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    选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时学案

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    这是一份选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时学案,共7页。

    第1课时 等差数列的概念及其通项公式(一)

    [教材要点]

    要点一 等差数列的概念

    对于一个数列,如果从第________项起,每一项与它的前一项的差都是________,那么称这样的数列为等差数列,称这个________为等差数列的公差,通常用字母________表示.

    状元随笔 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.

    (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,即该常数与n无关.

    (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.

    注意:公差是每一项与其前一项的差,用an-an-1求公差时,要求n≥2,且n∈N*.

    要点二 等差数列的通项公式

    若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为:______________,此公式的推导方法是________.

    状元随笔 等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个量(首项a1,公差d,项数n和第n项an),如果知道了其中的任意三个,就可以由通项公式求出第四个.

    [基础自测]

    1判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

    (1)等差数列的公差不能为0. (  )

    (2)若一个数列从第三项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,则该数列为等差数列. (  )

    (3)若一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差是常数,则该数列为等差数列. (  )

    (4)数列{an}满足an+1ann,则数列{an}是等差数列.(  )

    2.(多选题)下列数列是等差数列的有(  )

    A.1,1,1,1,1     B.4,7,10,13,16

    C.,1,D.-3,-2,-1,1,2

    3.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为(  )

    A.2    B.3

    C.-2    D.-3

    4.已知等差数列{an}中,d=-a7=8,则a1=________.

     

     

    题型一 等差数列的判断

    例1 判断下列数列是否为等差数列.

    (1)an=3-2n;(2)ann2n.

     

     

     

     

     

    方法归纳

    定义法判定等差数列

    (1)作差an+1an

    (2)对差式进行变形;

    (3)当an+1an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.

     

     

     

    跟踪训练1 判断下列数列是不是等差数列?

    (1)9,7,5,3,…,-2n+11,…;

    (2)-1,11,23,35,…,12n-13,…;

    (3)1,2,1,2,…;

    (4)1,2,4,6,8,10,…;

    (5)aaaaa,….

     

     

     

     

     

     

    题型二 等差数列的基本量的计算

    例2 (1)在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则an=________.

    (2)已知数列{an}为等差数列,a3a7=-,则a15=________.

     

     

    方法归纳

    (1)已知ana1nd中的任意三个量,可求出第四个量.

    (2)应用等差数列的通项公式求a1d,运用了方程的思想.一般地,可由amaanb,得求出a1d,从而确定通项公式.

    (3)若已知等差数列中的任意两项aman,求通项公式或其它项时,则运用aman+(mn)d较为简捷.

     

     

    跟踪训练2 等差数列{an}中,a1a2a5=4,an=33,则n等于(  )

    A.50    B.49

    C.48    D.47

    题型三 等差数列的概念及通项公式的综合应用

    例3 已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.

    (1)求b1b2

    (2)求{bn}的通项公式;

    (3){bn}中的第503项是{an}中的第几项?

     

     

     

     

     

    方法归纳

    找出等差数列{an}与等差数列{bn}间的联系是解决本题的关键.

     

     

     

    跟踪训练3 100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

    易错辨析 忽视等差数列中的隐含条件致误

    例4 已知{an}为等差数列,首项为,它从第10项开始比1大,那么公差d的取值范围是(  )

    A.d> B.d<

    C.<d<    D.<d

    解析:由题意可得a1

    解得<d,故选D.

    答案:D

    【易错警示】

    出错原因

    纠错心得

    (1)错选A,只看到了a10>1而忽视了a9≤1,是审题不仔细而致误;

    (2)错选C,误认为a9<1,是由不会读题,马虎造成错误.

    认真审题,充分挖掘题目中的隐含条件.

    [课堂十分钟]

    1下列数列是等差数列的是(  )

    A.  B.1,

    C.1,-1,1,-1    D.0,0,0,0

    2.下列哪个数不是等差数列0,-3,-7,…的项(  )

    A.-20    B.-21

    C.-    D.-

    3.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于(  )

    A.-2    B.-

    C. D.2

    4.等差数列1,-1,-3,…,-89共有________项.

    5.在等差数列{an}中,a1a5=8,a4=7.

    (1)求数列的第10项;

    (2)问112是数列{an}的第几项?

    (3)在80到110之间有多少项?

     

     

     

     

     

     

    第1课时 等差数列的概念及其通项公式(一)

    新知初探·课前预习

    要点一

    2 同一个常数 常数 d

    要点二

    ana1+(n-1)d 累加法

    [基础自测]

    1答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

    2.答案:ABC

    3.解析:由等差数列的定义,得da2a1=-1-1=-2.故选C.

    答案:C

    4.解析:由通项公式得:

    a7a1+(7-1)=8

    解得:a1=10.

    答案:10

    题型探究·课堂解透

    题型一

    例1 解析: (1)∵an+1an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2,是常数,∴数列{an}是等差数列.

    (2)∵an+1an=[(n+1)2-(n+1)]-(n2n)=2n,不是常数,∴数列{an}不是等差数列.

    跟踪训练1 解析:由等差数列的定义得(1),(2),(5)为等差数列,(3),(4)不是等差数列.

    题型二

    例2 解析:(1)由题意得,解得

    an=2+(n-1)×2=2n.

    (2)法一:(方程组法)由

    解得

    a15a1+(15-1)d+14×=-.

    法二:(利用aman+(mn)d求解)由a7a3+(7-3)d,即-+4d,解得d=-

    a15a3+(15-3)d+12×=-.

    答案:(1)2n (2)-

    跟踪训练2 解析:由题得2a1+5d=4,将a1代入得,d,则an(n-1)=33,故n=50.

    答案:A

    题型三

    例3 解析:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列,由于{an}是等差数列,则{bn}也是等差数列.

    (1)因为a1=3,d=-5,所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.

    数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,所以b1a3=-7,b2a7=-27.

    (2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,即bnam

    m=3+4(n-1)=4n-1,

    所以bnama4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n

    即{bn}的通项公式为bn=13-20n.

    (3)b503=13-20×503=-10 047,

    设它是{an}中的第m项,则-10 047=8-5m,解得m=2 011,

    即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项.

    跟踪训练3 解析:100是这个数列的项,

    an=2+(n-1)×7=7n-5,

    由7n-5=100,得n=15,

    ∴100是这个数列的第15项.

    [课堂十分钟]

    1解析:由等差数列的定义可知,D正确.

    故选D.

    答案:D

    2.解析:由题意可知:a1=0,d=-3.

    所以此数列的通项公式为an=-n

    令-n=-20,解得n

    因为-n=-20没有正整数解,

    所以-20不是这个数列的项.

    故选A.

    答案:A

    3.解析:由题意,得

    解得d=-.

    故选B.

    答案:B

    4.解析:由题意知a1=1,d=-2,an=-89

    ana1+(n-1)d=1+(n-1)×(-2)=-89

    解得n=46.

    答案:46

    5.解析:设{an}的公差为d,则

    解得

    (1)a10a1+9d=-2+27=25.

    (2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,

    由112=3n-5,解得n=39.

    所以112是数列{an}的第39项.

    (3)由80<3n-5<110,解得

    28<n<38,因为nN

    所以n的取值为29,30,…,38,共10项.

     

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