北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式综合训练题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式综合训练题，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.已知等差数列{an}的通项公式an=−3n+5，则它的公差为( )
A. 3B. −3C. 5D. −5
2.等差数列{an}中，若a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=21，则其公差等于( )
A. 2B. 3C. 6D. 18
3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+6，则a5=( )
A. 25B. 30C. 32D. 64
4.在等差数列{an}中，已知a4+a8=64，则a6=( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
5.设数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“S11=11a6”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.等差数列{an}(n∈N*)中，a2=10，a7−a4=2a1，则a7=( )
A. 40B. 30C. 20D. 10
7.若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是( )
A. (0,110)B. (−110,110)C. (0,15)D. (−15,15)
8.在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点( an, an−1)都在直线x−y− 3=0上，则an=( )
A. 3nB. 3n2C. 2n+1D. n+2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列通项公式表示的数列为等差数列的是( )
A. an=3n+1B. an=n2+1C. an=1D. an=1−2n
10.设d为等差数列{an}的公差，若a1>0，d>0，a3=2则( )
A. a2⋅a4<4B. a22+a4≥154C. 1a1+1a5>1D. a1⋅a5>a2⋅a4
11.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，则下列命题正确的是( )
A. 若S5=S9，则必有S14=0B. 若S5=S9，则必有S7是Sn中最大的项
C. 若S6>S7，则必有S7>S8D. 若S6>S7，则必有S5>S6
12.关于等差数列，下列四个命题正确的是( )
A. 若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数
B. 等差数列的通项公式an是关于项数n的一次函数
C. 若数列{an}是等差数列，则数列{kan}(k为常数)也是等差数列
D. 若数列{an}是等差数列，则数列{an2}也是等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.在等差数列{an}中，a3+a5+a11+a13=56，则a8=______.
14.已知等差数列的首项为23，公差为整数，若前6项均为正数，第7项起为负数，则数列的公差为______.
15.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球).若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得d=an+1−an=−3(n+1)+5−(−3n+5)=−3.
故选：B.
根据等差数列公差的定义求解．
本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意知，设等差数列{an}的公差为d，
a1+a2+a3=3a1+3d=3，a4+a5+a6=3a1+12d=21，
两式相减，得9d=18，所以d=2.
故选：A.
根据等差数列的通项公式计算即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，an+1=an+6，
∴数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，
∴a5=1+4×6=25.
故选：A.
推导出数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，由此能求出a5.
本题考查等差数列的等5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由{an}是等差数列，得a4+a8=2a6=64.解得a6=32.
故选：D.
根据等差数列的性质，可计算出a6.
本题主要考查等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由{an}是等差数列，得S11=(a1+a11)×112=11a6，满足充分性；
反之，S11=11a6，只需a1+a2+⋯+a5+a7+⋯+a11=10a6，得不到{an}是等差数列，
不满足必要性，则“{an}是等差数列”是“S11=11a6”的充分不必要条件．
故选：A.
利用等差数列求和性质及定义结合充分、必要条件的定义判定选项即可．
本题考查等差数列求和性质及定义、充分、必要条件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设等差数列{an}(n∈N*)的公差为d，
a7−a4=2a1，
则3d=2a1，
a2=10，
则a1+d=a1+23a1=10，解得a1=6，d=4，
a7=a1+6d=6+24=30.
故选：B.
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设5个正数组成数列{an}，
则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=2，∴a3=25，
则a1=25−2d>0a2=25−d>0a5=25+2d>0a4=25+d>0，解得−15∴公差d的取值范围是(−15,15).
故选：D.
先求出a3=25，再由5个数均为正数，列d的不等式求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：点( an, an−1)在直线x−y− 3=0上，
则 an− an−1− 3=0，即 an− an−1= 3，
∴数列{ an}是等差数列，公差为 3， a1= 3，
∴ an= 3+(n−1)⋅ 3= 3n，
∴an=3n2，
故选：B.
把点(( an, an−1)代入直线x−y− 3=0，利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：若an=3n+1，则an−an−1=3，满足题意；
若an=n2+1，则an−an−1=2n−1，不满足题意；
若an=1，则an−an−1=0，满足题意；
若an=−2n+1，则an−an−1=−2，满足题意．
故选：ACD.
由已知结合等差数列的定义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的定义在数列判断中的应用，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据题意，a3=a1+2d=2，得a1=2−2d>0，解得d<1，
又d>0，得0所以a2⋅a4=(2−d)(2+d)=4−d2<4，选项A正确；
a22+a4=(2−d)2+(2+d)=d2−3d+6=(d−32)2+154，又0所以a22+a4∈(4,6)，选项B错误；
1a1+1a5=12−2d+12+2d=11−d2>1，选项C正确；
a1a5−a2a4=(2−2d)(2+2d)−(2−d)(2+d)=−3d2<0，
所以a1a5故选：AC.
根据题意可得a1=2−2d>0，那么0本题考查数列与函数、不等式的综合问题，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若S5=S9，必有S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，则a7+a8=0，S14=14×(a1+a14)2=14×(a7+a8)2=0，A正确；
对于B，若S5=S9，必有S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，又由a1>0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；
对于C，若S6>S7，则a7=S7−S6<0，又由a1>0，必有d<0，则a8=S8−S7<0，必有S7>S8，C正确；
对于D，若S6>S7，则a7=S7−S6<0，而a6的符号无法确定，故S5>S6不一定正确，D错误；
故选：ABC.
根据题意，结合等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查等差数列的前n项公式与等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：由等差数列定义可知选项A正确；
当d=0时，选项B不成立；
由等差数列的定义知选项C正确，证明如下：设{an}的公差为d，则kan+1−kan=kd(常数)，所以{kan}也是等差数列；
选项D错误，比如数列{an}为：−2，−1，0，1，2，则数列{an2}为：4，1，0，1，4.
故选：AC.
根据等差数列的定义逐一验证即可．
本题考查了等差数列的定义，属于基础题．
13.【答案】14
【解析】解：等差数列{an}中，a3+a13=a5+a11=2a8，
故a3+a5+a11+a13=4a8=56，∴a8=14.
故答案为：14.
根据等差数列的性质，即可求得答案．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】−4
【解析】解：公差d∈Z，
a6=23+5d>0，a7=23+6d<0.
解得：−235解得d=−4.
故答案为：−4.
公差d∈Z，a6=23+5d>0，a7=23+6d<0.解得：−235本题考查了等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】55
【解析】解：根据题意，“三角形数”可写为：1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，
则“三角形数”的通项公式为：an=1+2+3+……+n=n(n+1)2，
若三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数a10=10×112=55，
故答案为：55.
根据题意，分析“三角形数”的规律，可得“三角形数”的通项公式，从而求出第10层球的个数．
本题考查归纳推理的应用，注意分析数列的通项公式，属于基础题．