高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式练习

【名师】2.1 等差数列-2课堂练习

一．填空题

1．若数列为等差数列，为其前n项和，且，则_________．

2．在等差数列中，则_________

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=10，S10≤40，则满足Sn>0的n的最大值为___________.

4．在等差数列中，已知，则___________.

5．设等差数列的前项和为，若，则的值为___________.

6．已知等差数列满足，，则________．

7．在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则______________．

8．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则___________.

9．已知数列是等差数列，且，若，则数列的公差______．

10．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是第___________项.

11．已知等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差___________．

12．已知正项等差数列中，，则_______________________．

13．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为2，则___________.

14．数列是等差数列，若，，则使前项和成立的最大自然数是________．

15．在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为___________.

16．在等差数列中， ，则=_______.

17．已知等差数列，，，则___________.

18．在等差数列中，，则___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由已知结合等差数列的性质及求和公式即可直接求解．

详解：解：因为数列为等差数列，，

则．

故答案为：．

2．【答案】180

【解析】分析：根据等差数列的性质得到，再计算得到答案.

详解：等差数列中，若，故.

.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式可解得，再由已知可求得n的范围，由此得出答案.

详解：设等差数列{an}的公差为d，因为a2=10，S10≤40，所以，解得，

所以，解得，所以，

又，所以，则满足Sn>0的n的最大值为14，

故答案为：14.

【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的通项和求和公式，关键在于由已知求得公差的范围，再求得项数的范围得以解决.

4．【答案】

【解析】分析：由等差数列定义求得公差，然后求得问题中的各项，相加即可.

详解：设等差数列公差为d，则，

，

故答案为：4

5．【答案】

【解析】分析：根据等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，先求出，进而可求出结果.

详解：因为，所以，

.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：根据题中条件，由等差数列的性质，求出，进而可得出结果.

详解：因为等差数列满足，，

所以，则，因此.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：根据等差中项的定义，结合题中操作的性质．等差数列的性质进行求解即可.

详解：扩充次后所得数列为，

因此从到是等差数列，项数为，且中间项为；

从到也是等差数列，项数为，且中间项为；

根据等差数列的性质可得.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：掌握如果等差数列的项数为，它的前项和是项数与中间项的乘积这一性质是解题的关键.

8．【答案】

【解析】分析：根据数列，是等差数列，且，设，再利用数列通项与前n项和关系求解.

详解：因为数列，是等差数列，且，

所以设，

所以，

故答案为：

9．【答案】3

【解析】因为数列是等差数列，且，所以，所以．

故答案为：

10．【答案】5

【解析】分析：利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值．

详解：由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，

，则，

其对称轴，所以的最小的一项是第项.

故答案为：5.

【点睛】

关键点点睛：利用配凑法将题目所给递推公式转化成等差数列是解题的关键．

11．【答案】；

【解析】分析：先计算，然后再利用方差的计算公式求解即可．

详解：因为是等差数列，公差为，

所以，

所以方差．

故答案为：

12．【答案】4041

【解析】分析：根据等差数列的性质求得，再由等差数列的通项公式求得等差数列的公差，可得答案.

详解：因为

所以，所以

设公差为则，

解得或(舍).

所以.

故答案为：4041.

13．【答案】121

【解析】分析：根据等比数列和等差数列的性质列出方程方程组，解出数列的首项和公比，结合公式法求和即可.

详解：设等比数列的首项为，公比为，

由题意得，解得，

所以，

故答案为：121

14．【答案】

【解析】分析：分析得出，，判断出．．的符号，由此可得出结论.

详解：由于数列是等差数列，且，.

若，则数列为单调递减数列，从而，矛盾！

若，则，数列为单调递减数列，合乎题意.

，，

，

因此，使得成立的最大自然数为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列前项和的应用，解题的关键在于分析出正负项的分隔项，结合等差数列的基本性质求解.

15．【答案】512

【解析】分析：不妨设，则，从而得到，同理求出，，，利用已知的不等式求解，求出的最小值，从而得到的最小值．

详解：不妨设，，

由题意可得，，

因为，

所以，

同理可得，，，，

所以，

因为，

所以，

解得，又，

所以的最小值整数解为9，

故的最小值为．

故答案为：512.

16．【答案】

【解析】分析：根据等差中项性质求得，进而得到，，再利用求得结果.

详解：解：设等差数列的公差为，

因为，所以

所以，解得，

所以

所以.

故答案为：

17．【答案】

【解析】分析：求出等差数列的公差，利用可得出关于的等式，即可得解.

详解：设等差数列的公差为，则，可得，

，可得，解得.

故答案为：.

18．【答案】

【解析】分析：利用等差数列中，项数相同情况下，若下标和相等，则它们的和也相等，即可求.

详解：等差数列中，结合已知可得：，

∴

故答案为：.