高中北师大版 (2019)1.1 数列的概念导学案及答案

1.1　数列的概念

[教材要点]

要点一　数列的有关概念及表示方法

1．数列的有关概念

(1)数列：按________排列的一列数叫作数列．

(2)数列的项：数列中的________叫作这个数列的项．

2．数列的表示方法

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的________；an是数列的第n项，也叫数列的________．

状元随笔　(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．

要点二　数列的分类

根据数列的项数可以将数列分为两类：

(1)有穷数列：项数________的数列；

(2)无穷数列：项数________的数列．

状元随笔　有穷数列与无穷数列的表示方法：

(1)有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am，….

(2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾.

要点三　数列的通项公式

如果数列{an}的第n项________与________之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．

状元随笔　(1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项．

(2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项．

(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝(k∈N*)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列．

(4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1){0，1，2，3，4}是有穷数列．(　　)

(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．(　　)

(3)所有自然数能构成数列．(　　)

(4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.(　　)

2．(多选题)数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为(　　)

A．an＝(－1)n－1    B．an＝(－1)n

C．an＝cos nπ    D．an＝sin nπ

3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　)

A．第9项    B．第10项

C．第11项    D．第12项

4．数列1，2，，…中的第26项为________．

题型一　数列的概念与分类

例1　(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．数列4，7，3，4的首项是4

B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3

C．数列1，2，3，…就是数列{n}

D．数列中的项不能是三角形

方法归纳

正确理解数列及相关概念，注意以下几点：

(1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与顺序有关；

(2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…，an，…}.

跟踪训练1　(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．数列{2n＋1}的第5项是10

B．数列1，，…，，…可以记为

C．数列3，5，7与数列5，7，3是相同的数列

D．数列1，2，3，4，5，…，n，…是无穷数列

题型二　根据数列的前几项写出通项公式

例2　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：

(1)－1，，－；

(2)，3，；

(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；

(4)3，5，3，5.

方法归纳

(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．

(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

跟踪训练2　写出下列数列的一个通项公式：

(1)0，3，8，15，24，…；

(2)1，－3，5，－7，9，…；

(3)1，2，3，4，…；

(4)1，11，111，1 111，….

题型三　数列通项公式的简单应用

例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

(1)写出此数列的第4项和第6项．

(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果是，应是哪一项？

变式探究　本例中，数列{an}中有多少个负数项？

方法归纳

(1)利用数列的通项公式求某项的方法

数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．

(2)判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝.

(1)写出数列的第4项和第6项．

(2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．

易错辨析　忽略了相邻正方形的公共边而致误

例4　图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.

通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为________．

解析：因为每两个相邻的正方形均有1条公共边，

所以第二个图形的火柴棒根数为2×3＋1.

第三个图形的火柴棒根数为3×3＋1.

……

第n个图形的火柴棒根数为3n＋1.

答案：3n＋1

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．数列0，－，－，…的通项公式为(　　)

A．an＝(－1)n·

B．an＝(－1)n＋1·

C．an＝(－1)n－1·

D．an＝(－1)n－1·

2．在数列－1，0，，…，，…中0.08是它的(　　)

A．第100项    B．第12项

C．第10项    D．第8项

3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列结论正确的是(　　)

A．第2项a2＝0    B．0不是数列中的一项

C．21是数列中的一项    D．42是数列中的一项

4．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________．

5．写出数列an＝的前5项，并用图象表示出来．

1．1　数列的概念

新知初探·课前预习

要点一

1．(1)一定次序　(2)每一个数

2．首项　通项

要点二

(1)有限　(2)无限

要点三

an　n　an＝f(n)　

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．答案：BC

3．解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121.

∴n＝11.故选C.

答案：C

4．解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，

a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，

所以a26＝＝＝2.

答案：2

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项4，A正确；同一个数在数列中可以重复出现，B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D正确．

故选ACD.

答案：ACD

跟踪训练1　解析：当n＝5时，a5＝11，A错误；B正确；因为数列是按一定次序排成的一列数，C错误；D正确．

故选BD.

答案：BD

题型二

例2　解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·(n∈N＋)．

(2)数列可化为，即，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝(n∈N＋)．

(3)原数列可变形为，…，故数列的一个通项公式为an＝1－(n∈N＋)．

(4)数列给出前4项，其中正奇数项为3，正偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n(n∈N＋)．

跟踪训练2　解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．

(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．

(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N*)．

(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N*).

题型三

例3　解析：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，

a6＝3×62－28×6＝－60.

(2)－49是该数列的一项，68不是该数列的项．

由3n2－28n＝－49，

解得n＝7或n＝(舍去)，

所以－49是该数列的第7项；

由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，

所以68不是该数列的项．

变式探究　解析：an＝3n2－28n＝n(3n－28)，

令an<0，则0<n<，

又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9.

即数列{an}中共有9个负数项．

跟踪训练3　解析：(1)因为an＝，

所以a4＝＝，a6＝＝.

(2)是该数列的项，

令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N*，

故将n＝－8舍去，所以是该数列的第5项．

[课堂十分钟]

1．解析：当n＝1时，排除A、D，当n＝2时，排除B，故选C.

答案：C

2．解析：由题意知，an＝.

令an＝0.08，即＝，

所以n＝10或n＝(舍去)，故选C.

答案：C

3．解析：令n2－n＝42，解得n＝7(n＝－6舍去)．故42是数列的第7项，其余选项均错．

故选D.

答案：D

4．解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．

因为an＝3－2n，

所以a2n＝3－22n＝3－4n，

＝＝.

答案：3－4n　

5．解析：数列{an}的前5项依次是1，.图象如图．