第一章 再练一课(范围：§1～§5)学案

再练一课(范围：§1～§5)

一、单项选择题

1．在数列{an}中，an＝－n，则{an}是(　　)

A．递增数列   B．递减数列

C．常数列   D．以上都不是

答案　B

解析　∵an＋1－an＝－(n＋1)－(－n)＝－1<0，

∴数列{an}是递减数列．

2．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为a5＝(－1)5×＝－.

3．等差数列18,15,12，…的前n项和的最大值为(　　)

A．60  B．63  C．66  D．69

答案　B

解析　由题意知，数列的通项公式为an＝21－3n，令an＝0，得n＝7，所以Sn的最大值为S7＝S6＝＝63.

4．如果将2,5,10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　依题意得(5＋t)2＝(2＋t)(10＋t)，解得t＝2.5，

所以公比q＝＝.

5．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额为________元．(不包括a元的投资)(　　)

A．4a(1.06n－1)   B．a(1.06n－1)

C．0.24a(1＋6%)n－1   D．4(1.06n－1)

答案　A

解析　设n年后他拥有的红利与利息之和为an元．则

a1＝a·24%＝0.24a；

a2＝a·24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a·1.06；

a3＝a·24%＋a2·1.06＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062；

…

an＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062＋…＋0.24a·1.06n－1＝0.24a(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06n－1)＝0.24a·＝4a(1.06n－1)．

6．数列1,2＋，3＋＋，…，n＋＋＋…＋的前n项和为(　　)

A．n＋1－n－1   B.n2＋n＋－2

C.n2＋n＋－2   D．n＋－1

答案　B

解析　设数列的第n项为an，则a1＝1，当n≥2时，an＝n＋＋＋…＋＝n＋＝n＋1－，也适合n＝1，故an＝n＋1－，n∈N＋.

∴该数列的前n项和Sn＝＋＋＋…＋

＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n－＝＋n－＝n2＋n＋－2.

二、多项选择题

7．已知数列{an}的通项公式为an＝9－2n，则下列各数中是{an}中的项的是(　　)

A．0  B．3  C．5  D．7

答案　BCD

解析　对于A,0＝9－2n，解得n＝，故A不满足；

对于B,3＝9－2n，解得n＝3，故B满足；

对于C,5＝9－2n，解得n＝2，故C满足；

对于D,7＝9－2n，解得n＝1，故D满足.

8．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法一定成立的是(　　)

A．若a3>0，则a2 021>0

B．若a4>0，则a2 020>0

C．若a3>0，则S2 021>0

D．若a3>0，则S2 021<0

答案　ABC

解析　设数列{an}的公比为q，

当a3>0时，a2 021＝a3q2 018>0，A正确；

当a4>0时，a2 020＝a4·q2 016>0，B正确．

又当q≠1时，S2 021＝，

当q<0时，1－q>0,1－q2 021>0，∴S2 021>0，

当0<q<1时，1－q>0,1－q2 021>0，∴S2 021>0，

当q>1时，1－q<0,1－q2 021<0，∴S2 021>0.

当q＝1时，S2 021＝2 021a1>0，故C正确，D不正确．

三、填空题

9．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝________.

答案　60

解析　由a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，得a6＝30，

所以a3＋a9＝2a6＝60.

10．已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋)，则an＝________.

答案　

解析　由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，

以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.

因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)

＝2＋＝(n≥2)．

因为a1＝2满足上式，所以an＝.

11．数列{an}的前n项和为Sn＝n2－6n，则a2＝________，数列{|an|}的前10项和|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.

答案　－3　58

解析　当n＝1时，a1＝S1＝－5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7，

所以a2＝2×2－7＝－3，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋×7＝58.

12．某电脑公司计划在2021年10月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销售量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司10月1日至10月10日的平均日销售量是________台．

答案　16

解析　设第一个10天每天销售a台，则第二个10天每天销售(a－2)台，第三个10天每天销售(a－4)台，第四个10天每天销售(a－6)台，由题意得，10a＋10(a－2)＋10(a－4)＋8(a－6)＝500，解得a＝16.

四、解答题

13．在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

解　(1)设{an}的公比为q，

由已知得16＝2q3，

解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N＋.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，

则b3＝8，b5＝32.

设{bn}的公差为d，则有

解得

所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.

所以数列{bn}的前n项和

Sn＝＝6n2－22n.

14．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，….

(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，n∈N＋，有an≥n＋2.

(1)解　由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，

由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，

由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5，

由此猜想an的一个通项公式：

an＝n＋1(n≥1，n∈N＋)．

(2)证明　①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，

即ak≥k＋2，

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1>k＋3.

即当n＝k＋1时，ak＋1>(k＋1)＋2.

由①②可知，对任意的n≥1，n∈N＋，都有an≥n＋2.

15．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)由题设可知，a1·a4＝a2·a3＝8，

又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．

由a4＝a1q3，得公比q＝2，

故an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N＋).

(2)Sn＝＝＝2n－1，

又bn＝＝＝－，

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.