高中北师大版 (2019)2.1 等差数列的概念及其通项公式第二课时同步达标检测题

第一章第2课时　等差数列的性质及应用

A级 必备知识基础练

1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于(　　)

A.3 B.-6 C.4 D.-3

2.[2023湖北武汉第四十九中学校联考期中]“a3+a7=2a5”是“数列{an}为等差数列”的(　　)

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件

3.[2023山西太原山西师大附中校考期中]在等差数列{an}中,a5+a6+a7+a8+a9=450,则a3+a11的值为(　　)

A.45 B.75 C.180 D.300

4.[2023安徽安庆统考二模]已知等差数列{an}满足=4,则a2+a3不可能的取值是(　　)

A.-3 B.-2 C. D.

5.若某运动会的第一届于1896年举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年举行的该运动会的届数是(　　)

A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届

6.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=　　　　. 

7.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为　　　　. 

8.若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,则a75的值为　　　　. 

9.在等差数列{an}中,

(1)若a2+a4+a6+a8+a10=80,求a7-a8;

(2)已知a1+2a8+a15=96,求2a9-a10.

B级 关键能力提升练

10.在等差数列{an}中,若a1+a5=10,a4=7,则(　　)

A.a5=10 

B.an=2n-1

C.an=n+3 

D.an=-2n+3

11.《张丘建算经》有这样一个问题:今有某郡守赏赐下属10人,官职依次递降,赏赐随官职递降依次等差递减,前2人共得赏赐190贯,后3人共得赏赐60贯,则第5人得赏赐为(　　)

A.80贯 B.70贯

C.60贯 D.50贯

12.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为(　　)

A.12 B.8 

C.6 D.4

13.已知等差数列{an}满足=-2,则下列结论一定成立的是(　　)

A.=-1 B.=-1

C.=-1 D.=-1

14.已知{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13的值为(　　)

A.105 B.120 

C.90 D.75

15.如果在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于(　　)

A.21 B.30 

C.35 D.40

16.若在等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则a6+a7+a8等于(　　)

A.34 B.35 

C.36 D.37

17.在等差数列{an}中,已知a1,a4为方程2x2-5x+2=0的两根,则a2+a3=　　　　. 

18.已知在数列{an}中,a3=3,a7=1,又数列是等差数列,则an=　　　　　　　　. 

19.已知等差数列{an},n∈N+,且满足a1+a3+a5=9.

(1)求a3;

(2)若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,求数列{an}的通项公式.

C级 学科素养创新练

20.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a,b,c成等差数列,B=30°,△ABC的面积为,则b等于(　　)

A.1+ B.2+

C. D.

21.有一批电视机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所购买各台的单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机,则去哪一家商场购买花费较少?

参考答案

第2课时　等差数列的性质及应用

1.B　由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,

所以d==-6.

2.C　设an=(-1)n·n,则a3=-3,a5=-5,a7=-7,所以a3+a7=-10=2a5,但数列{an}不是等差数列,

若数列{an}为等差数列,根据等差数列的性质可知,a3+a7=2a5成立,

所以“a3+a7=2a5”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.

故选C.

3.C　由a5+a6+a7+a8+a9=(a5+a9)+(a6+a8)+a7=5a7=450,得到a7=90,则a3+a11=2a7=180.

故选C.

4.A　设a1=2cosθ,a4=2sinθ,则a2+a3=a1+a4=2sin,所以a2+a3∈[-2,2].故选A.

5.C　依题意知举行该运动会的年份构成以1896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1896+4(n-1),令2020=1896+4(n-1),解得n=32.

6.20　∵a3+a8=10,∴a3+a3+a8+a8=20.

∵3+3+8+8=5+5+5+7,

∴a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7,

即3a5+a7=2(a3+a8)=20.

7.-　由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,

∴a7=.

∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.

8.24　∵{an}是等差数列,

∴a15,a30,a45,a60,a75成等差数列.

设其公差为D,则a60=a15+3D,即D=4,

故a75=a15+4D=8+4×4=24.

9.解(1)a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,

∴a7-a8=(2a7-a8)=(a6+a8-a8)=a6=8.

(2)∵a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.

∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.

10.B　因为在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,a4=7,

所以a3=5,d=2,所以an=a3+(n-3)d=5+2(n-3)=2n-1,B正确,a5=9,A错误.故选B.

11.C　由题意,设等差数列为{an},公差为d,

则可得a1+a2=190,a8+a9+a10=60,

即2a1+d=190,3a1+24d=60,解得a1=100,d=-10,

故a5=a1+4d=100-40=60,故选C.

12.B　由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.

又d≠0,∴m=8.

13.C　由=-2得a5≠0,2a5+a8=a4+a6+a8=3a6=0,所以a6=0,a3+a9=2a6=0.

因为a5≠0,a6=0,所以a3≠0,=-1.其他选项均不一定正确.

故选C.

14.A　由a1+a2+a3=15,得a2=5,所以a1+a3=10.又a1a2a3=80,所以a1a3=16,所以a1=2,a3=8或a1=8,a3=2.又因为等差数列{an}的公差为正数,所以{an}是递增数列,所以a1=2,a3=8,所以等差数列{an}的公差d=a2-a1=5-2=3,所以a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105.

15.C　a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,所以a6=5.所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.

16.C　由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,

∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.

∵a3+a11=a10+a4,∴a7=12.

∴a6+a7+a8=3a7=36.

17.　∵a1,a4为方程2x2-5x+2=0的两根,

∴a1+a4=.

又{an}为等差数列,∴a1+a4=a2+a3.

∴a2+a3=.

18.　∵是等差数列,设bn=,

则b3=,b7=.

∴公差d=.

∴bn=b3+(n-3)=.

∴.∴an+1=,an=-1=.

19.解(1)因为等差数列{an},n∈N+,所以a1+a5=2a3.

因为a1+a3+a5=9,所以a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3.

(2)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得

即解得

所以an=a1+(n-1)d=-1+2n-2=2n-3.

20.A　由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB, ①

又S△ABC=acsinB=ac=,∴ac=6. ②

∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b, ③

将②③代入①得b2=4b2-12-6,化简整理得b2=4+2,解得b=1+.故选A.

21.解设某单位需购买电视机n台.

当在甲商场购买时,所买电视机的售价构成等差数列{an},an=780+(n-1)×(-20)=-20n+800,

由an=-20n+800≥440,得n≤18,

即购买台数不超过18台时,每台售价(800-20n)元;

购买台数超过18台时,每台售价440元.

到乙商场购买时,每台售价为800×75%=600(元).

比较在甲、乙两家家电商场的费用

(800-20n)n-600n=20n(10-n).

当n<10时,(800-20n)n>600n,到乙商场购买花费较少;

当n=10时,(800-20n)n=600n,到甲、乙商场购买花费相同;

当10<n≤18时,(800-20n)n<600n,到甲商场购买花费较少;

当n>18时,440n<600n,到甲商场购买花费较少.

因此,当购买电视机台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买电视机10台时,到两家商场购买花费相同;当购买电视机台数多于10台时,到甲商场购买花费较少.