9,又bn>0,故公差d>0,∴b4=9,d=2,又b2=5,∴bn=2n+1(n∈N+).解 由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)·3n-2+(2n+1)3n-1, ①∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n, ②∴①-②得,-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2× -(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n,∴Tn=n·3n.(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.1.知识清单:(1)错位相减法求和.(2)裂项相消法求和.2.方法归纳:公式法、错位相减法、裂项相消法.3.常见误区:错位相减法中要注意项的符号以及化简合并;裂项求和法中要关注正项与负项的个数是否相同.课堂小结随堂演练√12342.在等比数列{an}中,a5=2,a6=5,则数列{lg an}的前10项和等于A.6 B.5 C.4 D.31234√解析 ∵数列{an}是等比数列,a5=2,a6=5,∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=10,∴lg a1+lg a2+…+lg a10=lg(a1·a2·…·a10)=lg(a5a6)5=5lg 10=5.1234√1234课时对点练基础巩固12345678910111213141516√123456789101112131415√163.已知Tn为数列 的前n项和,若m>T10+1 013恒成立,则整数m的最小值为A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 02312345678910111213141516√又m>T10+1 013,∴整数m的最小值为1 024.123456789101112131415164.(多选)设等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,则下列说法正确的是A.an=2n+1B.d=2√√√解析 设等差数列{an}的公差为d.∵{an}是等差数列,∴a6+a8=30=2a7,解得a7=15,又a2=5,a7-a2=5d,∴d=2.∴an=2n+1. 故A,B正确;123456789101112131415161234567891011121314155.(多选)数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N+都有an+1=an+n+1,则√16√123456789101112131415解析 因为an+1=an+n+1,所以an+1-an=n+1.16数列{an}的第100项为5 050,故A正确,D错误;123456789101112131415166.已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-1,则数列{nan}的前10项和为A.9×210-1 B.9×210+1C.9×211-1 D.9×211+1√12345678910111213141516解析 由Sn=2an-1,得a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2(an-an-1),∴an=2an-1.∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,∴an=2n-1.∴数列{nan}的前10项和为T=1×20+2×2+3×22+…+10×29, ①∴2T=1×2+2×22+3×23+…+10×210. ②故T=9×210+1.12345678910111213141516191234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;解 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.因此an=2n-1,n∈N+.1234567891011121314151612345678910111213141516由(1)知an=2n-1,n∈N+,123456789101112131415161234567891011121314151610.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=Sn+(n+1)·(1)求数列{an}的通项公式;∵a1=2,∴a1+1=3≠0,12345678910111213141516(2)若bn=an+n,求数列{bn}的前n项和Tn.解 由(1)知,bn=n×3n,∴Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n, ①∴3Tn=1×32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1, ②12345678910111213141516123456789101112131415综合运用16√解析 由定义可知a1+a2+…+an=5n2,所以当n≥2时,a1+a2+…+an-1=5(n-1)2,两式相减得an=10n-5(n≥2).当n=1时,a1=5也符合上式,所以an=10n-5,则bn=2n-1.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析 设等差数列{an}的公差为d,则d<0,因为a1a3= -4,a1=13,所以13(13+2d)=(13+d)2-4,解得d=-2或d=2(舍去),所以an=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n,当an=15-2n≥0时,n≤7.5,所以当n≤7时,an>0.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151613.在数列{an}中,a1=1,对于任意自然数n,都有an+1=an+n·2n,则a15等于A.14·215+2 B.13·214+2C.14·215+3 D.13·215+3√12345678910111213141516解析 an+1-an=n·2n,∴a2-a1=1·21,a3-a2=2·22,a4-a3=3·23,… an-an-1=(n-1)·2n-1,以上n-1个等式,累加得an-a1=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1,①又∵2an-2a1=1·22+2·23+3·24+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n, ②12345678910111213141516①- ②得a1-an=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n∴an=(n-2)·2n+3(n≥2),∴a15=(15-2)·215+3=13·215+3.12345678910111213141516A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022√12345678910111213141516所以[S]=2 020.拓广探究12345678910111213141516√点Cn到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,123456789101112131415161234567891011121314151616.数列{an}是等比数列,公比不为1,a1=3,且3a1,2a2,a3成等差数列.(1)设数列{nan}的前n项和为Sn,求Sn;12345678910111213141516解 由题意得4a2=3a1+a3,设{an}的公比为q(q≠1),则q2-4q+3=0,解得q=3,∴an=3n,则nan=n·3n,∴Sn=31+2×32+…+(n-1)×3n-1+n×3n,则3Sn=32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1,两式相减得-2Sn=31+32+…+3n-1+3n-n×3n+11234567891011121314151612345678910111213141516解 由(1)得bn=log3a2n-1=2n-1,12345678910111213141516故不超过T2 021的最大整数为2 022.本 课 结 束
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