第一章 数列 章末检测试卷 课件+Word版

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章末检测试卷(一)
第一章　数　列
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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
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解析　令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C.
1.数列1,3,6,10，…的一个通项公式是
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2.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝ (a≠1，n∈N＋)”时，验证当n＝1时，等式的左边为A.1 B.1－aC.1＋a D.1－a2
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解析　当n＝1时等式左边为1＋a.
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3.已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则x＋y＋mn的值为A.16 B.11 C.－11 D.±11
√
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解析　根据等差和等比数列的性质知x＋y＝5，mn＝6，所以x＋y＋mn＝11.
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4.设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－am0，且Sm＋1<0 B.Sm<0，且Sm＋1>0C.Sm>0，且Sm＋1>0 D.Sm<0，且Sm＋1<0
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解析　因为－am0，a1＋am＋1<0，所以Sm>0，且Sm＋1<0.
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5.已知数列{an}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＋a4＝6，a5＋a6＝11，则a7＋a8等于A.16 B.19 C.20 D.23
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解析　设数列{an}的奇数项依次成公差为d的等差数列，偶数项依次成公比为q的等比数列，由题意知a1＝1，a2＝2，a3＋a4＝6，a5＋a6＝11，
故a7＋a8＝1＋3d＋2q3＝1＋3＋16＝20.
6.设Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1且a1a2a3＝－8，则 等于A.－11 B.－8 C.5 D.11
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解析　设等比数列{an}的公比为q，因为a1a2a3＝－8，所以 ＝－8，a2＝－2，又a1＝1，
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7.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n－1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前55项和为A.4 072 B.2 026 C.4 096 D.2 048
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解析　由题意可知，每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn＝ ＝2n－1，若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，可得当n＝10时，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212－1，则此数列前55项的和为S12－23＝4 072.
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A.(－1,3) B.[－1,3]C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
√
解析　由题意，得数列{an}的前n项和为Sn，
所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，
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解得m≤－1或m≥3.即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
9.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么它的A.首项是－2 B.首项是2C.公差是3 D.公差是－3
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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
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10.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则A.a1d>0 B.a1d<0 C.dS4<0 D.dS4>0
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所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，
11.已知递减的等差数列的前n项和为Sn，若S7＝S11，则A.a10>0 B.当n＝9时，Sn最大C.S17>0 D.S19>0
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解析　由等差数列前n项和的特点可知，当n＝9时，Sn最大，故a9>0，a10<0，S17＝17a9>0，S19＝19a10<0，故BC正确.
A.2 B.3 C.4 D.14
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因此，正整数n的可能取值有2,4,14.
13.已知等差数列{an}的前13项之和为 ，则tan(a6＋a7＋a8)＝____.
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三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
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解析　由题意知，RO＝1＋40%×5＝3，所以得病总人数为3＋32＋33＋34＝120(人).
14.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫作传播指数RO.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是RO＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间(单位：天).根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为_____.
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所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，所以a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32.又an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
15.已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝_____.
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解析　依题意，有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，
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四、解答题(本题共6小题，共70分)
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解　设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.
17.(10分)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{an}的通项公式；
所以{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
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(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
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解　由(1)知log3an＝n－1.
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得，m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.
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18.(12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
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证明　由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
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又因为a1＋b1＝1，
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.
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(2)求{an}和{bn}的通项公式.
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19.(12分)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝2.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
证明　由题意，可得an＋1＋1＝3(an＋1).又a1＋1＝3≠0，所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列.
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由(1)知，an＋1＝3n，即an＝3n－1，
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等式左边＝等式右边，所以等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，
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则当n＝k＋1时，
所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋，等式都成立.
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∴－λ<2，∴λ>－2.∴－2<λ<3.
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22.(12分)某化工厂从今年一月起若不改善生产环境，按生产现状每月收入为75万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚7万元，以后每月增加2万元，如果从今年一月起投资600万元添加回收净化设备(改设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本.设添加回收净化设备并投产后n个月的累计收入为g(n)，据测算，当1≤n≤5(n∈N＋)时，g(n)＝n2＋kn(k是常数)，且前4个月的累计收入为416万元，从第6个月开始，每个月的收入都与第5个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励200万元.(1)求添加回收净化设备后前7个月的累计收入；
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解　由题意知g(4)＝42＋4k＝416，得k＝100，即g(n)＝n2＋100n(1≤n≤5)，第5个月净收入为g(5)－g(4)＝52＋100×5－(42＋100×4)＝109(万元)，所以g(7)＝g(5)＋109×2＝525＋218＝743(万元).
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(2)从第几个月起投资开始见效，即投资改造后的纯收入(累计收入连同奖励减去改造设备费)多于不改造的纯收入(累计收入减去罚款)?
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令g(n)－600＋200>75n－(n2＋6n)，得g(n)＋n2－69n－400>0，
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当1≤n≤5时，g(n)＋n2－69n－400>0不成立，当n>5时，109n－20＋n2－69n－400>0，即n2＋40n－420>0，即n(n＋40)>420，又因为n∈N＋，所以n≥9，所以经过9个月投资开始见效.
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