选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时学案

第1课时　等差数列的概念及其通项公式(一)

[教材要点]

要点一　等差数列的概念

对于一个数列，如果从第________项起，每一项与它的前一项的差都是________，那么称这样的数列为等差数列，称这个________为等差数列的公差，通常用字母________表示．

状元随笔　(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．

(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．

(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．

注意：公差是每一项与其前一项的差，用an－an－1求公差时，要求n≥2，且n∈N*.

要点二　等差数列的通项公式

若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为：______________，此公式的推导方法是________．

状元随笔　等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量(首项a1，公差d，项数n和第n项an)，如果知道了其中的任意三个，就可以由通项公式求出第四个．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)等差数列的公差不能为0. (　　)

(2)若一个数列从第三项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，则该数列为等差数列. (　　)

(3)若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差是常数，则该数列为等差数列. (　　)

(4)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　)

2．(多选题)下列数列是等差数列的有(　　)

A．1，1，1，1，1　　　　　B．4，7，10，13，16

C．，1，D．－3，－2，－1，1，2

3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)

A．2    B．3

C．－2    D．－3

4．已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________．

题型一　等差数列的判断

例1　判断下列数列是否为等差数列．

(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.

方法归纳

定义法判定等差数列

(1)作差an＋1－an；

(2)对差式进行变形；

(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．

跟踪训练1　判断下列数列是不是等差数列？

(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；

(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；

(3)1，2，1，2，…；

(4)1，2，4，6，8，10，…；

(5)a，a，a，a，a，….

题型二　等差数列的基本量的计算

例2　(1)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则an＝________.

(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.

方法归纳

(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量．

(2)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．

(3)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．

跟踪训练2　等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于(　　)

A．50    B．49

C．48    D．47

题型三　等差数列的概念及通项公式的综合应用

例3　已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．

(1)求b1和b2；

(2)求{bn}的通项公式；

(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？

方法归纳

找出等差数列{an}与等差数列{bn}间的联系是解决本题的关键．

跟踪训练3　100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．

易错辨析　忽视等差数列中的隐含条件致误

例4　已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　)

A．d> B．d<

C．<d<    D．<d≤

解析：由题意可得a1＝，

且即

解得<d≤，故选D.

答案：D

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．下列数列是等差数列的是(　　)

A．  B．1，

C．1，－1，1，－1    D．0，0，0，0

2．下列哪个数不是等差数列0，－3，－7，…的项(　　)

A．－20    B．－21

C．－    D．－

3．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)

A．－2    B．－

C． D．2

4．等差数列1，－1，－3，…，－89共有________项．

5．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.

(1)求数列的第10项；

(2)问112是数列{an}的第几项？

(3)在80到110之间有多少项？

第1课时　等差数列的概念及其通项公式(一)

新知初探·课前预习

要点一

2　同一个常数　常数　d

要点二

an＝a1＋(n－1)d　累加法

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．答案：ABC

3．解析：由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.故选C.

答案：C

4．解析：由通项公式得：

a7＝a1＋(7－1)＝8

解得：a1＝10.

答案：10

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，∴数列{an}是等差数列．

(2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，∴数列{an}不是等差数列．

跟踪训练1　解析：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．

题型二

例2　解析：(1)由题意得，解得

∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2)法一：(方程组法)由

得解得

∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.

法二：(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，

∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.

答案：(1)2n　(2)－

跟踪训练2　解析：由题得2a1＋5d＝4，将a1＝代入得，d＝，则an＝(n－1)＝33，故n＝50.

答案：A

题型三

例3　解析：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．

(1)因为a1＝3，d＝－5，所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.

数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.

(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，

则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，

所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，

即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.

(3)b503＝13－20×503＝－10 047，

设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，解得m＝2 011，

即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．

跟踪训练3　解析：100是这个数列的项，

∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，

由7n－5＝100，得n＝15，

∴100是这个数列的第15项．

[课堂十分钟]

1．解析：由等差数列的定义可知，D正确．

故选D.

答案：D

2．解析：由题意可知：a1＝0，d＝－3.

所以此数列的通项公式为an＝－n＋

令－n＋＝－20，解得n＝，

因为－n＋＝－20没有正整数解，

所以－20不是这个数列的项．

故选A.

答案：A

3．解析：由题意，得

解得d＝－.

故选B.

答案：B

4．解析：由题意知a1＝1，d＝－2，an＝－89

∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×(－2)＝－89

解得n＝46.

答案：46

5．解析：设{an}的公差为d，则

解得

(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.

(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，

由112＝3n－5，解得n＝39.

所以112是数列{an}的第39项．

(3)由80<3n－5<110，解得

28<n<38，因为n∈N＋，

所以n的取值为29，30，…，38，共10项．