数学北师大版 (2019)2.2 等差数列的前n项和课文内容课件ppt

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基础落实·必备知识全过关
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知识点1　等差数列的前n项和1.数列前n项和的定义对首项为a1,公差为d的等差数列{an},设Sn是等差数列{an}的前n项和,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 注意等式两端角标“n”的一致性过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.(　　)(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等.(　　)
知识点2　等差数列的前n项和公式
名师点睛1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.2.公式 表明等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.3.当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式 .用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn= (ak+an-k+1).4.当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.(　　)(2)1+2+3+…+100 .(　　)(3)等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(　　)
2.高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了此等差数列前100项的和.如果是求1+2+3+…+n(n∈N+),不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?
提示 我们可以采用倒序相加法来回避这个问题:设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1), ∴2Sn=n(n+1),∴Sn= (n∈N+).
知识点3　数列中an与Sn的关系对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有　　
注意角标中n的取值限制
名师点睛1.这一关系对任何数列都适用.2.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况,数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况,数列的通项公式采用分段形式.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若数列{an}的前n项和为Sn,则对于任意的n∈N+,an=Sn-Sn-1.(　　)(2)在数列{an}中,a5=S5-S4.(　　)2.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2,则数列{an}是等差数列吗?
提示 当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1;n=1时适合上式,所以数列{an}是等差数列,公差为2.
探究点一　等差数列前n项和公式的基本运算
【例1】 在等差数列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
规律方法　等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.
(2)利用等差数列的性质解题.
变式训练1(1)[2023河北石家庄二中模拟预测]记Sn为等差数列{an}的前n项和,若4S1=3S2+S4,a5=5,则a10=(　　)A.3B.7C.11D.15
(2)[2023黑龙江哈尔滨三中模拟预测]已知在等差数列{an}中,a1=2,a7=4a3, Sn为数列{an}的前n项和,则S10=(　　)A.115B.110C.-110D.-115
探究点二　由数列{an}的前n项和Sn求an
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+ n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
变式探究若将本例中前n项和改为Sn=n2+ n+1,求数列{an}的通项公式.
规律方法　已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an,先由a1=S1求得a1,再当n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an的表达式,最后验证a1是否符合an的表达式,若符合则统一用一个式子表示,不符合则分段表示.
探究点三　等差数列在实际生活中的应用
【例3】 某文具店开业期间,用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品,其中最下面一层铅笔数为16根,从最下面一层开始,每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根,则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为(　　)A.8B.9C.10D.11
解析 从下到上,铅笔数构成以16为首项,以-1为公差的等差数列,Sn=100,整理得(n-8)(n-25)=0,所以n=8或n=25,当n=25时,a25=16-24=-8不合题意,故n=8,a8=16-7=9.故选B.
规律方法　当建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
变式训练2《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作,比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题:“今有女子善织,日增等尺,初日织五尺,三十日共织390尺,问日增几何?”则此女子每日织布增长(　　)
1.知识清单:(1)等差数列前n项和公式的基本运算.(2)由数列{an}的前n项和Sn求an.(3)等差数列在实际生活中的应用.2.方法归纳:方程(组)思想、分类讨论.3.常见误区:(1)项数的确定不准确;(2)由数列{an}的前n项和Sn求an,忽略n≥2.
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=22,S4=38,则S6=(　　)A.72B.74C.75D.76
解析 设等差数列{an}的公差为d,a2+a4=2a3=22,∴a3=11,又S4=2(a2+a3)=38,∴a2=8,则d=3,∴an=3n+2,故选C.
2.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是(　　)A.12D.48
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项公式an=　　　　. 
4.在某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多两个座位,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有　　　　　个座位. 
解析 从第1排开始每排座位数形成等差数列{an},其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.∴该电影院共有座位数为
5.在等差数列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.